中考数学复习讲义：二次函数中的面积问题（原卷版+解析）

例题精讲

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、害IJ补、等积变形、

三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法一一铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知A(U)、8(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样:

构造矩形ADER用矩形面积减去三个三角形面积即可得AABC面积.

这是在这卜”,同样可以采用“割”:

S=S+S=-CD-AE+-CD-BF=-CD（AE+BF）

△AoRC△ACr"nAORC/nJ222、

此处AE+AB即为A、2两点之间的水平距离.

由题意得：AE+BF=6.

下面求CD：

根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：y=-x+-

33

由点C坐标（4,7）可得。点横坐标为4,

将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,

故。点坐标为（4,2）,CD=5,

=QX6X5=15.

【方法总结】

作以下定义：

A、2两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C作x轴的垂线与AB交点为。，线段C。即为AB边的“铅垂高”.

如图可得：S，MC=水平宽*铅垂高

【解题步骤】

（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；

（2）过点C作无轴垂线与A8交于点。，可得点。横坐标同点C；

（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

（4）根据C、。坐标求得铅垂高；

（5）利用公式求得三角形面积.

@0

例题精讲

【例1】.如图，抛物线y=-/-2x+3与x轴交于A（1,0）,8（-3,0）两点，与y轴交于点C.点P

为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC,求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

A变式训练

【变17].如图，已知抛物线y=a/+6x+3与无轴交于A、8两点，过点A的直线/与抛物线交于点C,其

中A点的坐标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）若点£是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求的最大面积及E点的

坐标.

【变1-2].如图，直线y=-/x+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=-+6x+c经过点A,点C,且

交x轴于另一点8.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点求四边形A8CM面积的最大值及此时点M的坐标.

y

X

【例2】.如图，抛物线y=/+bx+c与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线/交抛物线于

点C(2,m)，点尸是线段AC上一个动点，过点P作无轴的垂线交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当P在何处时，AACE面积最大.

A变式训练

【变27].如图，抛物线>=办2+区+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.

(1)求这个抛物线的函数表达式；

(2)若点。的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形AZJCP面积的最大

值.

【变2-2].如图，在平面直角坐标系中，直线y=±x-2与x轴交于点8,与y轴交于点C,二次函数了=

+&+c的图象经过8,C两点，且与无轴的负半轴交于点A,动点。在直线BC下方的二次函数图象上.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接。C,DB,设的面积为S,求S的最大值.

O

实战演练

1.如图，抛物线尸-y+"|x+2与X轴交于A,8两点，与y轴交于点C,若点尸是线段BC上方的抛物

线上一动点，当△2CP的面积取得最大值时，点P的坐标是(

25)C.(1,3)D.(3,2)

8

2.如图1,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y=-^x+2过氏C两点，连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点尸坐标；

(3)若点。为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值.

3.如图，抛物线y=-f+6x+c与x轴交于A(1,0),8(-3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△0AC的周长最小？

若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点尸，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC

面积的最大值.若没有，请说明理由.

4.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线>=苏+6尤-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与

y轴交于点C.

图1图1备用图图2

（1）求抛物线的二次函数解析式：

（2）若点P在抛物线上，点。在x轴上，当以点8、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P

的坐标；

（3）如图2,点X是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH,CH.当△8CW的面积最大时，求点X

的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=7+6x+c的图象与x轴交于A、8两点，8点的坐标为（3,0）,

与y轴交于点C（0,-3）,点P是直线8c下方抛物线上的一个动点.

（1）求二次函数解析式；

（2）连接尸。，PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POPC.是否存在点P,使四边形尸。PC为

菱形？若存在，求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最

大面积.

备用图

6.如图，抛物线y=a/+fcv+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上第一象限内一动点，过点尸作尸轴于点D设点尸的横坐标为r(0<f<3),

求△A8P的面积S与t的函数关系式；

(3)条件同(2),若△(?£>尸与△COB相似，求点P的坐标.

7.如图，抛物线y=o?一3以-4。(a<0)与x轴交于A,B两点，直线y=/x+/经过点A,与抛物线的

另一个交点为点C,点C的横坐标为3,线段尸。在线段上移动，PQ=1,分别过点P、。作x轴的

垂线，交抛物线于E、F,交直线于。，G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、。的坐标；

(3)在线段尸。的移动过程中，以。、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值,

若没有请说明理由.

8.如图，已知二次函数了二一+方龙+3的图象交无轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.E是8c上

一点，PE〃y轴.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)点尸是直线BC下方抛物线上的一动点，求8cp面积的最大值；

(3)直线x=%分别交直线8C和抛物线于点N,当机为何值时

9.已知直线y=3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-旦工2+7质+〃经过点A和点C.

44

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△AC。的面积最大？若存在，求出点D的坐标;

若不存在，说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x-3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),过点8的直线

y==2x-2交抛物线于点C.

-3

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)若点尸是直线BC下方抛物线上的一个动点(P不与点8,C重合)，求△P8C面积的最大值.

11.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知直线＞=±*-2与尤轴交于点A,与y轴交于点8,过A、B两

点的抛物线y=a/+6x+c与无轴交于另一点C(-1,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点P,使SNAB=SAOAB?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明

理由；

(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+/ON

的最小值.

12.直线y=-/x+2与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=-f+fcv+c经过A、8两点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是直线4B上方抛物线上一点；

①当的面积最大时，求点P的坐标；

②在①的条件下，点尸关于抛物线对称轴的对称点为。，在直线A8上是否存在点使得直线QM与

直线8A的夹角是/Q4B的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+bx-3QWO)交y轴于点A,交x轴于点8(-3,0)和

点C(1,0).

(1)求此抛物线的表达式.

(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点尸的坐标和△ABP

的最大面积.

(3)设抛物线顶点为。，在(2)的条件下直线上确定一点H,使△ZJHP为等腰三角形，请直接写

出此时点H的坐标

14.如图，已知抛物线y=-/+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N,其

顶点为。.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)在对称轴上是否存在一点使△AM0的周长最小.若存在，请求出〃点的坐标和周长的

最小值；若不存在，请说明理由.

(3)若尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点尸的坐标.

15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点，

点尸是直线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)动点尸运动到什么位置时，△P8C面积最大，求出此时尸点坐标和△P8C的最大面积.

(3)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出尸点坐标；若不存在，请说

明理由.

16.已知抛物线y=-7+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(2)如图1,抛物线的对称轴交无轴于点连接2C、CM.求△BCM的周长及tan/BCM的值；

(3)如图2,过点A的直线7"〃8C,点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点尸作尸。，相，垂足为

点、D,连接BD,CD,CP,PB.当四边形BDCP的面积最大时，求点P的坐标及四边形BDCP面积的

最大值.

17.如图1,在平面直角坐标系尤Oy中，抛物线尸1：y=7+bx+c经过点A(-3,0)和点B(1,0).

(1)求抛物线a的解析式；

(2)如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线为关于原点。成中心对称，请直接写出抛物线尸2的解析式;

(3)如图3,将(2)中抛物线尸2向上平移2个单位，得到抛物线入，抛物线为与抛物线尸3相交于C,

。两点(点C在点。的左侧).

①求点C和点。的坐标；

②若点N分别为抛物线尸1和抛物线色上C,。之间的动点(点N与点C,。不重合)，试求四

边形CMDN面积的最大值.

18.将抛物线y=o?(awo)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a(尤-h)2+k.抛

物线”与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.已知4(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.

(1)求抛物线”的表达式.

(2)如图1,点尸在线段AC上方的抛物线以上运动(不与A、C重合)，过点尸作尸。_LA3,垂足为。，

P。交AC于点E.作PFJ_AC,垂足为R求△PEF的面积的最大值.

(3)如图2,点。是抛物线H的对称轴/上的一个动点，在抛物线”上，是否存在点P,使得以点A、

尸、C、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理

由.

参考：若点Pl(xi,yi)、P2(X2,”)，则线段P1P2的中点Po的坐标为(Xi?"2，"之")，

例题精讲

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、

等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积

的方法一一铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知A。」）、8（7,3）、C（4,7）,求△ABC的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如

构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.

这是在“补”，同样可以采用“割”：

=-CD（AE+BF）

此处AE+AF即为A、2两点之间的水平距离.

由题意得：AE+BF=6.

下面求CD：

根据42两点坐标求得直线解析式为：y=-x+-

33

由点C坐标(4,7)可得。点横坐标为4,

将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2,

故。点坐标为(4,2),CD=5,

S&ABC=—><6x5=15.

【方法总结】

作以下定义：

A、8两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C作无轴的垂线与交点为。，线段CQ即为边的“铅垂高”.

如图可得：多/c=水平宽*铅垂高

【解题步骤】

(1)求A、8两点水平距离，即水平宽；

(2)过点C作x轴垂线与交于点。，可得点。横坐标同点C；

(3)求直线42解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；

(4)根据C、。坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

例题精讲

【例1】.如图，抛物线y=-/-2x+3与无轴交于A（1,0）,3（-3,0）两点，与y轴交

于点C.点P为抛物线第二象限上一动点，连接尸8、PC、BC,求APBC面积的最大值，

并求出此时点尸的坐标.

解：令x=0,则y=3,

：.C（0,3）,

设直线的解析式为y=fcv+3（左W0）,

把点B坐标代入y=kx+3得-34+3=0,

解得k=\,

：.直线BC的解析式为y=x+3,

设P的横坐标是x（-3＜尤＜0）,则P的坐标是（尤，-x2-2x+3）,

过点尸作y轴的平行线交BC于则尤+3）,

PAf=-尤2-2X+3-(x+3)=-x2-3尤，

S/^PBC=—PM*\XB-xc|=—(-x2-3x)X3=-—(X2+3X)=--(x+旦)2+-^-,

222228

;-2＜o,

2

当尤=-3时，SAPBC有最大值，最大值是红,

28

/.APBC面积的最大值为21；

8

当尤=一3时，-/-2x+3=1^,

24

点尸坐标为（一旦，区）.

24

A变式训练

【变17].如图，已知抛物线>=办2+灰+3与x轴交于A、8两点，过点A的直线/与抛物

线交于点C,其中A点的坐标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最

大面积及E点的坐标.

解：(1)•.•y=ax2+foc+3经过A(1,0),C(4,3),

解得：,

lb=-4

，抛物线的解析式为：y=/-4x+3；

设直线AC的解析式为y=kx+h,

将A、C两点坐标代入得：1k+h=°

I4k+h=3

:.直线AC的解析式为y=x-1；

（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为〉=了+也

,、y=x+m

联立|9，

y=xz-4x+3

消掉y得，x2-5x+3-m=0,

△=(-5)2-4XlX(3-m)=0,

解得：m=-」且，

4

即m=-工3时，点E到AC的距离最大，XNCE的面积最大,

4

此时x=立，y=a-_ll=-3,

2.244

.•.点E的坐标为（5,-—）,

24

设过点E的直线与x轴交点为R则F（型，0）,

4

,/直线AC的解析式为y=x-1,

AZCAB=45°,

点尸到AC的距离为AF«sin45°=2X亚=/巨,

428

又•.•AC=132+（4-i）2=3加，

.♦.△ACE的最大面积=2X3&><2叵=空_,此时E点坐标为（立，.A）.

28824

【变1-2].如图，直线y=-」x+2交y轴于点A,交无轴于点C,抛物线y=-+6x+c经过

2

点A,点C,且交x轴于另一点8.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M

的坐标.

/.A(0,2),

令y=0,得y=--^•x+2=0,解得尤=4,

：.C(4,0).

把A、C两点代入＞=-!，+bx+c得，(c-2

4I-4+4b+c=0

2

解得2,

c=2

...抛物线的解析式为丫=-工/+工尤+2；

42

422

SAACM=—,MN*OC——(--tz+2-—cr-—a-2)X4=--a2+2a,

222422

A•BC*OA=AX(4+2)X2=6,

5AABC=

22

.121

•*»S四边形A8CAf=S/\ACM+SaA3C=———a+2〃+6==-—(4-2)2+8,

22

・•・当〃=2时，四边形A3CM面积最大，其最大值为8,此时M的坐标为(2,2).

【例2].如图，抛物线y=/+bx+c与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直

线/交抛物线于点C(2,机)，点P是线段AC上一个动点，过点尸作x轴的垂线交抛物

线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当P在何处时，面积最大.

即y—x2-2x-3；

(2)把C(2,m)代入5=%2-2彳-3得加=4-4-3=-3,则C(2,-3),

设直线AC的解析式为y=mx+n,

把A(-1,0),C(2,-3)代入得,解得,

\2m+n=-3

直线AC的解析式为-x-1；

设E(r,?-2r-3)(-1«2),则Pa,-r-1),

：.PE=-t-1-(?-2f-3)=-P+t+2,

.♦.△ACE的面积=2X(2+1)XPE

2

=3(-尸+什2)

2

^-3(f.l)2+27(

228

当时，△ACE的面积有最大值，最大值为2工，此时尸点坐标为(』，-旦).

2822

A变式训练

【变2-1].如图，抛物线y=o?+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点2(1,0),交y轴于

点C-

(1)求这个抛物线的函数表达式；

(2)若点。的坐标为(-1,0),点尸为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形AOCP

面积的最大值.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=a^+2ax-3a,

即-3a—2,解得：,

故抛物线的表达式为：了=_2*2秘X+2，

33

则点C(0,2),函数的对称轴为：x=-1；

⑵连接。尸，设点p(x,

Oo

Ay/2\/

IDo\~\X

贝!jS=S四边形ADCP=S△APO+S△CPO-SAODC==

1994119

■fX3X（争3x+2）甘X2X（-x）^X2Xl=-x-3x+2^

'：-l<0,故S有最大值，当时，S的最大值为工.

4

【变2-2].如图，在平面直角坐标系中，直线y=/x-2与x轴交于点8,与y轴交于点C,

二次函数〉=+匕无+c的图象经过8,C两点，且与无轴的负半轴交于点A,动点D在直线

8c下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接。C,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值.

：.C(0,-2).

把y=0代丫=£犬-2得x=4,

：.B(4,0),

设抛物线的解析式为y=—(x-4)(x-m),将C(0,-2)代入得：2m=-2,解得:

-2

m--1,

AA(-1,0).

・••抛物线的解析式(x-4)(x+1)x2-—x-2；

222

(2)如图所示：过点。作轴，交BC与点、F.

2

设。(x,A.x--3.x-2),则尸(尤，Ax-2),DF=(Ax-2)-=-

222222

—X2+2X.

2

S^BCD=—0B*DF=AX4X(--X2+2X)=-/+4x=-(x2-4x+4-4)=-(尤-2)

222

2+4.

...当x=2时，S有最大值，最大值为4.

@hg

一⑪片)实战演练

1.如图，抛物线y=-尹+介2与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,若点尸是线段

)

2)

解：对于y=-—^+―x+2,令y=--x2+—x+2=0,解得x=-1或4,令x=0,贝！Jy

'2222'

—2,

故点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(4,0)、(0,2),

过点P作y轴的平行线交BC于点H,

由点3、C的坐标得，直线BC的表达式为y=--l.r+2,

设点尸的坐标为(x,--x+2),则点”的坐标为(x,-—x+2),

222

2

则△2CP的面积=S4PHB+SZUWC=2PHXOB=』X4X(-A.r+2x+2+AA--2)=-

22222

7+4尤，

V-1<0,故△BCP的面积有最大值，

当尤=2时，△BCP的面积有最大值，

此时，点P的坐标为(2,3),

故选：A.

2.如图1,抛物线与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,直线y=-^x+2过8、C两点，

连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值,并求出点P坐标；

(3)若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值.

解：(1)令x=0,则y=2,

：.CCO,2),

令y=0,则x=4,

：.B(4,0),

将点2(4,0)和点C(0,2)代入,

12

4+4b+c=0

得，2,

c=2

依

解得：•2,

c=2

二抛物线的解析式为尸-l^+lx+2；

(2)作P£)〃y轴交直线8C于点。，

设尸(m,--m2+—m+2),则。(m,-—m+2),

222

'.PD---nr+—m+2-(-—m+2)—-—nr+2m,

2222

2

/•SAPBC=—X4X(--m2+2m)=-/w+4m=-(w-2)2+4,

22

当，n=2时，APBC的面积有最大值4,

此时P(2,3)；

(3)令y=0,则蒋x2+^x+2=0，

解得x=-1或x=4,

：.A(-1,0),

''y--—X2+—X+2—

,22

.•.抛物线的对称轴为直线x=l,

2

•/A点与B点关于对称轴对称，

：.AQ=BQ,

：.AQ+CQ+AC^BQ+CQ+AC^BC+AC,

...当2、C、。三点共线时，，△Q4C周长最小,

VC(0,2),B(4,0),A(-1,0),

:.BC=2娓,AC=遍，

，AC+BC=3遥，

.•.△QAC周长最小值为3疾.

图1

3.如图，抛物线y=-7+Zw+c与无轴交于A（1,0）,2（-3,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点。，使得△

Q4c的周长最小？若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使APBC的面积最大？若存

在，求出△P3C面积的最大值.若没有，请说明理由.

解：（1）根据题意得:，

解得（b=-2,

Ic=3

则抛物线的解析式是y=-/-2x+3；

（2）理由如下：由题知A、8两点关于抛物线的对称轴尤=-1对称，

直线8。与》=-1的交点即为。点，此时△AQC周长最小，

对于y=-/-2x+3,令x=0,则y=3,故点C（0,3）,

设BC的解析式是y=mx+n,

则「3m+n=0,解得，

ln=3

则的解析式是y=x+3.

x=-1时，y=-1+3=2,

...点。的坐标是。（-1,2）；

（3）过点P作y轴的平行线交8c于点。，

设P的横坐标是X,则P的坐标是(尤，-/-2x+3),对称轴与BC的交点D是(X,尤+3).

则尸£>=(-X2-2X+3)-(x+3)=-x2-3x.

22

贝！JS^PBC=—(-x2-3x)X3=-—x-当==-—(x+3)+—,

222228

v-2<o,故△PBC的面积有最大值是22.

28

4.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线>=办2+厩-5与X轴交于A(-1,0),B(5,

0)两点，与y轴交于点C.

图1图1备用图

(1)求抛物线的二次函数解析式:

(2)若点P在抛物线上，点。在x轴上，当以点8、C、P、。为顶点的四边形是平行

四边形时，求点P的坐标;

(3)如图2,点H是直线下方抛物线上的动点，连接CH.当△BS的面积最

大时，求点H的坐标.

解：(1)•.?过A(-1,0),B(5,0)

把A(-1,0),B(5,0)代入抛物线〉=47+乐-5

=--

得0ab5

0=25a+5b-5

解得a=l

b=-4

y—x-4x-5；

(2)当x=0时，y=-5,

：.C(0,-5),

设尸(m,m2-4m-5),Q(九，0),

①BC为对角线,

贝ijXQ-XC=XB-xp,yQ-yc=yB-yp,

解得m=4,(m=°舍去),

n=ln=5

：.P（4,-5）,

②C尸为对角线，

贝!!XQ-xc=xp-XB,yQ-yc=yp~＞小

解得卜=2二（瓦或，

In=V14-3

：.P（2+V14-5）或（2-VI^,5）,

③C。为对角线时，CP〃BQ,

则点尸（4,-5）；

综上尸（4,-5）或（2-5）或（2+^^,5）；

第三种，C。为对角线不合要求，舍去；

（3）过X作由〃y轴交2C于。，

图2

=>HD,

S^BCH—SACDH+S^BDH=—HD(XH-尤c)+—HD(尤B-XH)=—HD(XB-xc)

2222

设BC：y=kx+b\,

过8、C点，

代入得，

'5k+b1=0

<,

b[=-5

'k=l

(b】=-5'

•»y=x-5,

设HCh,/z2-4/z-5),D(h,h-5),

S^BCH=-HD=^-X[h-5-(h2-4/7-5)]=-$(/?--)2+-^-,

22228

.•.当//=&时，“(回，-翌)时，S^BCHmwc=^.

2248

图1

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+6x+c的图象与x轴交于A、8两点，B点、

的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线8C下方抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数解析式；

(2)连接尸O,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POPC.是否存在点P,使四

边形POPC为菱形？若存在，求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点尸运动到什么位置时，四边形A8PC的面积最大？求出此时尸点的坐标和四边

形4BPC的最大面积.

:.c=-3,

二次函数的解析式为y=/+6x-3,

:点8(3,0)在二次函数图象上，

A9+3&-3=0,

：.b=-2,

二次函数的解析式为y=f-2x-3；

(2)存在，理由：如图1,

连接尸尸'交y轴于£

..•四边形POPC为菱形，

：.PP'.LOC,OE=CE=kc,

2

:点C（0,-3）,

OC=3,

：.OE=^~,

2

：.E（0,-—

2

点P的纵坐标为-—,

2

由（1）知，二次函数的解析式为y=/-2x-3,

-2x~3—~,

2

.•.尸之叵或尸空包，

22

•.•点P在直线BC下方的抛物线上，

.\0<x<3,

点尸（空叵，-2）；

22

(3)如图2,过点尸作PF_Lx轴于R则P/〃OC,

由(1)知，二次函数的解析式为y=/-2x-3,

令y=0,贝！Jx2-2%-3=0,

-1或x=3,

AA(-1,0),

・••设P(m,m2-2m-3)(0<m<3),

**.F(m,0),

9

S四边形ABPC=S^AOC+S梯形OCPF+S^PFB=204•OC+—(OC+PF)・OF+—PFBF

222

=—X1X3+—(3-m2+2m+3)*m+—(-m2+2m+3)*(3-m)

222

(m_3)2+75,

228

.•.当旦时，四边形A8PC的面积最大，最大值为正，此时，P(2,-」立),

2824

即点P运动到点(3,-」互)时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为匹.

248

y

6.如图，抛物线y=o?+6x+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作

直线BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PDA.X轴于点D,设点P的横坐标

为t(0</<3),求△A8P的面积S与t的函数关系式；

(3)条件同(2),若△OOP与△COB相似，求点尸的坐标.

a-b+c=0

解：(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入y=o?+bx+c得：,9a+3b+c=0,

c=2

解得：a=-—,b=—,c=2,

33

...抛物线的解析式为丫=-2/+匡x+2.

33

(2)设点P的坐标为G,-2及+&汁2).

33

VA(-1,0),B(3,0),

：.AB=4.

；.S=^AB'PD=^X4X(-2AAr+2)=-4及+其什4(0<f<3)；

223333

_J_t2^1t+2

(3)当△ODPs^cOB时，型=更即工=_^----3---------

OCOB23

整理得:4?+r-12=0,

解得：t=-1W曰&或t=-1_V193_(舍去).

88

.♦.o-—1+7193,£>P=、O£)=-3+3/1超,

8216

，点P的坐标为(•—11---),——3、191).

816

当△ODPS^BOC,则©D=更，即工=3弋％t+2,

BOOC32

整理得金-「3=0,

解得：t=或t=’7』(舍去).

22

AOD=t=^^~,DP=~OD=^^~^,

233

点尸的坐标为(上区亘，旦亘).

23

综上所述点尸的坐标为(-1+^^,-3+3V193)或(上乂通，1+>/13)

81623

7.如图，抛物线>=办2-3办-4。(a<0)与x轴交于4,8两点，直线》=*尤+]■经过点

A,与抛物线的另一个交点为点C,点C的横坐标为3,线段产。在线段AB上移动，PQ

=1,分别过点P、。作x轴的垂线，交抛物线于E、F,交直线于。，G.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当四边形Z)所G为平行四边形时,求出此时点P、Q的坐标；

(3)在线段PQ的移动过程中，以。、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若

有求出最大值，若没有请说明理由.

.•.y=_lx3+1=2,

22

.♦.点C的坐标为(3,2),

把点C(3,2)代入抛物线，可得2=9a-9a-4a,

解得：a=」，

2

2

,抛物线的解析式为y=-jX-k1x+2；

(2)设点P(m,0),Q(m+1,0),

由题意，点—ZM+—)m,E(m,+G(“z+1,—/M+1),F(m+1,

22222

-ym2-^m+3^

・・・四边形DEFG为平行四边形，

:・ED=FG,

(卷m2+^m+2)-(]加+])=(2血2总m+3)-(]M+1)，即-

••根=0.5,

：.P(0.5,0)、Q(1.5,0)；

(3)设以。、E、F、G为顶点的四边形面积为S,

由(2)可得，S=(-ym2-4-m2+2Xl+2=.(-m2+m+-^-)=，

乙乙乙乙乙

.•.当用=_1时，S最大值为至，

28

以。、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为生.

8

8.如图，已知二次函数y=cz?+bx+3的图象交无轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点

C.E是BC上一点,PE〃y轴.