人教 九下 数学 第28章《锐角三角函数》课件

28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2锐角三角函数锐角三角函数之间的关系(拓展)特殊角的三角函数值利用计算器求锐角三角函数值知识点锐角三角函数知1－讲11.正弦、余弦、正切名称定义符号语言图示正弦知1－讲续表名称定义符号语言图示余弦知1－讲续表名称定义符号语言图示正切知1－讲注意(1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值

时，要先找到角所在的直角三角形；(2)sinA，cosA，tanA反映了直角三角形的边与角的关

系，是两条边的比值，没有单位.知1－讲2.锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.知1－讲特别提醒sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，不能写成sin·A，cos·A，tan·A.知1－讲特别说明(1)定义理解：①由相似的知识可知，sinA，cosA，tanA的值与三角形的大小无关，只与∠A的大小有关；②因为当∠A确定时，sinA，cosA，tanA都只有唯一确定的值与其对应，所以sinA，cosA，tanA都是以∠A为自变量的函数，统称为∠A的锐角三角函数.知1－讲

知1－讲(2)取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.特别解读由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且正弦值和余弦值小于1.知1－讲(3)写法：①当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“∠”，如：sinA，cosA，tanA，sinα

，cosα

，tanα

等；②当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠ABC不能写成sinABC，cos∠1不能写成cos1等.知1－练例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函

数值.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.知1－练

知1－练方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想,首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知的边长，最后结合锐角三角函数的定义求该锐角三角函数值.知1－练

C知1－练

例2解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.知1－练

答案：B知1－练技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要约去辅助元.知1－练

知1－练例3如图28.1－3，在等腰三角形ABC

中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B

的三个三角函数值.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.知1－练

知1－练3－1.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，

S△

ABC＝84，求：知1－练(1)tanC的值；知1－练(2)sinA的值．知1－练

例4知1－练思路引导：知1－练

答案：D知1－练特别提醒：正方形网格的两个隐含条件(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段长度都能求出；(2)利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如45°角，90°角等.知1－练

B知1－练例5

知1－练解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转换为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值．知1－练

知1－练

答案：D知1－练5－1.[期中·福州鼓楼区]如图，在⊙O中，直径AB＝6，AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则cosD的值为_______．知2－讲

知识点锐角三角函数之间的关系(拓展)2知2－讲

知2－讲深度理解1.锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.2.锐角三角函数定义速记口诀：正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，函数特点要牢记.知2－讲2.互余两角的三角函数之间的关系(1)在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB，cosA＝sinB，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90°－∠A)，cosA=sin(90°－∠A).知2－讲

知2－讲

知2－练

例6解题秘方：紧扣“同一锐角的三角函数之间的关系”求解.知2－练

知2－练

知2－练下列各式中，不成立的是()A.cos60°＝2sin30° B.sin15°＝cos75°C.tan30°·tan60°＝1 D.sin230°＋cos230°＝1解题秘方：紧扣“sinα＝cos(90°－α)，tanα·tan(90°－α)＝1”进行判断．例7知2－练答案：A解：A.cos60°＝sin30°，故该选项错误；B.sin15°＝cos75°，故该选项正确；C.tan30°·tan60°＝1，故该选项正确；D.sin230°＋cos230°＝1，故该选项正确.知2－练7－1.[期末·烟台莱州市]若sin(α＋20°)＝cos50°，则α

的度数可能是()A.50° B.40°C.30° D.20°D知3－讲知识点特殊角的三角函数值31.30°，45°，60°角的三角函数值：三角函数值锐角α三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1知3－讲特别提醒1.由左表可知特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角.2.2sin60°表示sin60°的2倍，书写时省略2与sin60°之间的乘号，且应将数字2放在前面，不要写成sin60°·2，以免误以为是sin120°.3.对于含有三角函数的计算题，应先把相应的三角函数值代入，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算.知3－讲2.特殊三角函数值的记忆方法(1)三角板记忆法：如图28.1－7所示，可以借助直角三角板记忆.知3－讲

知3－讲

知3－练

解题秘方：能化简的先化简，然后代入计算即可.例8知3－练

知3－练

知3－练

例9知3－练思路引导：知3－练

知3－练方法点拨：已知三角函数值求角度，关键要注意两点：一要说明角是锐角；二要注意三角函数值与锐角之间是一一对应的关系.知3－练

C知3－练

60°知4－讲1.利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按sin(或cos、tan)键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按＝键，就可以在显示屏上显示出结果；(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时,要借助°′″键计算，按键顺序是：sin(或

cos、tan)、度数、°′″、分数、°′″、秒数、°′″、＝.知识点利用计算器求锐角三角函数值4知4－讲2.已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；如果不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数.求角的度数要先按2ndF键，将sin键、cos键、tan键转化成它们的第二功能键，当三角函数值为分数时，可先化成小数.知4－讲特别提醒1.不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字，再按三角函数键.2.用科学计算器进行计算时，输入的数字符号的顺序与书写时的顺序不一定相同，比如sin213°15′，输入时应为(sin13°15′)2.知4－练用计算器求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的值.例10解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可.知4－练解：如下表：按键顺序显示结果sin16°0.275637355cos42°0.743144825tan85°11.4300523sin72°38′25″0.954450312知4－练10－1.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001)：(1)sin23°5′＋cos66°55′；(2)cos14°28′－tan42°57′；(3)sin27.8°－cos65°37′＋tan49°56′.解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2sin23°5′≈2×0.39207≈0.7841.原式≈0.96829－0.93088≈0.0374.原式≈0.01842－0.41284＋1.18894≈0.7945.知4－练已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数.(1)sinA＝0.5168(结果精确到0.01°)；(2)cosA＝0.6753(结果精确到1″).解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可.例11知4－练解：依次按键：

，显示的结果为31.11784556，即∠A≈31.12°.(2)依次按键：

，显示的结果为47°31′21.18″，即∠A≈47°31′21″.知4－练解法提醒：计算器直接计算出的角度的单位是度，而不是度、分、秒，因此,若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助2ndF和

°′″

键.知4－练11－1.为了方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了一条40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角∠A的度数，具体按键顺序是()A.B.C.D.A锐角三角函数锐角三角函数正弦余弦正切定义计算特殊角的三角函数值锐角的三角函数值锐角的度数题型锐角三角函数与四边形综合1[中考·连云港]如图28.1－8，菱形ABCD的对角线

AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，

OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．例12解题秘方：根据特殊四边形的性质，结合勾股定理求出线段的长度，再利用锐角三角函数的定义求三角函数值.

菱形的对角线互相垂直且平分直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半方法点拨解决锐角三角函数与特殊四边形的综合应用题目时，要充分利用特殊四边形的边角关系，结合三角函数的定义直接求解.题型锐角三角函数与一元二次方程综合2已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对

边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.例13解题秘方:根据一元二次方程根的情况确定三角形边的关系，进而判断三角形的形状，求出三角函数值.(1)判断△

ABC的形状；解：将一元二次方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0.∵方程(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(c－a)(c＋a)＝0.整理得a2＋b2＝c2.∴△

ABC为直角三角形，且∠C＝90°.(2)求sinA＋sinB的值.

方法点拨解决本题的关键是由一元二次方程根的判别式得到关于a，b，c的等式，从而判断三角形的形状.求三角函数值时，只需分析直角三角形中三边的比例关系即可.题型锐角三角函数与一次函数综合3

例14解题秘方：利用两条直线的函数解析式构造方程组，解方程组得点B的坐标；(1)求点B的坐标；

解题秘方：利用点A，B的坐标，根据锐角三角函数的定义求sin∠BAO的值.(2)求sin∠BAO的值.

题型锐角三角函数与圆综合4

例15(1)求BC的长；思路引导：

(2)求⊙O的半径．思路引导：

︵

技巧点拨在圆中利用锐角三角函数求线段长的方法：若已知的锐角和要求的线段在同一个直角三角形中，则直接运用三角函数求解；若不在同一个直角三角形中，则可利用圆中相等的角进行转化.

易错点误认为三角函数值的大小与三角形的大小有关导致出错1例16错解：C正解：锐角A的正弦值是直角三角形中锐角A的对边与斜边的比值.当Rt△

ABC三边的长度都扩大为原来的3倍时，锐角A的对边与斜边的长度也都扩大为原来的3倍，故比值不变.答案：A诊误区：本题往往误认为锐角三角函数值会随边长的增大而增大，实际上，根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于对应边的比，其大小只与边的比值或角的大小有关.

易错点错误理解锐角度数与三角函数值的对应关系2例17

诊误区：在直角三角形中不能用角之间的倍、分关系作为对应的三角函数值之间的倍、分关系.如60°=2×30°，但是sin60°≠2sin30°.如图28.1－11，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，AD⊥

BC于点D，DC＝3，求tanB和tanC的值.易错点忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义的而出错3例18

诊误区：正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，因此在解答有关锐角三角函数的问题时，往往要转化到直角三角形中解答，同时要明确哪个角是直角.若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先构造直角三角形，再求锐角的三角函数值.

考法利用定义求锐角的三角函数值1例19试题评析：本题考查正切的定义，找准∠A的对边与邻边是解题的关键.答案：C

考法利用特殊角的三角函数值进行计算2例20试题评析：本题考查了有关特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．[中考·宿迁]如图28.1－13，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝______.考法网格中的锐角三角函数3例21

试题评析:本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．

[中考·雅安]如图28.1－14，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cos∠ABF的值是_________．

考法折叠中的锐角三角函数4例22试题评析：本题综合考查了矩形的性质、余弦的定义及折叠的性质，利用勾股定理构造方程是解题的关键.

考法圆中的锐角三角函数5例23试题评析：本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，灵活运用这些知识是解题的关键．解：如图28.1－15，连接OC，OD，CD，CD交PA于点E.∵

PC，PD与⊙

O相切，切点分别为C，D，∴

OC⊥

CP，PC＝PD，PO平分∠CPD.∴

OP⊥

CD，∴

CE＝DE.

答案：D

A

A

A4.如图，一座厂房屋顶的人字架的跨度AC＝12m，上弦AB＝BC，∠BAC＝25°