北师 九下 数学 第3章《垂径定理》课件

*3垂径定理第三章圆逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2垂径定理垂径定理的推论知识点知1－讲感悟新知1垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.特别提醒1.“垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线.2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.知1－讲感悟新知2.示例：如图3-3-1，CD⊥AB

于点E，CD是⊙O

的直径，那么可用几何语言表述为表述为CD是直径CD⊥AB

︵︵︵︵感悟新知知1－练

例1感悟新知知1－练解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题.把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.

感悟新知知1－练

利用勾股定理列方程答案：B感悟新知知1－练1-1.

[中考·东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，

则直径CD的长度为______寸．26感悟新知知1－练如图3-3-3，在⊙O

中，AB

为⊙O的弦，C，D

是直线AB

上的两点，且AC=BD.求证：△OCD

为等腰三角形.例2感悟新知知1－练解题秘方：构建垂径定理的基本图形，结合线段垂直平分线的性质证明.作垂直于弦的半径(或直径)或连半径是常用的作辅助线的方法.感悟新知知1－练证明：过点O

作OM⊥AB，垂足为M，如图3-3-3.∵OM⊥AB，∴

AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD.∴△OCD

为等腰三角形.感悟新知知1－练2-1.如图，已知在以点O

为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O

到直线AB

的距离为6，求AC

的长.感悟新知知1－练知识点垂径定理的推论知2－讲感悟新知21.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.知2－讲感悟新知

︵︵︵︵︵︵︵︵知2－讲感悟新知拓宽视野对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.感悟新知知2－练如图3-3-5，AB，CD是⊙O

的弦，M，N

分别为AB，CD

的中点，且∠

AMN=∠CNM.求证：AB=CD.例3解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.知2－练感悟新知证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC.∵O为圆心，且M，N

分别为AB，CD

的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵

OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN(HL).∴AM=CN.∴AB=CD.感悟新知知2－练

感悟新知知2－练如图3-3-6所示是一个残破的圆片.已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.例4︵知2－练感悟新知解：如图3-3-6，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心.感悟新知知2－练4-1.[中考·广西]赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为(

)A.20m B.28mC.35m D.40mB感悟新知知2－练如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O

是这段弧所在圆的圆心，点C

是AB的中点，半径OC

与AB相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.例5解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.︵︵知2－练感悟新知

︵感悟新