2024-2025学年山西九年级数学上学期期中试题分类汇编：旋转（7种题型）（含答案）

专题03旋转（7种题型）

经

优r根据旋转的性质求解

典

选-画旋转图形

基

与旋转有关的问题提

--求绕原点旋转一定角度的点的坐标

础

升题型归纳

旋转综合

题

题-中心谢图形的期

J关于原点对称的点的坐标

根据旋转的性质求解

（23-24九年级上•山西忻州•期中）

1.如图，将绕点A顺时针旋转60。得到△/££»,若线段/8=4,贝UBE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

（23-24九年级上•山西大同•期中）

2.如图，将△048绕着点。逆时针旋转至△OH",使点B恰好落在线段/的上，若

ZAOA'=32°,则N9的度数为（）

O

A.58°B.64°C.74°D.78°

（22-23九年级上•山西吕梁•期中）

3.如图，在RM48c中，ZACB=90°,48=50。，将△NBC以C为旋转中心，顺时针旋转

角度1（0°<a<180°）,若49的中点。恰好在/C上，则旋转角a的度数是（）

试卷第1页，共12页

'B

A.40°B.50°C.130°D.140°

（22-23九年级上•山西临汾•期中）

4.如图，已知点41,0）知点0）,将线段4B绕点4逆时针旋转60。得到线段4C,连接8C,

再把LABC绕点A逆时针旋转75°得至U△/旦£,则点q的坐标是.

（23-24九年级上•山西大同•期中）

5.如图，将△4C尸绕点C逆时针旋转90。得到ABCM,点N,P,Q,B在同一直线上,

连接。M，若/PCQ=45。，/尸=4,QB=3,则尸。=.

（23-24九年级上•山西吕梁•期中）

6.综合与实践

（1）如图1,△4BC为等边三角形，先将三角板中的60。角与重合，再将三角板绕

点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30。），旋转后三角板的一直角边与N3交于

点。，在三角板斜边上取一点凡使CA=a）,线段N3上取点£,使乙DCE=30。，连接

AF,EF.

①证明："ACF知BCD.

②证明：DE=EF.

（2）如图2,△48C为等腰直角三角形，乙4cB=90。,先将三角板中的90。角与/NC3重

合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45。），在三角板另一直角

试卷第2页，共12页

边上取一点，，使C〃=C/，在线段N8上取点G,使/FCG=45。，连接请直

接写出线段/G,G尸,尸尸之间的数量关系.

C

（22-23九年级上•山西临汾•期中）

7.如图，在平面直角坐标系中，yBC的顶点坐标分别是/（4,4）,8（5,2）,C（2,l）.

⑴画出&ABC关于x轴对称的△44G；

⑵画出将△NSC先向左平移7个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△外为。2；

⑶画出将44&G绕点Cz顺时针旋转90。后得到的44员，并写出点4的坐标.

（20-21九年级上•山西吕梁•期中）

8.利用如图所示正方形网格，解决下列问题.

试卷第3页，共12页

y

A

(1)将△4BC以点。为中心，顺时针旋转90。得到△44G，画出△44G；

(2)作出△4BC关于X轴对称的△48,2.

观察发现：

(3)△44C经过一次图形变化就可以得到△4鸟6,这种图形变化是(填“平移”“旋

转”或“轴对称”).

!题型

03|求绕原点旋转一定角度的点的坐标

(22-23九年级上•山西临汾•期中)

9.在平面直角坐标系中，点-3,2),连接。/,把线段。/绕原点。逆时针旋转90。得到

线段OH,则点4的坐标是.

(23-24九年级上•山西大同•期中)

10.如图、在平面直角坐标系中、点A的坐标为(-8,0),点B的坐标为(-4,3),将△048绕

点。顺时针旋转得到AOCD，点A的对应点C刚好落在AB的延长线上，则点B的对应点D

的坐标为.

试卷第4页，共12页

（20-21九年级上•山西•期中）

11.如图，将一个含30。角的直角三角尺AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与

坐标轴重叠.已知NCMB=30。，4B=12,点D为斜边AB的中点，现将三角尺AOB绕点

O顺时针旋转90。，则点D的对应点。的坐标为（）

A.(3月,3)B.(6A/3,-6)C.(3,-3A/3)D.(3百,-3)

!题型04|中心对称图形的识别

（23-24九年级上•山西大同•期中）

12.山西省第十六届运动会于2023年8月8日在大同体育中心开幕，下列用篆书描绘的体

育图标中，是中心对称图形的是（）

A.B.

⑵-24九年级上•山西吕梁•期中）

13.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

（23-24九年级上•山西朔州•期中）

14.刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，将设计的花纹在纺织品上刺绣运针，以绣迹

构成花纹图案的一种工艺，是中国民间传统手工艺之一.下列四个刺绣花纹图案中，既是轴

对称图形又是中心对称图形的是（）

试卷第5页，共12页

（22-23九年级上•山西阳泉•期中）

15.如图，在直角坐标系中，已知点4（9,6）,将AAB。绕点。逆时针方向旋转180。后得到

△CDO,则点C的坐标是.

（23-24九年级上•山西大同•期中）

16.若点”（加,5）与点2（-2,〃）关于原点对称，则2加+〃的值为

（23-24九年级上•山西晋城•期中）

17.如图，在平面直角坐标系中，04=48=5,点2到y轴的距离是4,将△0/3关于原

点对称得到AO/'B',再将AO'/月向左平移5个单位长度得到AO"A"B",则点B"的坐标为

（）

C.(-9,-9)D.(-9,-8)

试卷第6页，共12页

I题型01与旋转有关的最值问题

（20-21九年级上•山西太原•期中）

18.如图，正方形中，5c=4,点A/是线段的中点，点£是对角线8。上一动点,

连接/E,将线段/£绕点A逆时针旋转90。至4尸，连接则线段板的最小值

（22-23九年级上•山西吕梁•期中）

19.如图，在边长为6的正方形4BC。中，M是上一动点，E是CM的中点，NE绕点

E顺时针旋转90。得到E尸，连接。E,DF.

（1）若AW=2,则/£的长为.

（2）求证：DE=EF.

（3）求NC。尸的度数，及CF的最小值.

II

题型02I旋转综合

■।

（23-24九年级上•山西吕梁•期中）

20.综合与实践

如图1,矩形ABCD的边=4,4D=8,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角«（0°<«<90°）

得到矩形NEFG,4D与E尸交于点〃.

数学思考：（1）填空：图1中/〃iF=.（用含々的代数式表示）

试卷第7页，共12页

深入探究：（2）如图2,当a=45。时，求。〃的长.

（3）如图3,当点打在对角线/C的垂直平分线上时，连接C",求证：EH=DH.

图1图2图3

（20-21九年级上•山西吕梁•期中）

21.综合与实践

问题情境

从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现

一般图形具有的普遍规律.

如图1,在△NBC中，ZACB=90°,AC=BC,为8c边上的中线，E为/。上一点，

将以点C为旋转中心，逆时针旋转90。得到△AFT,4D的延长线交线段于点

P.探究线段EP,FP,8尸之间的数量关系.

图1图2

数学思考

（1）请你在图1中证明4PJL8厂；

特例探究

（2）如图2,当CE垂直于AD时，求证：EP+FP=2BP；

类比再探

（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由.

（20-21九年级上•山西•期中）

22.综合与实践

如图1,在正方形488中，点E为。C边上一点，连接NE,点尸为/E的中点，过点

试卷第8页，共12页

E作EGJ./C于点G.连接。尸，FG.

观察猜想：

（1）①NDbG与/D/C的数量关系是_；②。尸和FG的数量关系是

探究发现：

（2）将图1中aEGC绕点C逆时针旋转，使点£恰好落在NC上，将线段。尸绕点尸旋

转180。得到线段〃F,连接DG,H3,HE,如图2所示，探究。G和佑的数量关系，并

说明理由；

（3）探究在（2）的条件下，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立,

请说明理由.

（22-23九年级上•山西大同•期中）

23.综合与探究

2

如图，已知二次函数y=-§x2+6x+c的图象与x轴交于4C两点（点/在点。左侧），

2

与了轴交于点3,直线了=§x+2经过48两点，点尸是直线43上方抛物线上的一个动点,

设点P的横坐标为机，过点P作尸尸，无轴于点尸，交直线48于点D

试卷第9页，共12页

(1)求6,c的值；

(2)求线段尸。的最大值；

⑶连接&尸，将线段3尸绕点尸逆时针旋转90。得到线段£尸，是否存在这样的点E,使点£

恰好落在抛物线上.若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

(20-21九年级上•山西晋中•期中)

24.(1)如图①，在等边三角形N3C中，点尸在A42C内，且/^尸2=150。，猜想尸/,

PB,PC三条线段之间有何数量关系，并说明理由.

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将ALPC绕点/按顺时针方向旋转60。，得到连接PP,寻找尸/,PB,

PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将尸8绕点/按逆时针方向旋转60。，得到AJPC,连接尸P,寻找尸/,PB,

PC三条线段之间的数量关系.…

请参考小明同学的想法，补充图形，并完成该问题的解答过程.(一种方法即可)

(2)如图②，点尸是正方形ABCZ)内一点，若乙4P2=135。，PA,PB,尸C三条线段之间

又有何数量关系？请说明理由.

(3)如图③，点尸是正方形488外一点，若尸PB,PC三条线段满足“类比探究”中的

数量关系，请直接写出乙4尸8的度数.

(20-21九年级上•山西吕梁•期中)

25.实践与探究

已知：ZiABC和aDOE都是等腰三角形，ZCAB=ZDOE=90°,点O是BC的中点，发现结

论：

(1)如图1,当OE经过点A,OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是_，位置关

系是

(2)在图1的基础上，将aDOE绕点O顺时针旋转1(0。＜々＜90。)得到图2,贝U问题

试卷第10页，共12页

（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出口的度数.

（4）在（2）的基础上，ADOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F,当△OFC为等腰

三角形时，请直接写出1的度数.

（23-24九年级上•山西太原•期中）

26.综合与探究

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知

正方形/2CD中，/3=2,点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE,将5E绕点E

顺时针旋转90°得到FE,连接DF.

特例分析：（1）如图1，当点E与点。重合时，求N4Db的度数；

深入谈及：（2）当点£不与点。重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2

与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；

问题解决：（3）如图4,当点E在线段CZ）上，且小=D4时，请直接写出线段3尸的长.

（23-24九年级上•山西大同•期中）

27.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，如图①所示，已知直角三角形N3C

试卷第11页，共12页

中，BC=AC,点、E,D为AC、8c边的中点.

操作探究

将AECD以点C为旋转中心逆时针旋转，得到△E'CD,连接.

(1)如图②，判断线段与8。'的数量关系与位置关系，并说明理由；

(2)如图③，当B,D',夕三点在同一直线上时，ZE'AC=20°,求旋转角的度数；

(3)如图④，当旋转到某一时刻，CD'_LAD',延长与交于点尸,请判断四边形D'CE'F

的形状，并说明理由；

试卷第12页，共12页

1.B

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得

AB=AE,NBAE=60°,然后判断出班是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等

可得BE=NB主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.

【详解】解：•・•△ABC绕点A顺时针旋转60。得到A/ED,

：.AB=AE,ZBAE=60°,

:.AAEB是等边三角形，

：.BE=AB,

■：AB=4,

:.BE=4.

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，根据旋转可得:

OB=OB',ZAOA'=ZBOB',即可得到结论.

【详解】解：由旋转可得：OB=OB，,NACW=NBOB',

-.-zAOA'=32°,

ZAOA'=/BOB'=32°,

•1-OB=OB',

NB'=NOBB'=14°.

故选：C.

3.A

【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出N/=40。，再由旋转的性质得出

=40°,NACB'=/ACB=90°.最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出

A'O=OC,从而得出乙4'C4=/H=40。，即a=40。.

【详解】"ZACB=90°,4=50。，

NA=40°.

由旋转的性质可知//'=//=40°,NA'CB'=NACB=90°.

又；A'B'的中点。恰好在AC±,

A'O=OC,

ZA'CA=ZA'=40°,即a=40°.

答案第1页，共30页

故选A.

【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质.熟练

掌握旋转的性质是解题关键.

4.(1-272,272)

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形，得出

是等腰直角三角形，是解题的关键.

过点轴于点。，根据旋转的性质得出/G=/C=/3=4,A4G。是等腰直角三角形,

根据勾股定理求得AD=2V2进而即可求解.

【详解】解：如图，过点G作CQLx轴于点D

•••线段AB绕点A逆时针旋转60。得到线段AC,

ABAC=60°,^ABC是等边三角形.

•.•把ZUBC绕点A逆时针旋转75。得到△N4G,

NCAC[=75°.

ZCtAD=45°.

二△力G。是等腰直角三角形.

•.•点4(1,0),3(5,0),

•••AB=4.

:.ACl=AC=AB^4.

2

在放中，AC^=AD+CXD-,即2/h=4'解得3=20(负值已舍去).

AD=C[D=25/2.

答案第2页，共30页

.•.C|(1-2也,2物.

故答案为：(1-2亚,2/).

5.5

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据旋转得

AC=BC,AP=BM=4,PC=MC,zACB=zPCM=90°,可证是直角三角形，根据勾

股定理求出加=5,再证出&AMC。即可得出结果.

【详解】解：•.TP=4,△/CP绕点C逆时针旋转90。得到ABCM,

AC=BC,AP=BM=4,PC=MC/ACB=zPCM=90°,//=ZCBM,

//=NCBA=45°,

NA=NCBM=45°,

ZQBM=90°,

QB=3,BM=4,

QM=V32+42=5，

■-ZPCQ=45°,NPCM=90°,

zPCQ=zMCQ=45°,

■：CQ=CQ,PC=MC,

"PCQaMCQ,

PQ=MQ=5.

故答案为：5.

6.(1)①见解析；②见解析；(2)AG2+FB2=GF2

【分析】(I)根据旋转的性质和等边三角形证明即可；通过条件证明AOCE义AFCE(SAS)即

可证明；

(2)同(1)可得：AHCA&FCB心咐,^CHGSACGF(SAS),再根据△ABC为等腰直角

三角形，全等三角形的性质可得NH4G=90。即可求解.

【详解】解：(1)①证明：；△NBC是等边三角形，

.­.AC=BC,ZBAC=6Q°.

ZDCF=60°,

ZACF=NBCD,

答案第3页，共30页

•••CF=CD,

/分3CZ)(SAS)；

②证明：•••NOCF=60。，ZDCE=30°,

ZFCE=30°,

ZFCE=ZDCE.

CF=CD,CE=CE

ADCEAFCE(SAS).

■■DE=EF；

解：(2)同(1)可得：AHCA三FCB(SAS),^CHGSACGF(SAS),

■.BF=AH,HG=GF,NB=NCAH,

•・•△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,

ZB=ZCAH=ZCAB=45°,

NH4G=90°,

•••AG2+AH2=HG2,

■■AGr+FB2=GF2-,

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质勾股定理，看

到旋转要想到旋转的性质，对应边相等，对应角相等，以此来证明三角形全等.

7.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析;4(-2,-2)

【分析】(1)作出点/、B、C关于x轴的对称点4、耳、G，然后顺次连接即可；

(2)作出点/、B、C平移后的对应点4、&、然后顺次连接即可；

(3)作出点4、与绕点顺时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可得出△44G，

再写出点4的坐标即可.

【详解】(1)解：如图，△/田。即为所求.

(2)解:如图,△4与。2即为所求.

(3)解:如图,△44G即为所求.

答案第4页，共30页

点4的坐标为（-2,-2）.

【点睛】本题主要考查了轴对称作图，旋转作图，平移作图，解题的关键是作出对应点平移、

旋转、轴对称的对应点.

8.（1）所作图形如图所示；见解析；（2）所作图形如图所示；见解析；（3）轴对称.

【分析】（1）根据旋转的性质可直接进行作图；

（2）先描出点A、B、C关于x轴的对称点，然后进行依次连线即可；

（3）由（1）（2）图像可直接进行求解.

【详解】（1）（2）所作图形如图所示；

（3）由（1）（2）图像可得△44G经过一次图形变化就可以得到这种图形变化

是轴对称；

故答案为轴对称.

【点睛】本题主要考查轴对称及旋转，熟练掌握在平面直角坐标系中作轴对称图形与旋转图

形是解题的关键.

答案第5页，共30页

9.(-2,-3)

【分析】过点/作NBIx轴于点8,过点/作轴于点C,得到

NABO=NOC/=90°,推出NCMB+N/O8=90。，根据旋转性质得到。4=。4’，

ZAOA'=90°,推出乙lO2+//OC=90。，得到/O4B=//OC,推出AO42/A/OC,根

据/(一3,2),得到/3=2,08=3,推出/C=O8=3,OC=AB=2,得到/(-2,-3).

【详解】如图，过点/作481x轴于点3,过点/作/C_Lx轴于点C,

则ZABO=AOCA=90。，

■.ZOAB+ZAOB=90°,

•••川-3,2),

AB=2,OB=3,

由旋转知，OA=OA,ZAOA'=90°,

■■ZAOB+ZA'OC=90°,

•••ZOAB=NA'OC,

...A。/的/。CA(AAS),

AC=OB=3,OC=AB=2,

A(-2,-3).

故答案为：(-2,-3),

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的图形旋转等，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性

质，全等三角形的判定与性质.

10.（4,3）

【分析】连接3。，交y轴于点E,过点5作2斤，无轴于点尸，本题先通过证明

答案第6页，共30页

AAOB=ZOBD,从而根据内错角相等两直线平行，证明8O〃x轴，得出再根

据等腰三角形的三线合一，可得DE=BE,即可解答

【详解】如图，连接2。，交>轴于点E,过点B作昉_Lx轴于点尸.

4C

AFaX

由旋转，得/4OC=NBOD,OC=OA,OD=OB.

ZOAC=ZOCA=1(180°-Z^OC),ZOBD=ZODB=1(180°-NBOD)

AOAC=ZOBD.

一8,0),5(-4,3),

OA=8,OF=4.

AF=OA-OF=4.

AF=OF=4.

.8斤垂直平分

AB=OB.

ZOAC=ZAOB.

/.AAOB=ZOBD.

轴.

s.OEIBD.

DE=BE.

•••8(-4,3),

BE=4,OE=3.

DE=4.

•・•点。的坐标为(4,3).

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的“三线合一”的性质，“内错角相等

两直线平行线”的判定方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

11.D

答案第7页，共30页

【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB、0A的长，再根据旋转的性质

可得。4',08'的长，从而可得点儿*的坐标，然后根据中点坐标公式即可得.

【详解】；在必A/03中，Z0AB=30°,/5=12,

OB=-AB=6,OA=>]AB2-OB2=673,

2

由旋转的性质得：04=CM=66,0夕=08=6,点。为斜边的中点，

1••将三角尺A0B绕点0顺时针旋转90。,

•••点A的对应点H落在x轴正半轴上，点B的对应点Q落在y轴负半轴上，

H(66,0),"(0,-6),

又.•,点D'为斜边A'B'的中点，

0(6a+0,号)，即。'(36,-3),

故选：D.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握

旋转的性质是解题关键.

12.C

【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟记“把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”是解题关键.

【详解】解：由中心对称图形的定义可知，只有C选项是中心对称图形，

故选：C.

13.C

【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的

概念，对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是中心对称图形又是是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

答案第8页，共30页

14.D

【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，

那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后,

直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.由此

即可求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；

D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，

轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键.

15.(-9,-6)

【分析】根据中心对称的性质解决问题即可.关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相

反数，纵坐标也互为相反数.

【详解】解：由题意C关于原点对称，

VA(9,6),

C(-9,-6),

故本答案为：(-9,-6).

【点睛】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

16.-1

【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键.本

题直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,力关于原点。的对称

点是再代入计算即可得出答案.

【详解】解：•••点，(加⑸与点8(-2,〃)关于原点对称,

:.m=2,n=—5,

••・2m+n=4-5=-1,

故答案为：-1.

答案第9页，共30页

17.D

【分析】此题主要考查直角坐标系中关于原点对称的点的坐标性质，坐标与图形变换一平移,

勾股定理，作BCL.y轴于点C,根据勾股定理求出=彳=3,然后得到点2的坐标

为(4,8),然后根据关于原点对称的点的坐标性质得到点9的坐标为(-4,-8),然后坐标系中

点的平移规律求解即可.解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标性质(横纵坐标互为相

反数)与点的平移的规律(左减右加).

【详解】解：如图，作了轴于点C,

•••点3到y轴的距离为4,

BC=4,

■■AC=后"=3，

.-.OC=5+8=8,

.・•点3的坐标为(4,8),

•••点B关于原点对称的点B'的坐标为(-4,-8),

点Q’的坐标为(一9,-8).

故选：D.

18.V2.

【分析】连接DF,由题意可得NADF=45。且当MF1DF时MF有最小值，所以根据勾股定理

及正方形的边长即可得到解答.

【详解】解：如图，连接。尸，

答案第10页，共30页

F

A

•・,四边形/BCD是正方形，

AB=AD,ZABD=45°,

・・•将线段AE绕点A逆时针旋转90°至AF,

AE=AF,ZEAF=90°,

ZEAF=ZBAD=90°,

ZBAE=ZDAF,

在.BAE和△加尸中,

AB=AD

<NBAE=NDAF,

AE=AF

・•.△BAE%LDAFlSAS),

・•.ZADF=ZABE=45°,

・・・。/与/。所成的角为45。，

・•・当尸时，又少有最小值，

,・,点M是线段4。的中点，

：.MD=-AD=2

2f

MDrr

:.MF=F=也，

故答案为

【点睛】本题考查旋转与正方形的综合应用，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质及三角形

全等的判定与性质是解题关键.

19.(1)/£=衣

⑵见解析

(3)ZCDF=45°,C尸的最小值为3夜.

【分析】(1)过E作EGJL/8于点G,根据£是。乱的中点，由平行线分线段成比例定理

答案第11页，共30页

及中位线定理可知EG=3,/G=5,再由勾股定理即可求出/E的长;

(2)连接班，证出△N8E会ADCEGS^S),进而易求证DE=斯；

(3)连接歹C,过点C作尸于点尸，根据四边形内角和定理，求出/C。尸=45。,

再根据垂线段最短找到CF的最小值为W的长，进而求出W的长即可.

【详解】(1)解：过E作EGLN8于点G,则EG〃3C,如下图：

MEMG

"~CE~^G'

•••E是CM的中点，

：.MG=BG,

二由中位线定理可知：EG=—BC=3,AG=AB-BM=5,

2

.,.在Rt/\AGE中，4E=siAG2+GE2=A/52+32=734，

AE=V34；

(2)证明：连接BE,・・・/43。=90。，E是C"的中点，

:,BE=ME=CE,

・•・/EBC=ZECB,

-ZABC=ZDCB=90°,

ZABC-ZEBC=ZDCB-ZECB,gpZABE=ZDCE,

•・,BE=CE,AB=CD,

・•.AABE^ADCE(SAS),

•••AE=DE,

・・,AE=EF,

DE=EF；

答案第12页，共30页

(3)连接尸C,过点。作C尸」。尸于点尸'，如下图:

由(2)知AE=DE=EF,

-ZDAE=ZADE,/EDF=/EFD,

•・•NAEF+ZDAE+/ADE+ZEDF+ZEFD=360°,

・•・2/ADE+2/EDF=270°,

・•.ZADF=135°,

.•"CDF=ZADF-ZADC=135。一90。=45。，

・•・点厂在。尸上运动，

・•.当尸时，C户的最小值为CP的长，

vCD=6,/CDF=45。,

•.6=1=3后,

NCDF=45。，CF的最小值为3底.

【点睛】此题主要考查了正方形性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形

的判定与性质，旋转的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线.

20.(1)180。-。；(2)。"=8-4应；(3)见解析

【分析】⑴利用等角的余角相等得到==再利用邻补角的性质即可求解;

(2)证明AE4H是等腰直角三角形，利用勾股定理求得/#=4行，据此求解即可；

(3)根据线段垂直平分线的性质求得〃4=C”，利用HL证明即可证

明结论成立.

【详解】解：(1)••・四边形和/E尸G是矩形，

ABAD=NE=90°,

；.NBAE+NEAH=ZEAH+NAHE=90°,

ZBAE=ZAHE=a,

答案第13页，共30页

ZAHF=1SO0-a,

故答案为：180。-a；

（2）•.•将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角a得到矩形AEFG,

*'•AE=AB=4,

a=45°,

・•.ZEAH=45°,

.J胡〃是等腰直角三角形，

•••AH=42AE=472，

■■DH=AD-AH=8-4y/2.;

（3）•.•点〃在对角线/C的垂直平分线上，

HA=CH,

由旋转的性质知4E=48=CD,NE=ND=9。。,

RtA^E//^RtACr>77（HL）,

■.EH=DH.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平

分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

21.（1）见解析；（2）见解析；（3）成立.证明见解析.

【分析】（1）根据旋转图形的性质，RJMAAEC^ABFC,得至UNFBC=NEAC,再由三角形

内角和证明AP1BE即可.

（2）先证明四边形CEPF是正方形，得至!JCE=FP,再证明4CEDmABPD,可得CE=BP,

则问题可证.

（3）过点C作CG1AD,垂足为G,CH1BP,垂足为H,则按照（1）中方法问题证.

【详解】（1）证明：根据旋转图形的性质，可得^AEC三ABFC,

•••ZFBC=ZEAC.

又•••ZADC=NBDP,Z.EAC+ZADC=180°-Z.ACD=90°,

.­.ZBDP+ZFBC=9O°,

.•.zBPD=180°-（ZBDP+Z.FBC）=90°,

•••APIBE.

（2）证明：vzCEP=zEPF=zECF=90°,

答案第14页，共30页

・•・四边形CEPF是矩形.

•・・CE=CF

••・四边形CEPF是正方形.

・・・CE=EP=FP.

又・・・4CDE=NBDP,CD=BD,ZCED=ZBPD=90°

.-.△CED=ABPD,

••・CE=BP.

••・EP+FP=2CE=2BP.

(3)成立.

理由如下：过点C作CG1AD,垂足为G,CH1BP,垂足为H.

vABFC由AAEC逆时针90。旋转得到，

.*.ZAEC=ZBFC,CE=CF,zECF=90°.

vzCEG+zAEC=l80°,ZCFH+ZBFC=18O°,

.*.ZCEG=ZCFH.

vzCGE=zCHF=90°,

.*.ACEG=ACFH,

・・・CH=CG,EG=FH.

・・・EP+FP=GP+HP

vzCGP=zGPH=zH=90°,

・•・四边形CGPH是正方形.

又(2)可知，GP+PH=2BP,

・・・EP+PF=2BP.

【点睛】本题考查了利用图形旋转证明三角形全等以及正方形的性质和判定，解答关键是应

用由特殊到一般思想，通过类比方法证明问题.

22.(1)@ZDFG=2ZDAC；@DF=FG；(2)DG=HG,理由见解析；(3)成立，证

明见解析.

答案第15页，共30页

【分析】(1)①先根据正方形的性质可得NNOC=90。，再根据直角三角形的性质可得

DF=AF=EF=^AE,然后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得

ZDFE=2NDAF,同样的方法可得FG=AF=EF=；AE,NGFE=2ZGAF,最后根据角的

和差即可得；

②由①已证得=么尸=防=：4&,FG=AF=EF=3AE,由此即可得；

(2)先根据三角形全等的判定定理与性质可得力。=硒,/的=/"尸=45。，再根据旋

转的性质、等腰直角三角形的判定与性质可得/CEG=/ECG=45o,EG=CG,从而可得

NDCG=NHEG=90。,然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

(3)先根据三角形全等的性质可得。G=8G,/HGE=/DGC,再根据角的和差可得

/HGD=NEGC=90°,然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得NDFG=9Q°,DF=FG,

由此即可得出结论.

【详解】(1)①•••四边形ABCD是正方形，

NADC=90°,

•••点尸为NE的中点，

：.DF=AF=EF=-AE,

2

ZADF=ZDAF,

ZDFE=ZADF+NDAF=2ZDAF,

同理可得：FG=AF=EF=；AE,NGFE=2NGAF,

ZDFG=ZDFE+NGFE=2NDAF+2.ZGAF=2(ZDAF+ZGAF)=2ZDAC,

故答案为：ADFG=1ADAC-

②由①已证：DF=AF=EF=^AE,FG=AF=EF=^AE,

则DF=FG,

故答案为：DF=FG；

(2)DG=HG,理由如下：

••・四边形A8CA是正方形，

AD=DC,ZDCB=90°,ADAC=ZDCA=45°,

•••线段DF绕点F旋转180°得到线段HF,

DF=HF,

答案第16页，共30页

,••点尸为/£的中点，

AF=EF,

AF=EF

在尸和△£/如中，＜ZAFD=ZEFH,

DF=HF

：AADF=@HF(SAS),

AD=EH,NHEF=/DAF=45。,

DC=EH,

・・•图1中的RtXEGC绕点C逆时针旋转，使点E恰好落在AC±9

:./CEG=/ECG=45。,

/.EG=CG,

NCEG=45。，ZHEF=45°,

/.NHEG=180-ZHEF-ZCEG=90°,

ZDCG=/HEG,

CG=EG

在△OCG和△小G中，izDCG=ZHEG,

DC=HE

:.力CGNWEG(SAS),

DG=HG；

(3)在(2)的条件下，(1)中的结论仍然成立，证明如下：

由(2)已证：△DCGNAHEG,

DG=HG,/LHGE=ZDGC,

ZHGD=ZHGE+ZEGD=/DGC+ZEGD=ZEGC=90°,

.•.△以汨为等腰直角三角形，

又・：DF=HF,即FG为斜边DH上的中线，

:.DF上GF,DF=FG,

ZDFG=90°,

又・・・/ZMC=45。，

ZDFG=2ZDAC.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角

答案第17页，共30页

形的性质等知识点，较难的是题(2),正确找出两组全等三角形是解题关键.

4

23.⑴6=-§,c=2

(2)最大值是:3

(7-797)

⑶存在，FI4J

2?

【分析】(1)根据直线V=§x+2经过43两点，得45的坐标，代入y=-§x2+6x+c,

即可求解；

(2)依题意，点小+2),则。卜,：m+2j,表示出PD,根据二次函数的性

质求得最大值即可；

(3)过点E作EGLx于点G,根据旋转的性质得出AEG尸0AFOB,设厂(-m,0)(加＞0),

24

得出£(一加一2,机)，由E点在>=一§/一§y+2上，代入解方程即可求解.

2

【详解】(1)解：・.・直线尸尸+2经过4B两点，

当％=0时，V=2,当歹=0时，x=-3.

2

，直线>=寸+2与坐标轴的交点坐标为/(-3,0)1(0,2).

将4-3,0),5(0,2)代入歹=—§/+/+。，

b=--,

解得3

c=2.

4

：.b=—,c=2.

3

24

(2)解：由(1)得y=_§工+2.

,:点P的横坐标为m,

点尸］机,_|■机2_gm+2)则机■加+21.

24(2、

PD=——m2——m+2-—m+2.

33U)

22n

——m—2m,

3

2(3丫3/々小

=--Im+~^\+/(_3<加<0)；

答案第18页，共30页

...当加=_；3时，PD最大,最大值是3：.

22

（3）解：如图，过点£作EG_Lx于点G,

备用图

•••将线段BF绕点、F逆时针旋转90°得到线段EF,

ZBFE=90°,BF=EF,

•・•ZEGF=ZFOB=90°,

・•.ZGEF=90°-NEFG=ABFO,

・•・AEGFOFOB,

・•.EG=FO,FG=BO,

设厂（—私0）（加〉0）,贝|/O=EG=加,Gb=03=2,

工E（-m-2,m）,

24

丁石点在＞=-yX+2上，

240

m=——m2——m+2,

33

解得：mJ屈或mJ屈（舍去）

44

d7-V97）

■■-F---,0.

I4）

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段问题，旋转的性质，全等三角形的性质与判

定，掌握二次函数的性质是解题的关键.

24.（1）PA2+PB2=PC2,见解析；（2）AP2+2BP2=CP2,见解析；（3）45°

【分析】（1）证法一根据小明同学的想法根据旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质进

行证明；

答案第19页，共30页

(2)证法一：将△APC绕点N按顺时针方向旋转60。，得到A4P8,连接尸P,寻找P4,

PB,尸C三条线段之间的数量关系；

证法二：将△CP8绕点8按逆时针方向旋转90。，得到A4P8,连接尸P,寻找P4,PB,

尸。三条线段之间的数量关系.

(3)将aBPC绕点8逆时针旋转90。，得到△8PN,连接PP,再根据勾股定理的逆定理得

出ZJPP=9O。，从而得出乙4尸2的度数

【详解】(1)结论：PA2+PB2=PC2.

理由：证法一：如图②-1中，将AlPC绕点/按顺时针方向旋转60。，得到A4P3,连接

PP'.

.•.A