江西省部分学校2024届高三年级下册模拟考试数学试题（解析版）

江西省部分学校2024届高三下学期模拟考试数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

1.已知复数z=］—2"且z+aZ+6=2i,其中a力为实数，则,+旬=（）

A.V7B.VilC.9D.4

［答案XC

K解析?因为复数z=l—2"。力为实数，

所以z+az+b=1—2i+a(l+2i)+Z?=l+a+Z?+(2a—2)i=2i,

l+a+b=0〃二2

所以<解得7。

2。一2二2b=-3

所以|a+历|=|2_3i|="Z3=Jim.

故选：C.

2.已知a,beR,且a>0,Z?>。，则a》>1是Inrz-lnZ?>0的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［答案工D

k解析U若"=e,0=l,符合。》>1,但此时lna/nb=0,不满足充分性，

a=e'=b,符合Ina•In/?>0,但是次?<1,不满足必要性.

故选：D.

3.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田.这〃块地的亩产量（单位：kg）

分别为XI,X”，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

（）

A.XI,尤2,…，尤0的平均数B.X1,X2,无〃的标准差

C.XI,X2,X”的最大值D.X1,XI,X"的中位数

k答案》B

k解析X评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

22

4.方程上+上=1表示椭圆，则实数加的取值范围（）

4m

A.m>0B.m>4

C.0<m<4D.加>0且

K答案1D

22

(解析X方程工+2-=1表示椭圆,

4m

若焦点在x轴上,4>m>0；

若焦点在y轴上,m>4.

综上：实数加的取值范围是m>0且根w4,

故选：D.

7T

5.己知函数〃x)=sin[2x—E),将/(%)图象向右平移;个单位长度后可以得到

6

g(x)的图象，则/(x)+g(x)的一个对称中心为()

、

2,0

A.B.

67

C.一在D.一触

K答案』D

K解析』由题意可得:

石.c1cc

贝1Mx)+g(x)=sin2x---cos2%=——sin2%——cos2%-coszx

I622

-sin2x--cos2x=V3sinflx--

22I3

._兀7klL兀7

令2%——=E=x=----1-—eZ，

326

当左=—i时，故居,oj是/(x)+g(x)的一个对称中心,

.AJT7T7T1r..,„

由—F—=—=>7左=—ez,故A错；

2633

、ku715Tl,4〜,,…

由--1———nk=一eZ,故B错

2663

,krL7L兀丁2.,j,

由---1--=—nk=—eZ,故C错;

2663

故选：D.

6.在等比数列｛%｝中，若为一确定的常数，记数列｛/｝的前〃项积为北•则下

列各数为常数的是（）

A.r7B.TsC.Tl0D.Tn

（答案》D

k解析]设等比数列｛4｝的公比为q,

依题意，q•%92=%=（。4）为确定常数，即每为确定常数.

T]=axa2…a4%=a：不符合题意；

7gQ[“2***”,“8（a4a5y不符合题意；

I。=。化…〃9%0=（a5a6f不符合题意；

岂1="陷2…为确定常数，符合题意.

故选：D.

71

7.若aw/兀,且5cos2a=A/2sinoc,则tana=()

431

A.——B.——C.D.1

343

K答案』A

K解析U由5cos2a=J^sin得

A/2,、

5(cos?a-sin2a)=cosa----sma

2

7

即5(cosa-sin6z)(cosa+sina)=cosa-sina,

因为aw1],兀)，所以cosa-sinawO,

所以cosa+sina=g,结合cos2a+sin2a=l,且cosa<0,sin。>0,

34

得cosa=-—,sma=—

55

“…sina4

所以tana=----=——

cosor3

故选：A.

8.设函数/(x)=sin"+e3x-3-e3-3'-x+3则满足/(x)+/(3—2x)<4的无的取值范围

是()

A.(3,+oo)B.(-oo,3)

C.(1,+<x>)D.(一8,1)

(答案》C

k解析X因为/(x)=sinm+e3A3—e34'—x+3,

所以/(彳+1)=5近(m+兀)+03工+3-3_03-3%一3_%_]+3

=—sin7LV+e”—e3a—x+2>

设g(x)=/(x+l)—2=-sin7ix+e"-eT'-x,显然定义域为R,

g(x-l)=/(x)-2,

又g(—x)=_sin(_7tv)+e'—v+x=—(—sinnx+e='—e'—元)=—g(x),

所以g(x)为R上的奇函数，

3v

又g'(x)=-7icosTIX+3e+3e-*-l>-7icos%+2d3dx.一1=5_兀cos九>。，

所以g(x)在R上单调递增，

又/(九)+/(3—2龙)<4,则[/(x)-2]+[/(3-2x)-2]<0,

所以g(x—l)+g(2_2x)<0,即g(x-l)<-g(2-2x)=g(2x-2),

所以％-1<2%-2,解得x>l,

则满足/(%)+/(3—2%)<4的x的取值范围是(1,+s).

故选：C.

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.)

9.若a>O>Z?>c,则下列结论正确的是()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>2J(a—b)(b—c)

a—ccv

K答案]ACD

K解析』a>Q>b>c,贝Ub-c>0,bc>0:.巴一巴—>0,即@>色，

cbbecb

A正确;

2a2

例如4=1,b=—2,c=—3,b=(-2)=4,。2。=(_3)2=9,显然4<9,B错

误；

a-bba(c-b)八a—bb

由。>0>人>。得。一〃vO,a-c>0,------------------->0,即----->—,C

a—ccCyCi—c)a—cc

正确；

易知a-c>0,a—b>0,b—c>Q>

a—c—2,(a-/?)((_<?)=(a-》)+(6-c)-2d(a-bHb-c)=(Ja—b—y/b—c)2>0,

a—cN2d(a-b)(b-c),D正确；

故选：ACD.

,、f2,xeQ

10.函数O(x)=.八，则下列结论正确的是()

'，〔3”Q

A.。㈤>0(3.14)

B.。(力的值域为[2,3]

C.是偶函数

D.VaGR,D(x+a)=Z)(a-x)

[答案》AC

K解析H。(兀)=3,D(3.14)=2,D(7i)>0(3.14),A正确；

/、2,xeQ/、，、

£>(%)=<,:，则。(力的值域为{2,3},B错误；

[3,x史Q

尤eQ时，—;cwQ,D(D(x))=D(2)=2,D(D(-x))=D(2)=2,

所以。(。(%))=。(。(—切，xcQ时，—X史Q,D(D(x))=D(3)=2,

D(D(-x))=D(3)=2,D(D(x))=D(D(-x)),所以。(。⑺)为偶函数，C正确；

%=应时,取a=l-"此时D(x+a)=D⑴=2,D(a-x)=20)=3,

则O(x+a)wO(a—1),D错误.

故选：AC.

11.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑

球”为A，“第一次取得白球”为4,“第二次取得黑球”为瓦，“第二次取得白球”为82,则

()

A.尸(44)=尸(45)B.尸(4与)=尸(44)

c.「（4|4）+尸（闻A）=iD.尸（闻A）+P（4|4）>I

［答案』BCD

（211

K解析R对A,由题意，第一次取得黑球的概率卜（4）=m=可，

C1?

第一次取得白球的概率。（4）=#=a,

C1C11

第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率）=-f-r=—,

C6c51,

de42

第一次取得白球、第二次取得白球的概率夕（&与）=7^^=三，

C6c5〉

则。（44）。尸（4鸟），所以A错误;

对B,第一次取得黑球、第二次取得白球的概率0（44）=■!拼=2,

C6c513

de44

第一次取得白球、第二次取得黑球的概率。（44）=不疗=«,

C6c5

则尸（49）=。（44），所以B正确;

14

对c,由p（耳|A）=—^^=牛=］（82|4）=「（4与）_五_4

P（A）-T-5

33

得。（4|4）+。（闵4）=1，所以c正确;

4

对D,由「（4|4）=饕?=?=:，得P（闻A）+P（团&）=9>1,所以D正

3

确.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知全集。={-3,-2,—1,0,1,2,3,4},集合A={-3,—L0,3,4},5={0,L2,3},则

”）1A=.

K答案H{-3-1,4}

K解析H由已知令3={—3,—2,-1,4},又4={—3,—1,0,3,4},

所以(23)口4={—3,—1,4}.

13.已知向量常满足同=2石=(夜,-1),口+q=1,则■在行上的投影向量的坐标为

k答案H(-72,1)

k解析u因为,|=2,5=(J5,—1),可得网=百，

又因卜+可=1,可得卜/+可=a+2a-b+b2—4+2a-b+3—1>解得a.B=-3，

所以商在5上的投影向量为|朴。•『管(=卜"1).

14.已知函数/'(1)=Asin(<yx+0)+3(其中4>0,0>0,刨<兀)的部分图象如图所

示，有以下结论：

①舟；

②/(X)+/[F_X]=2；

③/(无)在—,2TI上单调递增.

所有正确结论的序号是.

2+02-0

K解析]由图可得4=——=1,B=——=1,且。＞0,

22

Z71冗71]

则丁=一=2乂匚+：=兀，即刃=2,

co\36)

JrSjr、兀

—x2+0=----b2hi,eZ,即。=---b2kit,keZ,

326

故°=V,即〃x)=sin+,5兀)+1,

又阉＜兀，

6

c57r57r5.兀兀>_•口，曰1.,.

对①：2x=—7i=2TI+—,由％=耳时，函数y=sinx取用大值,

故/是函数/（无）的最大值，故①错误;

75

对②：fsinl--2x+-7i|+l=sin|-2x+-7i|+l=-sin|2x+-7i|+1,

36JI66JI66J

5O(x)+ysin|2x+,兀)+1—sin12%+焉5兀)+1=2,故②正确；

6

4兀JT5717兀29兀.71.7171

对③：当工£一,2兀时，2x+—e4K--,4TH---F—

33626223

兀71

由函数y=sinx在4K--,4K+—上单调递增,

4兀

故函数“X）在3-,2兀上不单调，故③错误.

故正确结论的序号是：②.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15

题13分；16-17题15分；18-19题17分)

15.在VA5c中，内角A8,C的对边分别为“1,c,且

3

cosA=一,(a+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA.

5

(1)证明：VA5c是锐角三角形;

(2)若a=2,求VABC的面积.

（1）证明：因为（。+。）（51!14+5111。）=加1118+3。51114,

222

所以由正弦定理得（a+c）2=〃+3〃c,整理得a+c-b=ac-

,ci+c__bac

则ncosB=----------=——因为3e(O,7i),所以B=W，

laclac2'’3

/\

37171，因为A+C二"

因为cosA二§£,Ae(O,7i),所以Ac

224933

7

兀5兀］

所以Ce所以VA6C是锐角三角形.

3,nj

34

(2)解：因为cosA=5，所以sinA=1,

sinAcosB+cosAsinB=—x—+3,6=4+36

所以sinC=sin(A+j?)=

525210

2_c

4+3百

在VA5c中，由正弦定理得——=——即4=4+3"，所以c

sinAsinC

5KF4

KF；I'IXTADZ">-r,14+3^1?)^39+4-\/3

所以VABC的面积为—acsmB=—x2nx---------x——=-----------•

22428

16.如图，在斜三棱柱ABC-DEF中，平面ABC，平面ACM),AB±BC,四边形

71

ACHD是边长为2菱形，ZDAC=~,BC=1,M,N分别为AC,OE的中点.

（1）证明：BCLMN.

（2）求直线MN与平面BCD所成角的正弦值.

7T

（1）证明：如图，连接。因为四边形ACED是边长为2的菱形，ZDAC=~,

所以△ADC为等边三角形，则。暇，AC.

又平面ABC_L平面ACQ,平面ABCPI平面ACFD=AC,DMu平面4CFD,

所以DM,平面ABC，因为5Cu平面ABC,所以。暇，3C.

因AB//DE,AB±BC,所以OEL3c.

因为。Af0I£）石=。，DM,DEu平面NMD,所以5C_L平面7WE）.

又MNu平面NMD,所以

B

（2）解：如图，过3作。”的平行线为z轴，结合（1）知z轴，BA,3C两两垂直.故

可建立如图所示的空间直角坐标系,

则3(0,0,0),C(l,0,0),MD，出,A（0,V3,0）,

/45'3

\

贝！]BD=，乖>,配=(1,0,0),BA=(0,73,0).

5F7

设平面5CQ的法向量为为(x,y,z),

1

n-BD=0,-X+

则得2

tiBC=O,

%=0,

取y=2,得Z=—1，则为=(0,2,—1).

因为N为DE的中点，所以DN=-!E£>=-!B4=0,-

224]

/

又DM=(0,0,—.所以MN=DN—DM=0,—

MN-n-2A/34

则cosMN,云=

1阿为「争逐5-

设直线MN与平面6。所成的角为6,则sin。=|cosW,«|=|,

4

即直线MN与平面所成角的正弦值为手

17.已知函数/'(%)=ta+lnx+l,g(x)=xe*—2x.

(1)若/（x）的极大值为1，求实数。的值;

(2)若。=—1,求证：/(%)<g(x).

ax+1

(1)解：/co的定义域为（o,+9>,r（%）=«+-=

Xx

当。之0时，/（x）>0,/（幻在（0,+8）上单调递增，函数/（无）无极值;

当a<0时，令/'(x)>0,得0<x<-L,令/'(x)<0,得x〉—L,

aa

所以/（无）在（0,一工上单调递增，在［上单调递减,

ka

故当X=—工时，/(x)取得极大值，极大值为=工]=1,解得a=—

a\\aJe

经验证a=-工符合题意，故实数a值为-1.

ee

(2)证明：当〃=一1时，/(x)=lnx-x+l,

故要证/(x)Kg(x),即证xd—x—lnx—lNO.

令产(%)=xex-x-lnx-1,则F\x)=(x+l)ex---1=(x+l)|e"-—|,x>0.

xVxj

令G(x)=e"—L，x>0,则G'(x)=ex+±>O,

XX

所以G(x)在(0,+8)上单调递增,

又因为G[g]=血—2<0,G(l)=e-l>0,

所以抽使得G(%)=0,即W=J,

当兀«0,%)时，G(x)<0,当xe(%o，+co)时，G(x)>0,

所以F(x)在(0,尤0)上单调递减，在(天,”)上单调递增,

所以尸(为塘=尸(%)=/€%-x0-ln%0-l.

右1

又因为e°=一,即XoM-ln/,

所以尸(x)mm=l-Xo+XoT=O,

所以/(x)N。,BPxex-x-lnx-l>0.故/(x)<g(x)得证.

18.己知数列｛aa｝的前〃项和为S”,a”>0,且a；+2a“=4s”一1.

(1)求｛a.｝的通项公式；

s

(2)设2=—」的前〃项和为(，求?；.

44+1

解：(1)Qaj+2%=4s〃一1,a：]+2a0+]=4S“+]—1,

两式作差得:(a“+i+a”)(a,+i—a“—2)=0,

Qa〃〉0.”“+]-4=2,

，｛%｝成等差数列，

又当〃=1时，（4一1）2=0,所以q=l,

即4=1+（〃—1）x2=2〃—1.

（2）由（1）