新疆某中学2025届高三一轮摸底数学试题（含解析）

新疆兵团第二师华山中学2025届高三一轮摸底数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（x）=x的图象大致是（）

e8sd

出十%+a6=9,则1。8工（。3+4+%）的值是（）

2.已知数列｛a“｝满足log3a„+1=log34+i（"wN*）,且

9

A.5B.-3C.4D.—

91

3.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所

示（单位：寸），若〃取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中*的值为（）

俯视图

A.3B.3.4C.3.8D.4

4.AABC的内角A,B,C的对边分别为“,仇c,已知a=代/=1,8=30。，则4为（）

A.60°B.120°C.60。或150°D.60。或120°

5.已知复数z满足目=1,则|z+2—z［的最大值为（)

A.2+3B.1+75C.2+75D.6

6.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是（

A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/

2\x<0)

%2+2x,(x>0)

c.〃x)=,D.〃x)=,0,(x=0)

-x2+2x,(x<0)

I,(x>0)

I

2-i

7.设复数z=--,--则--|zl=()

l+3z

1£D,正

A.C.

322

z=4_(i为虚数单位),

8.若复数则z=（)

2-i

A.2+iB.2-iC.l+2zD.l-2z

9.已知三棱锥P-ABC,AC=6,BC=1,ACJ_BC且=总，平面ABC,其外接球体积为（）

4%3271

A.——B.4%C.D.4岳

3亍

10.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

9。

SO

：0

60

50

-)0

30

20

10

°1234456789I0III2；|

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

11.已知正四面体ABC。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心，且市5=+x,y,zeR,则

x+y+z=（）

12.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和.若&=-5,$4=—16,则以=()

A.5B.3C.-12D.-13

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2I1

13.已知x>。，y>0,且一H■—=1,若%+2y>加92+2加恒成立，则实数加的取值范围是.

^y

14.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同.如图所示，一列圆C“：无2+(y-%)2=今2(曲>0,r„>0,

2

n=l,2…)逐个外切，且均与曲线产I相切，若,尸1,贝！J〃尸,rn=

15.在△ARM,为定长，回+2罔=3冈，若AABC的面积的最大值为2,则边的长为

16.直线3-“y-1=0(m>0,">0)过圆。：必+丁2一2》+2丁—1=0的圆心，则工+工的最小值是.

mn

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆。：5+/=1(。〉。〉0)的离心率为：，且过点倒,也).

(1)求椭圆C的方程;

（2）已知ABMN是椭圆C的内接三角形，

①若点3为椭圆C的上顶点，原点。为△5AW的垂心，求线段的长；

②若原点。为ABMN的重心，求原点。到直线MN距离的最小值.

18.（12分）在极坐标系中，直线/的极坐标方程为9=以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直

x=3cos。，

角坐标系，曲线C的参数方程为「（戊为参数），求直线/与曲线。的交点尸的直角坐标.

y=11+cos2a

19.（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取1。。件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如

图1）：规定产品的质量指标值在［65,85）的为劣质品，在［85,105）的为优等品，在［105,115］的为特优品，销售时劣

质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代

替产品的质量指标值位于该区间的概率.

01（）2030405060

年者的费用寮万元）

图2

（1）求每件产品的平均销售利润;

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用X（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对该企业近5年

的年营销费用占和年销售量%,（7=1,2,3,4,5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

5555

Z（%-方）（匕-可

1=1i=li=lZ=1

16.3523.40.541.62

[5]5

表中的=ln匕，匕=lny,u=-^ui,.

5i=i5，=i

根据散点图判断，y=可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.

①求y关于x的回归方程；

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售

利润—营销费用，取e359=36）

附：对于一组数据（的,匕），（%,%），…，（"”，""），其回归直线£=应+/“的斜率和截距的最小二乘估计分别为

5

/=----------------，a=v-pu.

Z=1

20.（12分）如图，在四棱锥尸—A6CD中，侧棱底面ABC。，ADUBC,ABC=90°，AD=1,

PA=AB—BC=2>"是棱PB中点.

（1）已知点E在棱BC上，且平面AME//平面PC。，试确定点E的位置并说明理由；

（2）设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线与平面R45所成角最大？并求最大角的正弦值.

21.（12分）已知椭圆G:£+[=l（a〉6〉0）,上顶点为以。,1）,离心率为正，直线/：丁=丘一2交y轴于C点，

a'b'2

交椭圆于P,。两点，直线BP,3Q分别交x轴于点w,N.

（I）求椭圆G的方程；

（II）求证：S&B0M­SABCN为定值.

22.（10分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利

地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试

的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新

报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.

某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况男学员女学员

第1次考科目二人数1200800

第1次通过科目二人数960600

第1次未通过科目二人数240200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且

每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫

妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X元，求X的分布列与数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.

【详解】

当x>l时，/（x）=ln（x--）,

由y=一L，y=%在（L+8）递增，

x.

所以1二%-工在。,+8）递增

X

又y=ln%是增函数，

所以〃x）=ln（x」）在。,+8）递增，故排除B、C

X-

当时/（XHeSSG,若X40,1）,则

所以/=COS77%在（0,1）递减，而>=6’是增函数

所以〃x）=e8SG在（0,1）递减，所以A正确，D错误

故选：A

本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，

减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.

2.B

【解析】

由现3%+1=1唱％,可得%=3%,所以数列｛4｝是公比为3的等比数列，

9

所以。2+。4+。6=。2+94+81%=914=9,则。2=元，

贝pog］（。3+%+%）—l°gi（3g+27%+243%）=logi3。=—3,故选p

333

点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试

题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在

使用等比数列的前〃项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

3.D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为X,3,1和

一个底面半径为工，高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2(x+3x+3)+^■•(5.4-%)=42.2,

解得x=4,

故选：D.

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

4.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=@,再由角A的范围可求得角A.

2

【详解】

由正弦定理可知，一=—也，所以芭-=^^,解得sinA=无，又0°<A<180。，S.a>b,所以A=60°或

sinAsin8sinAsin30°2

1200=

故选：D.

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

5.B

【解析】

设2=。+历,。36尺，|z+2—z]=J(a+2)2+(匕—1)2,利用复数几何意义计算.

【详解】

i^：z=a+bi,a,b^R,由已知，a2+b2-1>所以点(a,〃)在单位圆上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(6-l)i|=^(«+2)2+(Z?-1)2，-J(a+2)~+(b-1)2表示点(a，b)

到(—2,1)的距离，故|z+2—心J(—2)2+仔+i=i+&.

故选：B.

本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式\z+2-i\<\z\+\2-i\来解决.

6.C

【解析】

对选项逐个验证即得答案.

【详解】

对于4，/(一尤)=lnQT+l)=ln(W+l)=/(x),.•./■(%)是偶函数，故选项A错误；

对于3,/(x)=x-'=-,定义域为{X|XHO},在R上不是单调函数，故选项3错误；

X

对于C,当尤〉0时，一x<0,x)=—(―尤)~+2(—x)=—x~—2x=—(尤？+2x)=—/(%)；

当尤<0时，一%>0,;./(―x)=(―x)~+2(—x)=x"—2x=—(—厂+2x)=—/；

又x=0时，/(-0)=-/(0)=0.

综上,对xeR,都有/'(一%)=—/(%),，/(x)是奇函数.

又转0时，/a)=/+2x=(x+l)2—1是开口向上的抛物线，对称轴x=—1,.••/(九)在［0,+<»)上单调递增，

•・"(X)是奇函数，.•・/(九)在E上是单调递增函数，故选项C正确；

对于D,/(%)在(—8,0)上单调递增，在(0,+“)上单调递增，但/(—l)=g>/⑴=—j.../(可在R上不是单

调函数，故选项。错误.

故选：C.

本题考查函数的基本性质，属于基础题.

7.D

【解析】

先用复数的除法运算将复数z化简，然后用模长公式求z模长.

【详解】

到2-i(2-z)(l-3z)-1-7/17.

ffl/E.Z—■--------------------------------1

1+3，(l+3z)(l-3z)101010'

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

8.B

【解析】

根据复数的除法法则计算Z,由共朝复数的概念写出J

【详解】

55(2+z)10+5zc.

z=---=---------=-----=2+i

2-i(2-z)(2+z)5

■-z=2-i,

故选：B

本题主要考查了复数的除法计算，共辗复数的概念，属于容易题.

9.A

【解析】

由AC_L3C,P3，平面ABC,可将三棱锥P-ABC还原成长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,

进而求解.

【详解】

由题，因为AC=J5,BC=1,4。，3。,所以.=54。2+8。2=省,

设Pfi=则由PA=2PB,可得后方=2加解得h=l,

可将三棱锥P-A5C还原成如图所示的长方体，

则三棱锥尸-A3C的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R,则2R=712+(V2)2+12=2，所以R=1，

所以外接球的体积V=

33

故选:A

本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.

10.D

【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由图可知月收入的极差为90—30=60,故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确；

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为30,故选项C正确，选项D错误.

故选：D.

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

11.A

【解析】

3

如图设"_L平面5CD,球心。在AF上，根据正四面体的性质可得AO=—AP,根据平面向量的加法的几何意义,

4

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【详解】

如图设平面5CD,球心。在AE上，由正四面体的性质可得：三角形5CD是正三角形，

5F=jx^l2-(1)2=^~,Ap=JF—(#)2=半，在直角三角形尸08中，

OB-=OF-+BF2nOA2=(--—AO)2+

AO=-AF,AF^AB+BF>AF=AD+DF-AF=AC+CF-因为歹为重心，因此EB+EC+FD=6，则

^AB+AC+AD^,因此x=y=z=a，则x+y+z=a，故选A.

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

12.B

【解析】

4x3

由题得q+d=-5,4^+-^-d=-16,解得。1=-7,d=2,计算可得4.

【详解】

Oj=-5,S4=-16,q+d=-5,4al■)■――<7=-16,解得％=-7,d=2,

0=%+5d—3.

故选：B

本题主要考查了等差数列的通项公式，前九项和公式，考查了学生运算求解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-4,2)

【解析】

试题分析：因为x+2y=(x+2y)(2+4)=4+勺+'24+2/曳x±=8当且仅当x=2y时取等号，所以

xyxyyxy

nr+2m<8=Y<m<2

考点：基本不等式求最值

5

14.-n

4

【解析】

第一空：将圆G：x2+(y—q)2=l与>=必联立，利用△=()计算即可；

第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系4=a,i+*i+),再将。“：为2+(,一4)2=今2与〉=必联立，得到

a„=r^+-,与%=*+*+rn结合可得rn为等差数列,进而可得rn.

【详解】

当八=1时，圆G:炉+(y-q)~=1,

与y=必联立消去y得V一(20—1)丁+q2-1=。，

则A=(2a]_l)2_4(ar_l)=0,解得q=；；

由图可知当〃22时，=4-l+7l+G①，

将C“：/+(y—=公与>=x2联立消去y得

则A=(2a"—1)2—4(42—眉=0,

整理得,代入①得Y+：=*2+：+*+小

整理得rn-h=1,

则rn="+(〃T)=〃.

故答案为：一；n-

4

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合

性较强，是一道难度较大的题目.

15.2

【解析】

设=以3为原点，为工轴建系，则3(0,0),C(«,0),设A(x,y),ywO,

|AB+2AC|=|(2a-3x,-3y)|=3a,利用求向量模的公式，可得卜-g1+y2=a2(y*0),根据三角形面积公式

进一步求出。的值即为所求.

【详解】

解：设BC=a,以5为原点，为工轴建系，则3(0,0),C(«,0),设A(羽y),y*0,

i2

由乂板=不5。3,可得马丁区+=2.

则BC=a二2.

故答案为：2.

本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.

16.4

【解析】

直线mx-町-1=0(加>0,孔>0)经过圆N+V-2x+2y-1=0的圆心(1,-1),可得机+〃=1,再利用“乘1法”和基

本不等式的性质即可得出.

【详解】

\*mx-ny-1=0(m>0,n>0)经过圆N+俨-2x+2y-1=0的圆心(1,-1),

.\m+n-1=0,即m+〃=1.

]|11THnI

/.——k—=(----F—)(m+n)=2H------1---->2+2=4,当且仅当机=九=一时取等号.

mnmnnm2

**•则1—的最小值是4.

mn

故答案为：4.

本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)^+£=1；(2)①WH；②1

【解析】

(1)根据题意列出方程组求解即可；

(2)①由原点。为的垂心可得30,"N,MN//X轴，设M(x,y),则N(—x,y),f=4一gy,根据

丽.西=0求出线段MN的长；

②设A/N中点为D，直线。。与椭圆交于A,B两点，0为AEMN的重心，则BO=2OD=OA,设MN：y=kx+m,

/(/%),N(%2，%)，则A(玉+%2，乂+%)，当MN斜率不存在时，则O到直线的距离为1,

y=kx+m

（44之+3）玉9+4根化（玉+x）+4m2+6=0,则（4左之+3）/+8/nAx+4m2-12=0,

2田131+4/=12

-Smk4m2-12/日E，,,一旬的）\m\14k2+3

再+x,=———-,x,x=7-----，付出477r2=4匕2+3>根据d=/求解即可.

一4H+31-24/+3JF7T\4k2+4

【详解】

b=6a2=4

解:(1)设焦距为2c,由题意知：■b?=a1-c2,<b2=3

clC=1

、

2

22

因此，椭圆C的方程为：—+^=1；

43

（2）①由题意知：BO±MN,故儿W//x轴，设M（x,y）,则N（—x,y）,x2=4-1y2,

BM-ON=—x2+V—yfiy=—y2——4=0,解得：y=y/3或_4^/^,

B,〃不重合，故＞=一生8,X2=—,故MN=2|x|=生恒；

②设中点为。，直线OD与椭圆交于A，3两点，

。为的重心，则5O=2OD=Q4,

当MN斜率不存在时，则。到直线MN的距离为1；

没MN：y=kx+m,N（x2,y2）,则A（/+%2，%+%）

看+支=反+21=包*1+5土置=>3x^+43V2=一6

434343

3%%+4（@+m）（Ax2+m）=-6

2

（4左之+3）玉%2+4相化（玉+x2）+4m+6=0

y=kx+m

则（4左2+3）X2+8mAx+4毋-12=0

13/+4/=12

4左2+3—苏

A=48（4左2+3—加2）>o,-4mk±

x=

4左2+3

-8mk4m2-12

则：%；+X=代入式子得:

24左2+34k~+3

8〃/-6-3"'：卜=Q,4根2=4左2+3

4左2+3

\m\4左2+3

设。到直线MN的距离为d,则〃=^^

jF+l4左2+4

左=0时,%=手;

综上，原点。到直线距离的最小值为走.

2

本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.

18.（0,0）

【解析】

将直线/的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程，联立直角坐标方程求出交点坐标，结合X的取值范围

进行取舍即可.

【详解】

因为直线I的极坐标方程为8=§(夕eR),

所以直线I的普通方程为y=瓜,

x=2coscif

又因为曲线C的参数方程为《।、(。为参数)，

y=1+cos2a

所以曲线C的直角坐标方程为y=gx2(xe[-2,2]),

)=瓜rx=0年=2后

联立方程41,，解得<八或4,

y=-x2b=0[y=6

因为-2WxW2,所以卜=2石舍去，

y=6

故P点的直角坐标为(0,0).

本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标

方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

19.(1)3元.(2)①>=361②216万元

【解析】

(1)每件产品的销售利润为X,由已知可得X的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从

而可得X的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

(2)①对y=—取自然对数，得lny=ln(a•尤")=lna+Z?lnx,

令“=lnx,v=lny,c=lna,则丫=。+/^,这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程,

从而可求得y=

111

②求出收益z=3y-x=3x36%^-x=108x^—x,可设/=户换兀后用导数求出取大值，

【详解】

解：(1)设每件产品的销售利润为X,则X的可能取值为-0.8,4,6.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优

等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1.

所以P(X=-0.8)=0.25；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列为

X-0.846

P0.250.650.1

所以E(X)=(—0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件产品的平均销售利润为3元.

(2)①由得Iny=ln(〃,x")=ln〃+blnx,

令"=ln%,v=iny,c=lna,则？=。+力〃，

5

0.541

由表中数据可得3=±H----------------

用(均-万)2L623

1=1

八23411635

则2="—=———=4.68-1.09=3.59,

535

11「.D

所以£=3.59+-M,即lng=3.59+—lnx=lne3'59-x3,

33

因为取e359=36,所以公=36)，故所求的回归方程为＞=36；J.

、一11

②设年收益为z万兀，则z=3y—x=3x36户-x=108#-x

令r=，＞0，贝1Jz=108f—儿z'=108-3,2=-3(『一36),当0＜『＜6时，z'＞0,

当/＞6时，z'＜0,所以当。=6,即x=216时，z有最大值432.

即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元.

本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用.在求指

数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程.

20.(1)E为8C中点，理由见解析；(2)当点N在线段。C靠近。的三等分点时，直线与平面R45所成角最

大，最大角的正弦值且.

7

【解析】

(1)E为中点，可利用中位线与平行四边形性质证明VE//PC,AE//DC,从而证明平面AME//平面PCD；

(2)以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x、V、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N在

线段。C靠近。的三等分点时，直线与平面R43所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【详解】

(1)E为中点，证明如下：

・••M.£分别为中点，

：.ME//PC

又,：MEu平面PDC,PC<=平面PDC

/平面PDC

又•：EC/1AD,且EC=AZ)...四边形及1Z>C为平行四边形，

:.AE//DC

同理，AE//平面PDC,又；AEcME=E

二平面AWE//平面PDC

(2)以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),£>(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)

设直线MN与平面R钻所成角为。，丽=/1比则

MN=MA+AD+DN=(2+1,22-1,-1)

取平面PAB的法向量为7=(1,0,0)则

4+1(4+1)2

sin。=cos<MN,n>

J(X+1)2+(22-1)2+15Z2-22+3

(4+1)2=/_]<5

22

令A+l=te[l,2],则52-22+3-5t-2t+3—tn4A210l.一7

所以sin。（且

7

52

当/=—02=—时，等号成立

33

即当点N在线段。。靠近。的三等分点时，直线与平面PA5所成角最大，最大角的正弦值叵.

7

本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.

f1

21.(I)++/=1；(II)S^0M.S^CN=~,证明见解析.

【解析】

（I）根据题意列出关于。，b,c的方程组，解出a,b,。的值，即可得到椭圆G的方程;

V1—1v

(II)设点尸（%，%）,点。（尤2，%），易求直线的方程为：y—1=」一X,令y=0得，xM=-^,同理可得

石1-%

尤N=Jj，所以

「%

[]3XtX

^•^=-><lxl^l><-><3x|x|=-x|——一|,联立直线/与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，化

22;v49-3左（玉+%2）+左％%2

简即可得到%

【详解】

b-X

a=^2

c_41解得“=1

（I）解：由题意可知:~a~^2

〃2=,2+02c=1

二椭圆G的方程为：-+/=1；

（II）证：设点尸（X],%）,点。（9，%），

y=kx-2

联立方程代,消去，得：（1+2严）/一8爪+6=0,

8k6

--------7

X,+X7=①,

121+2421+2左2

■.,点尸(%，％),5(0,1),

,%一1八Xx,

，直线8?的方程为：y-i=-一％,令y=0得，x=0）,

石1一%1一%

同理可得阳丁一，0),

113

3xX||

•••SMOM。尔.XIXIXM|X-X3X|^|=-X|X.z

MX7VIf172

七声3王工2

=-x\____2T2_____।=-X\

2I,

4(3-kx1)(3-kx2)49—3k(x1+x2)+kxxx2

6

3