2023年高考数学二轮复习试题汇编：求数列的通项公式

专题07求数列的通项公式

一、核心先导

二、考点再现

【考点1］已知前你n项和，求通项公式的步骤

（1）、当”=1时，ai=Si；（2）、当佗2时，斯=SLS〃-i；（3）对"=1时的情况进行检验，若适合它2

的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.

【考点2］已知数列的前几项，求通项公式

如果符号正负相间，则符号可用（一1）"或（-I）/】来调节.

分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.

对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转

化（转化为等差、等比或其他特殊数列）等方法来解决.

【考点3］已知数列的递推关系，求通项公式

当出现斯=斯-1+加时，构造等差数列；

当出现斯=xa“-i+y时，构造等比数列；

当出现时，用累加法求解；当出现-^匚=/（〃）时，用累乘法求解.

〃〃一1

三、解法解密

若数列｛/｝满足4+4+1=劭+6,则数列都是公差为a的等差数列，若数列｛/｝满足

n+,

an-an+l=a-b（awQb羊0力工1）,则数列｛%｝,｛%,，都是公比为b的等比数列.

四、考点解密

题型一:公式法

例1、（2022•全国•武功县普集高级中学模拟预测（理））记S”为各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和,

71

S=—,a=—,则。5=（）

3832

A.—B.-C.ID.2

48

【变式训练1-1】、（2022•广西•模拟预测（理））在等比数列｛%｝中，若的=3,%=6,贝!]&=.

例2、（2022・浙江台州•模拟预测）已知公差为2的等差数列｛%,｝中，%，4，%成等比数列.

⑴求％;

（2）设么=an+2%，求数列也｝的前“项和S”.

【变式训练2-1】、（2022•上海松江•二模）在等差数列｛%｝中,已知%+%=1。，%+4+%=30.

（1）求数列仅“｝的通项公式;

（2）若数歹心4+2｝是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛"｝的前”项和S,.

题型二:累加法与累乘法

（一）、用累加法求数列的通项公式

例3、（2022•上海市控江中学高二期末）己知数列｛%｝满足G=l,a,+i=a“+2〃（〃eN,〃21）,则其通项公式

【变式训练3-1]、在数列｛4｝中,，4+「4=」一,则该数列的通项公式*=.

【变式训练3-2】、（2022•浙江柯桥•高二期末）已知等差数列｛%｝中，e=6,前5项的和为§5=90,数列

圾｝满足4=1,2+1-2=2"（〃eN）

（1）求数列｛%｝,｛2｝的通项公式；

⑵记c“=\an-bn\,求数列｛%｝的前n项和T„.

（二）、用累乘法求数列的通项公式

例4、（2022.安徽黄山.一模）已知数列｛4｝满足卬=2,〃用=2义4,则

n+1

“2021__

+%+%----------H%020

例5、（2021.河北•沧州市一中高三阶段练习）已知数列｛4｝中，q=＜，且满足"+1=（〃+1）。”.

⑴求数列同｝的通项公式；

⑵设么=2］，一-几］,若对任意的〃eN*,数列｛2｝是单调递减数列，求实数X的取值范围.

【变式训练5-1］、数列｛4｝中，前几项和为S“，S”=曹

（1）求数列｛4｝的通项公式；学=科网

⑵令。=以也+2,证明：2〃<么+a+…+”<2〃+3.

y'nQQizn

*\+l*\+2

【变式训练5-2】、（2022・吉林・东北师大附中模拟预测）已知数列｛4｝中，%=1,5“是数列｛q｝的前"项

（1）求数列｛%｝的通项公式：

12n

⑵证明：—+—+—<3.

题型三:已知前n项和，求通项公式

例6、（2022.湖南.安仁县第一中学模拟预测）已知数列｛4｝中，前〃项的和为S“，且5“=3%-4

⑴求数列®｝的通项公式；

123nq（?Y一

（2）如果一+—+—+•••+—<--8x-恒成立，求〃最小值.

%4/an2⑶

【变式训练6-1】、（2022・四川资阳.一模（理））已知数列同｝的前"项和为％满足$3=3%+2,且

2a,,=S“+ax.

⑴求｛见｝的通项公式；

⑵数列也｝旃足厂+广+厂+…+厂=%+1-2,求｛2｝的前〃项和（.

题型四:构造法

例7、（2022・安徽•合肥市第十一中学高二期末）已知数列｛q｝满足弓=3,«„+1=2«„+l（»eN*）.

⑴求证：数列｛%+1｝是等比数列；

⑵求数列｛4｝的通项公式及前〃项的和S,.

【变式训练7-1】、（2022•江苏镇江•高二期末）已知数列｛4｝满足％=l,%=2a“+l,〃wN*.

（1）证明数列｛%+1）是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（2）令或=<«„+1），求数列也｝的前n项和Tn.

五、分层训练

A组基础巩固

1.（2022・广西北海•一模（理））在等差数列｛%｝中，%=8,%=12,贝！］%2=（）

A.19B.18C.17D.20

2.（2022•全国•模拟预测（文））在数列｛%｝中，Oj=l,n（M+l）（a„+1-a„）=l（neN*）,则々022=（）

4043202140402020

A.------B.-------C.-------D.-------

2022202220212021

3.（2022・广西•模拟预测（文））在等比数列｛4｝中，q+4=4,若%、出+2、生成等差数列，则｛%｝的

公比为。

A.2B.3C.4D.5

4.（2010・山西临汾・模拟预测（文））已知等差数列｛4｝的公差是2,若%,生，%成等比数列，则。2等

于（）

A.-6B.-4C.-8D.—10

5.（2022•山西大附中三模（理））己知等差数列｛。,｝的各项均为正数，其前“项和为S",且满足

=17,S5~Q2a3，贝I"12=（）

A.28B.30C.32D.35

6.（2022・广东・肇庆市外国语学校模拟预测）若数列｛%｝满足。用=24-1,则称｛乙｝为“对奇数列”.已知

正项数列也+1｝为“对奇数列”，且4=2,则2=（）

A.2x3"-'B.2"-C.2n+1D.2"

x1+ClI

7.（2022・四川•成都七中模拟预测（文））设数列｛（凡｝满足%+1=「，且则。2侬=（）

14〃2

A.—2B.—C.；D.3

32

8.（2020.云南.昆明一中模拟预测（理））已知等比数列｛%｝的前〃项和为S〃=3"+Q（〃£N*）,则实数。的

值是（）

A.-3B.3C.-ID.1

9.（2022・吉林・东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，卬+%+/=9,%+%=16,则4=（）

A.9B.10C.11D.12

10.（2022•江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列｛%｝满足：①先单调递减后单调递增：②当〃=3时取

得最小值.写出一个满足条件的数列｛%｝的通项公式4=.

11.（2022•河南开封•模拟预测（理））在等比数列｛%｝中，S,为其前"项和，若%=3,$3=9,则｛%｝的

公比为.

12.（2022・陕西西安.模拟预测（文））已知等差数列｛4｝的公差d=l,且%,生，必成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛4｝的前〃项和为S”.

13.（2022.河南•模拟预测（理））若数列｛可｝满足4=1,all+1-a„=2n.

⑴求｛%｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—+…+—<2.

B组能力提升

14.（2023•江西景德镇•模拟预测（理））已知数列｛%｝为等差数列，数列｛〃｝为等比数列且公比4=2.数

列｛4｝和数列出｝的前"和分别为S“和Tn,且满足&+2=邑”，则等差数列｛4｝的通项公式为

15.（2022・广西•模拟预测（文））已知等比数歹!]｛风｝满足q+/=2,%+。5=4,则。7+%=.

16.（2022•河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列｛%｝为等比数列，q+%=72,a2+a3=36,

贝!J%=-

17.（2022•云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列｛。“｝满足弓=2,4+a“M+%+2=l（〃eN*）,则

其前2020项和为.

18.（2022・安徽•全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一

种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花.雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的

每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边.接着

对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”.不断重复这样的过程,

便产生了雪花曲线.下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第。级的等边三角形边长等于1,则第4级

的雪花曲线周长等于.

19.（2020•全国•模拟预测（文））记数列｛%｝的前“项和为S"，若％=1,。用=2S"（”为正整数），则

数列｛%｝的通项公式为

20.（2022•浙江宁波•一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续

量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类

比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三

111

层放6个，第四层放10个……第〃层放。“个物体堆成的堆垛，则一+—+...+—=.

21.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛见｝的前"项和S“=3n-l,数列也｝满足用=-1,=bn+（2n-i）.

（1）求数列｛%｝、｛2｝的通项公式.

⑵若。”=巴也，求数列｛g｝的前"项和人

n

C组真题实战练

22.（2019•全国•高考真题（理）已知各项均为正数的等比数列｛〃,｝的前4项和为15,且。5=3。3+4%,

则。3=

A.16B.8C.4D.2

23.（2021・全国•高考真题（文））记S〃为等比数列｛4｝的前〃项和.若$2=4,S4=6,则85=（）

A.7B.8C.9D.10

已知等差数列｛q｝的前几项和为S,a=5,S=15,则数列J」一］的前100

24.（2012.全国.高考真题（理）n55

〔44+1J

项和为

100^99〃99101

A.----B.-----C.-----D.-----

101101100100

25.（2014•全国•高考真题（理））等比数列｛%｝中，%=2,生=5,则数列｛1g%｝的前8项和等于

A.6B.5C.4D.3

26.（2014・天津•高考真题（文））设｛%｝是首项为由,公差为-1的等差数列，5“为其前n项和，若岳，邑,邑

成等比数列，则%=（）

A.2B.-2C.7D.—

22

27.（2010.湖北.高考真题（文））已知等比数列｛%｝中，各项都是正数，且〃，％2生成等差数列，则血詈=

A.1+&B.1-V2C.3+2V2D.3-2应

28.（2015・浙江•高考真题（理））已知｛风｝是公差d不为零的等差数列，其前”项和为S“，若生，4，%成

等比数列，则

A.a｛d>0,dS4>0B.<0,dS4<0

C.ct｛d>0,<0D.ci｛d<0,dS4>0

29.（2019•全国•高考真题（理））记S”为等差数列｛m｝的前w项和，qWO，a2=3alt贝1」率=___________.

»5

30.（2019•全国•高考真题（文））记3为等差数列｛%｝的前九项和，若/=5,%=13,贝U$=.

31.（2008・四川・高考真题（文））设数列｛%｝中，Oj=2,a„+1=an+n+l,则通项。“=.

32.（2014・广东•高考真题（文））等比数列｛%｝的各项均为正数，且q％=4,则

log2ax+log2%+log2a3+log2a4+