广东莞佛深部分学校2025届高三10月联考数学试题（含答案）

广东莞佛深部分学校2025届高三

10月联考数学试题+答案

高二数学

注意事项：

1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置

上，并正确粘贴条形码.

2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或

签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.

3.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

4.考试结束后，请将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.样本数据1，1，5,7,8,8,9,io,io,11的平均数和第40百分位数分别为（）

A.7,7B.7,7.5C.7.5,7D.7.5,7.5

2.已知集合4={%0</<5},B=(xeZ|x-l|<2},则()

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

z—1

3.若——=2-i,则z=()

Z

1+i1+i1-i—1+i

A.——B.-------C.——D.

2222

4.已知向量a=B=若a_L(B-4a),b//[b+a^,则》+2y为()

A.12B.8C.9D.-4

已知a、/?£]兀,|■兀)sin(o—£)=cos(a+P),贝ijsin2a=()

5.

A.----B.1C.0D.-1

2

6.一个正四面体边长为3,则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（）

A.342后B.3扇C.6岳D.9Gs

7.已知函数为/（%）={3,在R上单调递增，则实数。的取值范围是（）

ex+1+ln（x+2）,x>-1

第1页/共4页

A,[l,g]B.(-8,/C.[-1,1]D.(-00,1]

8.函数/(x)=|cosx|-gsin(2x-：)在[0,四]上的零点个数为()

66

A.3B.4C.5D.6

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知变量X服从正态分布X~N(0,b2),当cr变大时，则()

A.P(—g<X<f变小B,P(—g<X<；)变大

C.正态分布曲线的最高点下移D.正态分布曲线的最高点上移

10.已知命题P：对于正数a,b,\/5式0,+")使(5+。)-1。+">1.若P为假命题，则()

14

A.a-eb>1B.ab<—C.a+b<\D.ab2<—

ee

11.函数/(%)的定义域为R,若/(%+y+l)=/(%)+/(y)-加，且/(0)=〃，m,neZ,"〉机则

()

A.=B./(九)无最小值

40

c.Z/⑺=860〃—820机D./(x)的图象关于点(—2,2m—〃)中心对称

Z=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/：y=fcr是曲线=和g(x)=lnx+a的公切线，则实数°=.

13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,cJ=L2t/cosB=c-a.当'^取最小值时,

b

则4=.

14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动.顾客需投掷一

枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会(2次抽奖结果互不影响)；若三次投掷的数字之和是6,12或18,则该顾客获得该健身房的免费团操

券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机

会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

第2页/共4页

3

概率

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为

三、解答题：本题共5小题，共77分.

15.如图，在直角三角形POA中，P01A0,P0=2A0=4,将口PO4绕边尸。旋转到口P08的位

置，使NA03=TG，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且见C=z1反反

（1）在48上是否存在一点。，使得直线。4与平面PC。平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，

请说明理由；

（2）设直线0c与平面所成的角为8,求sin。的值.

16.已知数列｛““｝满足3q+32/+…+3'4=Ml,3向+3.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设d=4,记也｝的前“项和为（，求证：一4一＜7；（士一.

册〃+12〃+1

17.已知。为坐标原点，点（1,交）在椭圆C：1+4=1,（。〉6〉0）上，过左焦点片和上顶点A的直

2ab

线4与椭圆相交于点4B.记A,8的中点为有坛M=-g.过上顶点A的直线4与椭圆相交于点c

（C点异于8点）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求AABC面积的最大值，

18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然

后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，

比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲答对题目的概率为:，乙答对题目的概率为0,答对与否相

第3页/共4页

互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为工.记比赛结束时甲乙两人

6',''

的答题总次数为22).

(1)求P；

(2)求在〃=4的情况下，甲晋级的概率；

(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛.求甲在3

轮比赛之内成功晋级的概率.

19.函数/(x)=ln尤，g(x)=%2-x-m+2.

(1)若加=e,求函数E(x)=/(x)—g(x)在［；,2］的最小值；

(2)若f(x)+g(x)</一(无一2)S在无e(0用。>1)上恒成立时,实数m的取值范围中的最小值为

In2,求实数r的值.

第4页/共4页

高二数学

注意事项：

1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置

上，并正确粘贴条形码.

2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或

签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.

3.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

4.考试结束后，请将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.样本数据1，1，5,7,8,8,9,io,io,11的平均数和第40百分位数分别为（）

A.7,7B.7,7.5C.7.5,7D.7.5，7.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出样本数据的平均数和第40百分位数判断即可.

2x1+5+7+2x8+9+2x10+11

【详解】样本数据的平均数是==7

10

7+8

由40%x10=4,得样本数据的第40百分位数为——=7.5.

2

故选：B

2.已知集合A={x[0</<5},B=^xeZ||x-l|<2j,则4口3=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化简集合A8,再利用交集的定义求解即可.

【详解】集合A={x|0<%2<5}={x|—百<%<0或0<%<6},

B={xeZ||x-11<2}={xeZ|-2<x-1<2}={xeZ|-1<x<3}={0,1,2},

所以AcB={l,2}.

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故选：c

7—1

3.若——=2-i,贝ijz=()

z

1+i1+i1-i

A.——B.-----C.——

222

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出(l-i)z=-1,利用复数的除法化简可得复数z.

【详解】因为三匚=2—i,则z—l=(2—i)z,可得(1—i)z=-1,

11+i11.

所以，z=-口----------=------]

(l-i)(l+i)22-

故选：B.

4.已知向量a=b=(x,y),若—町，bll(b+a^,则无+2》为()

A.12B.8C.9D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于％、y的方程组，解出这两

个未知数的值，即可求得x+2y的值.

【详解】因为a=b=(%,j),则B—4a=(x,y)—4(l,l)=(x-4,y—4),

©

联立①②可得x=y=4,因止匕，x+2y=4+2x4=12.

故选：A.

5.已知a、/3eH4sin(a-0=cos(a+p),贝!Jsin2a=()

1

A.——B.1C.0D.-1

2

第2页/共19页

【答案】B

【解析】

【分析】求出a—的取值范围，利用同角三角函数的基本关系,推导出cos(a—£)=sin(a+£),

再利用两角和的正弦公式可求出sin2a的值.

【详解】因为sin(a—#=cos(a+0,贝ilsin^a—£)=cos2(a+£),

所以，cos2(<z-^)=l-sin2((z-^)=l-cos2((z+^)=sin2((z+^),

因为a、)3G,则—]<一£<—兀，

TT7T

所以，2兀<。+/?<3兀，——<a—§<一，

22

贝ijcos(a—月)>0,sin(a+〃)〉O,所以，cos(a-£)=sin(a+/?),

所以，sinla-sin[(i+£)+(0一£)]=sin(a+£)cos(a—£)+cos(a+£)sin(a—/?)

=sin2(a+£)+cos2(a+£)=1.

故选：B.

6.一个正四面体边长为3,则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为()

A.3出后B.3房C.6岳D.9Gs

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出正四面体的高和体积，再利用圆柱的体积公式及侧面积公式求解即可.

【详解】在正四面体A3CD中，。是正△5CD的中心，则49,底面BCD,

而3O=gx3xsin60°=G,则正四面体A3CD的高-BO?=a，

体积匕BCO=JS口B°.AO=』义走X32XJ^=W2,

3UZ>Viz3

设圆柱的底面圆半径为「，依题意，a2.遍=2徨，解得「=工班，

4

所以该圆柱的侧面积S=2兀r•曰_3J26兀.

2j兀

故选：A

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A

D

八—九3+a%?+%%<—i

7.已知函数为/(%)=3,在R上单调递增，则实数〃的取值范围是()

ex+1+ln(x+2),x>-1

A.[l,g]B.(-co,—]C.[一弓]D.(-oo,1]

【答案】D

【解析】

【分析】利用/(*)=3/+。/+*在(_",_1)上单调递增，结合导数求出。的范围，再利用分段函数是

增函数求出范围即可.

【详解】依题意，函数/(*)=［/+依2+*在(_",_1)上单调递增，

则/'(%)=x2+lax+1>0对恒成立，

11

即VxW-1,x29+1>-laxo2〃V-(%+—),而函数y=-(工+-)在(-8,-1］上单调递减，

X%

即—(x+4)22恒成立，因此2aW2,解得aWl,

X

显然函数/(x)=ei+ln(尤+2)在［-1,+8)上递增,

47

又函数/(x)在R上递增，则a—解得。三耳，于是。<1,

所以实数。的取值范围是

故选：D

8.函数/(x)=|cosx|-6sin(2x—今在［0,巨E］上的零点个数为()

66

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】求出给定函数的周期，在区间［0,汨上利用导数及零点存在性定理确定零点个数即可得解.

第4页/共19页

【详解】函数丁=|85X|,丁=65由(2%—2)都是周期函数，其最小正周期为兀，

6

则函数/(x)的最小正周期为兀，

当0V%K巴时，/(x)=cosx-V3sin(2x-—),求导得了'(%)=-sin%-26cos(2x-—),

266

当0V%V巴时，一三42%—巴《乙，r(x)<0,函数/(%)在(0,9上单调递减，

36623

/A=COSY-V3sin(2xy-^)=0,函数f(x)在(0月上有唯一零点；

66663

当史<x«殳时,令g(x)=/'(x),求导得g'(x)=-cosx+4Gsin(2x-K),

326

—<2x--<—,273<4A/3sin(2x--)<4^/3,而OVcosxc」，则g'(%)〉0,

26662

函数/'(X)在(［，$上单调递增，而/X-)=—@<o,r(4)=V3-I>o-

32322

存在不€《仁)，使得/'(%)=0,当］<x<x°时，r(x)<0,

7T

当时，r(x)>o,

函数/(%)在q,%)上单调递减，在(/申上单调递增，/(%0)</(!)<0,

/(x0)</(|)=-^<o,函数fM在(*三上无零点；

当(巴，兀］时，f(x)=-cosx-V3sin(2x--),求导得f\x)=sinx-2Gcos(2x-—),

266

./兀5兀r,—兀/5兀3兀r/八兀、/八._/、八

当x£(一,—］时，2%—€(—,—］,cos(2x—)V0,sinx>0>f(冗)>0,

266626

函数/(X)在弓,g］上单调递增,/《)<0"(g)=孚〉0,

77Sir

则函数/(X)在(£一］上存在唯一零点；

26

当次£(里,兀］时，令h(x)=f'(x),求导得/(尤)=cos%+4gsin(2%-3,

66

—<2x~—<——,-4A/3<4^/3sin(2x--)<-273,而cos%<0,则//(x)<0,

2666

STT57rI

函数/'(x)在(^，汨上单调递减，而/'(?)=；〉0"'(无)=-3<0,

662

57rST?

存在石6(二,兀)，使得/(占)=0,当L<X<X］时，f'(x)>0,

66

当兀时，f\x)<0,

第5页/共19页

函数/（X）在（g,Xi）上单调递增，在（%,兀］上单调递减，/（系）〉0,/（兀）=1+，〉0,

5兀

函数/（X）在（L，汨上无零点;

6

从而函数/（X）在［0,7T］有且只有2个零点，函数/（x）在m,2兀］有2个零点,

.7兀,人工J—13兀7兀r八，13兀、八

在［2兀,一二1］上有1个零点，而一丁w［2兀,：且/（3—）=0,

3636

所以函数/（x）=1cosA-I-V3sin（2x一今在［0,—］上有5个零•点

66

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题求解零点个数，探讨函数的周期，再在区间［0,汨上分段讨论零点个数是关键.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知变量X服从正态分布X~N（0,tr2）,当cr变大时，则（）

A.P（—L<x<L）变小B.P（—L<X<L）变大

2222

C.正态分布曲线的最高点下移D.正态分布曲线的最高点上移

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正态曲线的性质逐项判断即得.

【详解】变量X服从正态分布乂~2\^0。2）,当o■变大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”，

随机变量X的分布逐渐变分散，因此P（-g<X<；）变小，正态分布曲线的最高点下移，AC正确，BD

错误.

故选：AC

10.已知命题P：对于正数。，b,\//€［0,+。）使（5+。"3>1.若P为假命题，则（）

4

A.〃.e">1B.ab<—C.a+b<1D.ab«—-

ee

【答案】BD

【解析】

【分析】由命题P结合函数单调性可得心^〉1，再由命题P是假命题可得aWe"，然后借助导数逐项分

析判断即得.

第6页/共19页

A+fe

［详解1Vx0e［0,+e)使(x0+a)-e°>1<=>^(4+。)+巾>1qln(x0+a)+x0+b>0,

而函数/Uo)=ln(Xo+a)+/+b在［0,+8)上单调递增，

/(xo)min=ina+b=\n(a-eh)>0,

解得〉1，

又命题P是假命题，

于是aKe"，a>0,b>0,A错误；

对于B,ab<加"，

令函数gS)=g,求导得g's)=k，

当0<b<l时，g'(6)>0,

当b>l时,g'S)<0,

函数gS)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，

g3)〈g(l)=J,B正确；

e

对于C,取。=工,6=1,满足a〈e"，而。+6>1,C错误；

4

对于D,ab1<b2Qb>

令函数9(。)=?，求导得"

ee

当0<b<2时,g'3)>0,

当b>2时,g'S)<0,

函数g(6)在(0,2)上递增，在(2,+s)上递减，

4

g(Z?)<g(2)=—,D正确.

e

故选：BD

11.函数的定义域为R,f(x+y+1)=f(x)+f(y)-m,且/(0)=〃，m,neZ,机则

()

A./(-l)=-mB./(x)无最小值

40

c.^/(0=860n-820mD.7(x)的图象关于点(—2,2机—〃)中心对称

1=1

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【答案】BCD

【解析】

【分析】令％=-1»=0计算判断A；令y=0得/(x+l)=/(x)+〃—m，取x为正整数，利用等差数列

前九项和计算判断C；

令丁=-4-x得/(x)+/(-4—x)=4根—2”，结合中心对称的定义判断D；对选项C中z•取负整数，求出

/(0并确定值的情况判断B.

【详解】对于A,令x=—l,y=O,得/(())=/(—1)+/(0)-机，解得/(一1)=机，A错误；

对于C,令y=0,/(x+1)=/(%)+/(O)-m=/(x)+n-m,/(I)=2n-m,

当*N*时,f(i+l)-f(i)=n-m,数列｛/(，)｝是等差数列，

4040x39

Z/(0=40/(1)H---------x(n-m)=40(2〃-m)+780(〃-m)=860〃一820m,C正确；

/=i2

对于D,令y=_4—x,得/(_3)=/(x)+/(_4-x)_〃z,令x=-3,y=3,

得/(D=/(-3)+/(3)-m,即/(一3)=/(I)-/(3)+m=-2(n-m)+m=3m-2n,

因此/(x)+/(—4—x)=/(—3)+机=4加一2〃，函数/(x)的图象关于点(一2,2加一〃)中心对称，D正

确；

对于B,由选项C知，取7eZ,/(z+1)-/(z)=n-m,

当，eZ,iW0时，

/(0=/(O)+[/(-l)-/(O)]+[/(-2)-/(-l)]+-+[/(O-/(i+l)]=n+(W-n)(-0,

由“一加＞0知，随着整数，无限减小，="+(“-m)，无限减小，则函数/(x)无最小值，B正确.

故选：BCD

【点睛】结论点睛：函数y=/(x)的定义域为DVxeD,

①存在常数a,6使得/0)+/(2。一%)=26=/(。+》)+/(。一；0=2。，则函数丁=/(%)图象关于点

(a,b)对称.

②存在常数a使得/(x)=/(2a-x)o于(a+x)=f(a-x),则函数y=/(x)图象关于直线x=a对称.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

第8页/共19页

12.已知直线/：丁=右是曲线/(x)=e"i和g(x)=lnx+a的公切线，则实数〃=.

【答案】3

【解析】

［分析］先设在y=上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在y=g(%)上的切点，即可求出“的值.

【详解】设直线/与曲线y=/(x)相切于点(％，%)，

由r(x)=e>i,得左=/(%)=蜻"，因为/与曲线“力=产1相切,

v=e'b+ijv

所以消去为，得eM/=eM,解得x0=L

[为=e°,

设/与曲线y=g(x)相切于点(X],yj,由g，(x)=L得k=e?12,

一，即e2x.=1,

JC%

因为(孙又)是/与曲线g(x)=lnx+a的公共点,

y=ex,°1

所以《11消去%,得e2%=lnxi+a,即1=也^+。，解得。=3.

%=1叫+”，e

故答案为：3.

13.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c且2acos5=c-a.当土也取最小值时，

b

则A=.

77

【答案】-

4

【解析】

【分析】由已知2。<：058=。-。结合余弦定理得0=£-0,代入弛网结合基本不等式得取得最小值

ab

的取等条件为Z?=6//,从而。=〃，进而求出A.

22—A2扇

【详解】由2QCOS5=C—。及余弦定理得：2aa=c—a,整理得c=2~—o,

a

b2Q

----ci+3a,当且仅当2=在

则c+3aa--------即6=夜。时取等

ab

bb

号,

第9页/共19页

止匕时c=^——a=———a=a，a2+c2=2a2=b1，则5=C=A=；

aa24

77

故答案为：一

4

14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动.顾客需投掷一

枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6,12或18,则该顾客获得该健身房的免费团操

券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机

会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

3j_

概率

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为

【解析】

【分析】事件4="顾客有两次终极抽奖机会"，事件儿="顾客有一次终极抽奖机会”，求出P（A）=:，

O

=利用全概率公式得到答案.

【详解】记事件A="顾客有两次终极抽奖机会"，事件&=“顾客有一次终极抽奖机会"，事件8=“获得

蛋白粉”，

则尸（A）=X，尸⑵4）=1弋了P（叫）=；,

Oo4104

事件4包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6”，“3次投掷的点数之和为12”，“3次投掷的点数之和为

18”，

①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“1,1,4”、“1,2,3”、“2,2,2”三种情形，故共有C；C；+A；+1=10

种；

②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“1,5,6"、"2,5,5”、“2,4,6”、“3,4,5”、“3,3,6”、“4,4,4”六种

情形,

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故共有A；+C；C；+A；+A：+C；C：+1=25种；

③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“6,6,6”一种情形,

…10+25+11

则P(4)=-—=--

所以p(5)=尸(A)尸但4)+尸(4)尸(5|A)=r记+^^=讪.

,37

故答案为：——

【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件2的概率问题，把事件2分拆成两个互斥事件A3与初的

和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.

三、解答题：本题共5小题，共77分.

15.如图，在直角三角形尸。4中，POLAO,PO=2AO=4,将口POA绕边尸。旋转到口「。8的位

。1

置，使NAOB=T，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且qc=a反反

（1）在2B上是否存在一点。，使得直线。1与平面PCD平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，

请说明理由；

（2）设直线OC与平面所成的角为6,求sin。的值.

【答案】（1）存在，42=1；

AB3

（2）2同.

17

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证得P。，平面A05,以。为原点建立空间直角坐标系，再由线面平行的性

质，结合向量计算推理即得.

（2）利用（1）中信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得.

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【小问1详解】

依题意，POLAO,POLBO,4。门3。=0,4。,3。＜=平面4。5,则P。，平面A05,

G1

由NA03=」，耍C」UB,得NAOC=巴，ZBOC^-,即CO，50,

3462

以0为坐标原点，直线OC,OB,OP分别为羽二z轴建立空间直角坐标系,

则C(2,0,0),5(0,2,0),P(0,0,4),A(V3,-1,O).OA=(A-1,0),AB=(-6,3,0),

假设在AB上存在一点D,使得直线OA与平面PC。平行，

由。4u平面AO3,平面AOBA平面PCO=CD,得CD//OA,

令&=语=(-也13,0),则。((1T)百,3”1,0),CD=((1-0A/3-2,3?-1,0),

于是&Z嵯二Z=&二1,解得《=无，

V3-13

所以在4D上存在一点。，使得直线。4与平面PCO平行，—

AB3

【小问2详解】

由(1)知，AB=(-V3,3,0),PB=(0,2,-4),OC=(2,0,0)，

-n-AB=-yj3x+3y=0

设平面243的法向量”=(%,y,z)，贝叫一^，

[n-PB=2y-4z=Q

令z=l,得x=2百，丁=2,

所以］=(273,2,1)为平面PAB的一个法向量,

-----►In.0CI4百_2同

所以sin9=|cos(n,OC)\=————r-

|H||OC|717x2—17

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16.已知数列｛4｝满足+32%+…+3"an=(21)43向+3

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设d=3,记｛4｝的前几项和为《，求证：—<Tn<^~

4n+12n+l

【答案】(1)a0=n

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用数列的通项公式和前〃项和的关系求解；

,1111144(11、

(2)由4=三■>—^~不=-----<——-=2,利用裂项相消

-,bn=—2=22

nn\n+\)nn+1n4n4«-1^2n-l2n+l)

法求解.

【小问1详解】

小上〔I（2xl-l）x31+I+3

解：当〃=1时，3%=---------------=3,

所以％=1；

、,，cqq，（2/7-1）-3"+1+3

当“22时，由3q+32%+…+3”/-----匕-------，

得3%+32%+…+3"T%_]=——---------，

由一加竹f（2n-l）-3n+1+3\2（n-l}-l\-3n-M+3

两式相减得3"a=--------------——L_J------------=〃.3”，

"44

所以4=n,

当〃=1时也成立.所以a.=〃.

【小问2详解】

,11

证明：由（1）知"=—an7=二n，

,1111

所以4==>（,1、=-----77'

nn^n+l）nn+1

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所以7；="+伪+…+〃〉1一g+9一;+…+:一占n

=1———

〃+1〃+1

714411

又"〃=-T---y<-----=2

n24n24n2-12n—l2n+l

所以(=4+2+…+勿<2。-3+21-口+-一+2[.1

2n+l

=2-4-n

2n+l

n4〃

综上：——<T<-------

n+\n27/+1

口r2

17.已知O为坐标原点，点（1，注）在椭圆C：j+=1,（a〉A〉O）上，过左焦点耳和上顶点A的直

2a-

线4与椭圆相交于点A,B.记A,2的中点为M,有4.M=—g.过上顶点A的直线4与椭圆相交于点C

（C点异于3点）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）求AABC面积的最大值,

2

【答案】（1）—+/=1；

2

⑵2』+2

-3

【解析】

【分析】（1）设点6（-c,0）,求出直线/1方程，与椭圆方程联立求出点M的坐标，再结合书籍求出。力即

得.

（2）由（1）求出直线/］方程及线段A5长，再求出椭圆上的点到直线4的距离，并列出三角形面积的函数

关系，进而求出最大值.

【小问1详解】

b

设耳（—c,0）,而点4。/），则直线4的方程为丁=—%+匕，

c

y=-x-\-b

c112

由＜消去y并整理得(0+-v)x2+—%=o,则点口的横坐标为

22

2=1acc4+C

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卜「21

其纵坐标为等F，由自“=—7,得c/2=2bc，而/=/+°2,因此6=C,a=6b，

a+c2

椭圆C:二+y2=/,由点(1,1)在椭圆C上，得廿=工+(也)2=1，

2222

所以椭圆C的方程为三+必=1.

2

【小问2详解】

由(1)直线4：x—y+l=O,点M(—g,；),A(O,l),\AB\=2\AM\=2^(1)2+(1-1)2=,

设点C(V2cos0,sin0)(0eR),则点C到直线AB距离

[IV2cos-sin+11|Gcos(O+0)+l|,6田…

d=!------------------L=J-------、匚+~L,其中锐角。由tan9二上一确定，

V2A/22

因此AABC的面积S=-\AB\-d=速1=2函8s('+0)+l|w273+2,当且仅当cos(，+^)=1

2333

时取等号，

所以△ABC面积的最大值是2用2.

18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然

后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，

比赛结束(不管该轮比赛有没有完成).已知甲答对题目的概率为:，乙答对题目的概率为p,答对