2024年山东省淄博市中考数学试题【含答案及解析】

2024年山东省淄博市中考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D,-y/3

2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发

布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记

数法表示为3.07x10".贝I”的值是（）

A.4B.5C.6D.7

4.如图，已知AD〃3C,平分NABC.若NA=110。，则/£）的度数是（）

5.数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图是他最近五次测试成绩（满

分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（）

A成绩/分

01-----1----1-----1-----1-----1_>

12345次数

A.95分，V10B.96分，V10C.95分，10D.96分，10

6.如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长3c为35m.又

在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确

的是（）

□□

00

□□

□□

□□

A.回国回画团回仁3B.⑶⑶目画］团回［=］

C.国回冈圆团111cH3D.同固冈国团国仁3

7.《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问户高、广各几何？

其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少？

（1丈=10尺，1尺=10寸）若设门的高和宽分别是工尺和，尺.则下面所列方程组正确的

是（）

x=y-6.8

x2+102=y

x=y+6.8

x2+102=y

8.如图所示，在矩形A8CD中，BC=2AB,点、M,N分别在边BC,AD上.连接MN,

将四边形沿MV翻折，点C,。分别落在点A,石处.则tan/AW的值是（）

E

A.2B.V2C.V3D.45

9.如图所示，正方形A3co与AEFG（其中边3C,跖分别在x,＞轴的正半轴上）的公

共顶点A在反比例函数＞的图象上，直线。G与x,V轴分别相交于点M,N.若这两

X

个正方形的面积之和是T，且MD=4GN.贝必的值是（）

10.某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步

走向B地.途中偶遇一位朋友，驻足交流lOmin后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出

发30min,跑步到达8地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙

两人之间的距离》（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系.（）

那么以下结论：

①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；

②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；

③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；

@A,8两地之间的距离是11200m.

其中正确的结论有：

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题

11.计算：后-2乖>=.

12.如图，已知A,8两点的坐标分别为A(-3,1),2(-1,3),将线段4?平移得到线段CD.若

点A的对应点是C(l,2),则点B的对应点D的坐标是.

13.若多项式4/一”+9y2能用完全平方公式因式分解，则机的值是.

14.如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线AC,8。相交与点。，点E在3c延长线

OF5

上，OE与CD相交与点F.若ZACD=2/OEC,亍=:，则菱形ABCD的面积为________.

FE6

B

15.如图，在平面直角坐标系中，作直线尤=*i=l,2,3,…)与无轴相交于点吊,与抛物线

>尤2相交于点可，连接44+1，与a”相交于点c,,得口A4G和若将其面积

之比记为生=,贝U%)24=.

岛C

三、解答题

[1.3.

—I-2x<----r+4

16.解不等式组：22并求所有整数解的和.

%—3<1+2x

17.如图，已知AB=C。，点E,尸在线段3。上，S.AF=CE.

请仄①BF=DE；®ZBAF=ZDCE；③AF=CP中.选择一个合适的选项作为已知条件,

使得△AB产空△CDE.

你添加的条件是：（只填写一个序号）.

添加条件后，请证明AEDCF.

18.化简分式：J,+上一，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定明6的值）

a-2ab+ba-b

b是大于1且小

于百的整数。

小宇小丽

19.希望中学做了如下表的调查报告（不完整）:

调

查

了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程

目

的

(1)参与本次问卷调查的学生人数名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心

角的度数为度；

(2)补全周家务劳动时间的频数直方图：

(3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；

(4)小红和小颖分别从“家政，等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状

图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率.

20.“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运

动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；

(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若

购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40

元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健

身器材的套数.

21.如图，一次函数y=%x+2的图象与反比例函数y=与的图象相交于A(皿4),8两点，

与X,y轴分别相交于点C,D.且tan/ACO=2.

(1)分别求这两个函数的表达式；

(2)以点。为圆心，线段D3的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E,连接AE,BE.求

口ABE■的面积；

(3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式左x+2＞与的解集.

X

22.在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了口。的内接等腰三角形ABC,AB^AC.并在边上任取一点D(不与点8,

C重合)，连接AD,然后将绕点A逆时针旋转得到/VICE.如图①

小明发现：CE与口。的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接。E,与AC相交于点尸.如图②，小明又发现：当VA3C确定时，线段CF的长存在

最大值.

请求出当=BC=6时，b长的最大值;

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点O分线段3c所成的比与点尸分线段DE所成的比

DF:EE始终相等.请予以证明.

23.如图，抛物线产加+法+3与x轴相交于A（%,0）,8（%，°）两点（点A在点8的左侧）,

其中4，无2是方程炉-2》-3=0的两个根，抛物线与丫轴相交于点C.

备用图

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）已知直线/：y=3x+9与x,V轴分别相交于点。，E.

①设直线3c与/相交于点尸，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得

/PBF=/DFB?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点M作直线3C的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线Affi,NC相

交于点Q.连接QD,QE.求线段QD+QE的最小值.

参考答案:

题号12345678910

答案ACBCDADACB

1.A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的

意义，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择

即可.

【详解】解：A、3一=：是正数，符合题意；

B、-3：=-9是负数，不符合题意；

C、-卜3卜-3是负数，不符合题意；

D、-6是负数，不符合题意；

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可.将一个图形

沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋

转180。，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形.

【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；

因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；

因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意；

因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意.

故选：C.

3.B

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为。xlO"的形式，其中1引&<10,

〃为整数，确定"的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数

点移动的位数相同，

【详解】解：30.7万=307000=307x1()5,

贝IJ〃=5,

故选：B.

4.C

【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运

用平行线的性质是关键.依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可.

【详解】解：•・•仞口8，

ZABC=180°-ZA=180°-110°=70°,ND=NDBC；

QBD平分/ABC,

\?DBC-1ABC-®70=35?.

22

:.ND=35。.

故选：C

5.D

【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可.

【详解】解：平均数为：（（92+96+93+100+99）=96（分）；

方差为：![（92-96）2+（96-96）2+（93-96）2+（100-96）2+（99-96）2]=10；

故选D.

6.A

【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到

AB=BCtan290,进行判断即可.

【详解】解：由题意，得：在Rt^ABC中，BC=35,ZC=29°,

AB=BC-tan29°=35-tan29°；

计算器的按键为⑶⑸冈同田冈；

故选A.

7.D

【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是x尺和V尺，根

据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理

解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键.

【详解】解：设门的高和宽分别是无尺和y尺，

x=y+6.8

由题意得:

/+尸=1（）2'

故选：D.

8.A

【分析】连接AC交MN于点/，设A3=2根，贝l]BC=2AB=4机，利用勾股定理求得

AC=ylAB2+BC2=2y/5m，由折叠得到AM=CM,MN垂直平分AC,贝!!

AF=CF=^AC=45m,由AB?+即〃=.2代入求得.二|加，贝九

MF=ylAM2—AF2=^-m?所以tan/AMN="厂=2,于是得到问题的答案.

2MF

【详解】解：连接AC交九W于点尸，

设A8=2相，贝I]3c=2AB=4:w,

•.•四边形ABCD是矩形，

:B90?,

•*-AC=^AB2+BC2=2y/5m

:将四边形CMND沿MN翻折，点C,。分别落在点4E处,

...点C与点“关于直线MN对称,

AM=CM,肱V垂直平分AC,

/.BM=BC-CM=4m-AM,ZAFM=9Q°,AF=CF=-AC=45m,

2

AB2+BM2=AM2，

（2/n）2+（4/n-AM）2=AM2

：.AM=-m,

2

/.MF=NAM。-AF°=—m

2

/Ax.xrAF<5m八

.tanZAMN=-----=—j=—=2

••MFV5

——m

2

故选：A.

【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地

作出辅助线是解题的关键.

9.C

【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数人的几何意义，反比

例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键.设

AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到

a,6的关系式，再利用足+〃=：求得。，6值，则点/坐标可求，最后利用待定系数法解

答即可得出结论.

【详解】解：设AE=EF=FG=a,AB=BC=AD=b,

由题意得：

•..正方形ABCD与的'G（其中边BC,EF分别在x,y轴的正半轴上）的公共顶点N在反比

例函数＞=&的图象上，

X

：.FG//ED//OM,/NFG=/DCM=9伊,

：.ZNGF=ADMC,

：.JNFG^QDCM,

.NF_NG

^~DC~~DM"

■:MD=4GN,

・NF-1

••一，

b4

：.NF=-b,

4

■:FG//ED,

:.〕NFG气NED,

.NFFG

・•丽—访’

b1=4a2，

a2+4〃2=—,

2

・・・Q＞0,

,V6

..a=.

2

b=^6.

.•・A型，㈤,

I2J

k=xy/6=3.

2

故选：C

10.B

【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用;①由乙比甲晚出发30min及当x=

50时，第一次为0,可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观

察函数图象，可得出当x=86时，取得最大值，最大值为3600,进而可得出结论②正确；

③设甲的速度为xm/min,乙的速度为yn/min,利用路程=速度x时间，可列出关于x,

＞的二元一次方程组，解之可得出x,＞的之，将其代入86+幽中，可得出甲、乙两人第

x+y

二次相遇的时间是在甲出发后98min,进而可得出结论③错误；④利用路程=速度x时间，

即可求出A,B两地之间的距离是11200m.

【详解】解：①•.•乙比甲晚出发30min,且当x=50时，y=0,

乙出发50-30=20(min)时，两人第一次相遇，

既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min,结论①正确；

②观察函数图象，可知：当x=86时，＞取得最大值，最大值为3600,

甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m,结论②正确；

③设甲的速度为HO/min,乙的速度为ym/min,

f(50-10)x=(50-30)y

根据题意得：_m

[(86-30)y—(86-10)x=3600

x=10

解得:

y=200

3600=86+360。=98,

・・.86+

x+y100+200

二•甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min,结论③错误;

④200x（86-30）=11200（m）,

二.A,8两地之间的距离是11200m,结论④正确.

综上所述，正确的结论有①②④.

故选：B.

11.V3

【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式,再计算二次根式减法即可.

【详解】解：厉-26=3石-2e=出，

故答案为：6

12.（3,4）

【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不

变，横减加，上下移，横不变，纵加减.根据平移的性质，结合已知点A,5的坐标，知点

A的横坐标加上了1,纵坐标加1,则3的坐标的变化规律与A点相同，即可得到答案.

【详解】解：•••4（-3,1）平移后对应点C的坐标为C。,2）,

•••点A的横坐标加上了4,纵坐标加1,

UM,

•・•点O坐标为（T+4,3+1）,

即（3,4）,

故答案为：（3,4）.

13.±12

【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.利用

完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.

【详解】解：••・多项式4Y一2+9y2能用完全平方公式因式分解，

4x2-mxy+9y2=（2%）"-mxy+（3y）2=（2x±3y）~,

m=土2x（2x3）=±12,

故答案为：+12.

14.96

【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识.作OH〃BC

交CD于点H,贝!J,求得OH=^BC=5,再证明△M/s△瓦《，求得EC=6,

再证明NOXC=NCOE,则OC=石。=6,利用勾股定理求得。B的长，再利用菱形的面积

公式求解即可得到问题的答案.

【详解】解：作OH〃BC交CD于点、H,则口。。以6005。，

・・•四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC,即相交于点O,

ABC=10,OD=OB=-BD,OA=OC,AC1BD,

2

.OH_OP_1

ZBOC=90°,

.・・OH=-BC=5,

2

OF5

・・・OH//BC,

~FE6

・・・△OFHS^EFC,

.OHOF_5

"EC-FE-6?

.・・EC=-OH=-x5=6,

55

•・•四边形ABC。是菱形，且/ACD=2/OEC,

:.ZACB=ZACD=2ZOEC=ZCOE+ZOEC,

:.ZOEC=ZCOE,

・・・OC=EC=6,

OB=^BC2-OC2=A/102-62=8,

・・.30=208=16,AC=2OC=12f

•••S菱形ABCD=AC=；X16X12=96,

故答案为：96.

152024,

'2025’

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证

口44£“口4+田+C，得到［附=,进行求解即可.

3口&%£—

中=1,2,3广.）与苫轴相交于点A,.,与抛物线y=；尤②相交于点B,,

【详解】解：・・,作直线%=

轴，且用”,；产

.•.A4=：

AjBi//4+iq+1,

；・•+冉+1G，

§匚4%44]=

,4+1互+J

%+闻iG

._[20242?_20244

-4；

・・42024—120252J2025

故答案为：型当.

20254

16.—4＜无＜1,-6

【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解.解各不等式,

可得出X的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求

出结论.

13

—F2x<—x+4CD

【详解】解：22,

x-3<1+2x（2）

解不等式①得：%<1;

解不等式②得：x>T,

原不等式组的解集Y<x<l,

不等式组所有整数解的和为-3-2-1+0=-6.

17.①（或②）

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三

角形的判定定理与性质并灵活运用.利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件

进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可.

【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），

证明：当选取①时，

在AAB方与口CDE1中，

AB=CD

<AF=CE,

BF=DE

:QABF^]CDE(SSS),

:.ZB=ZD,

•:BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在[ABE与VCO尸中，

AB=CD

</B=ND,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

:.ZAEB=/CFD,

,\AE//CF；

证明：当选取②时，

在AAB方与dCDE中，

AB=CD

<ZBAF=NDCE,

AF=CE

AABFgACDE(SAS),

"B=ZD,BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在:石与VCD厂中，

AB=CD

ZB=ZD,

BE=DF

..△ABEm△CDF(SAS),

ZAEB=ZCFD,

:.AE//CF■,

故答案为：①（或②）

【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得b的值，将原分式化

简后代入数值计算即可.

【详解】解：依题意，。=一3,1＜人〈右且6为整数，又2〈若＜3,则8=2,

cT_/1—a—b

~?--------7T-I------：~

a-lab+ba-b

_(a+b)(a-b)1-a-b

(a-Ja-b

a+b1—ci—b

=----+-------

a-ba-b

1

a-b，

当。=-3,b=2时,原式==一，・

—J3—25

19.(1)100,126

(2)见解析

(3)估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人

(4)|

【分析】(1)用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用360。

乘以第④组人数所占比例即可求解；

(2)用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时

间的频数直方图；

(3)先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生

人数所占比例即可；

(4)画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，

根据概率公式计算即可.

【详解】(1)解：调查总人数为：20-20%=100(名)，

第④组所对应扇形的圆心角的度数为：360°x—=126°

(2)解：第③组的人数为：100—10—20—35—10=25(人),

可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；

周家务劳动时间频数直方图

上人数（频数）

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1.522.533.5时间为

（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：100-18-20-24-16=22（人）

22

800x——=176（人），

100

答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；

（4）解：树状图如图所不：

//rv/Ziv

小颖ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种，

两人恰好选到同一门课程的概率为：三=二

255

【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总数、画树状图或列表求概率，根据题意

熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键.

20.（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25%

（2）购买的这种健身器材的套数为200套

【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,根据从2021年的32万人增加到2023年

的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

（2）设购买的这种健身器材的套数为“套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出

一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为尤，

由题意得：32（1+*）2=50,

解得：玉=0.25=25%,%=一2.25（不符合题意，舍去），

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；

（2）解：；1600x100=160000<240000元，

.••购买的这种健身器材的套数大于100套，

设购买的这种健身器材的套数为机套，

由题意得：加（1600一mx401=240000,

整理得：m2-500/M+60000=0,

解得：叫=200,%=300,

当7〃=300时，售价=1600一加清。x40=800<1000元（不符合题意，故舍去）,

答：购买的这种健身器材的套数为200套.

一4

21.（1）一次函数解析式为y=2x+2,反比例函数解析式为y=-

x

⑵15

⑶-2<x<0或x>l

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形：

（1）先求出。（。，2）得到如=2,再解直角三角形得到0c=1,则C（-l,0）,据此利用待定

系数法求出一次函数解析式，进而求出点力的坐标，再把点N坐标代入反比例函数解析式

中求出对应的反比例函数解析式即可；

（2）先求出点5的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据

=S&CBE+%CE，求解面积即可；

（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到

答案.

【详解】（1）解：在y=《x+2中，当x=0时，y=2,

0D—2,

丁tan/ACO=2,

在RtACDO中，tan/OC。=器=2,

OC=1,

把c(-l,o)代入y=&x+2中得：0=-kl+2,解得勺=2,

一次函数解析式为y=2x+2,

在y=2x+2中，当y=2x+2=4时，x=\,

・・・A(l,4),

把4(1,4)代入y=&中得：4=与，解得心=4,

X1

4

・••反比例函数解析式为y=—；

X

,4

y=—

(2)解：联立/x

y=2x+2

.•.3(-2,-2)；

设E(e,0),

由题意得，BD=ED,

：.(-2-0)2+(-2-2)2=(e-O)2+(O-2)2,

解得e=4或e=T(舍去)，

；.E(4,0),

ACE=4-(-1)=5,

••^AABE=SMBE+S"CE

=3CE.%+gcE.|y/

=—x5x4+—x5x2

22

=15；

(3)解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为

一2〈工〈0或％〉1,

.••关于X的不等式用x+2>4的解集为一2<x<0或无>1.

X

22.操作发现：CE与口。相切；实践探究：雪；问题解决：见解析

【分析】操作发现：连接C。并延长交口。于点连接AM,根据直径所对圆周角为直角

得到NM4C=90。，根据旋转的性质得到=NACE,由圆周角定理推出=等

量代换得到NACE=/AMC,利用直角三角形的性质即可证明NOCE=90。，即可得出结论;

实践探究：证明得到/3=NADE=NACB,结合三角形外角的性质得到

ADRD

/CDF=/BAD,易证△ABDS/XDB,得到一=—,设8D=x,贝！JCD=6—九，得到

CDCF

CF=叵46-月=-巫(x-3)2+处，利用二次函是的性质即可求解；

301730v710

问题解决：过点E作EN〃3c交4c于点N,由旋转的性质知：ZB=ZACE,证明

/ENC=ZACE,推出E7V=CE,由旋转的性质得：AABD冬AACE,

得到BD=EN,根据石N〃5C,易证口CDFS^NE?,得至=空，即可证明结论.

ENEF

【详解】操作发现：

解：连接CO并延长交口。于点〃，连接40,

MC是口。直径,

，ZMAC=90°,

:.ZAMC+ZACM=90°,

由旋转的性质得/B=NACE,

•/ZB=ZAMC,

ZACE=ZAMCf

/.ZOCE=ZACM^ZACE=ZACM^-ZAMC=90°,

・・・OC是□。的半径，

CE与口。相切；

实践探究：

解：由旋转的性质得：ZBAD=ZCAE,AD=AEf

，/E4D+/C4T)=/C4E+/C4Z)即NBAC=ND4石，

\-AB=AC,

ABAC

'^D~~AE9

:.AABC^AADEf

:.ZB=ZADE=ZACB,

・・・ZADC=ZADE+ZCDF=ZB+/BAD,

.../CDF=/BAD,

.QABD^ODCF,

ABBD

~CD~~CF

设=贝l]CD=6—x,

3V10_x

6-x-CF

・•.C八巫x(6一步一回(一)2+亚

30v)30v710

Vio八

*/---<0，

30

.•.当x=3时，b有最大值为嚓;

问题解决:

证明：过点E作EN〃3C交AC于点N,

ZENC=ZACB

由旋转的性质知：NB=ZACE,

NB=ZACB,

ZACB=ZACE,

.\ZENC=ZACE,

:.EN=CE,

由旋转的性质得：△ABD之△ACE,

/.BD=CE,

:.BD=EN,

•:EN〃BC,

:.[]CDF^[]NEF,

CDDF

••丽一面‘

•：BD=EN,

CDDF

一茄一寿’

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次

函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键.

23.(1),=-炉+2%+3

⑵①②线段8+*的最小值为3而

【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程得出A(-LO),2(3,0),再利用待定系数法求

解即可;

(2)①在y=3尤+9中，令y=0得出。(-3,0),在y=-炉+2%+3中，令x=0得出。(0,3),

从而得出06=0。=3,BPZCBO=ZBCO=45°,待定系数法求得直线的解析式为

y=—x+3,联立，=；"+；,得出作轴于“，则

[y=3x+9I22JI2J

339

NDHF=90。,ZHFB=ZHBF=45°,求出以/=一/一(一3)=万，FH=-,由正切的定义

得出tan/。阳=型=,，证明ND尸H=NP8H,得出tan/DfW=tan/PBH=L求出直

FH33

|v—_1Y—I1

线8P的解析式为y=,联立3,计算即可得解；②设”(久1/)，NQ2，%)，

y=—x2,+2x+3

设直线MN的解析式为：y=-%+〃，求出直线的解析式为〉=攵科-3K，直线CN的解

,\y--x+n

2

析式为y=&%+3；联立｛2cQ得:x-3x+n-3=0,由韦达定理得出玉+9=3,

[y=—x+2x+3

将代入y=%逮-3勺，y=-£+2x+3得P1\1,求出匕=-1-玉，同理可

[y[=一%+2石+3

得为=2-赴，联立厂二，，得出a=4,推出点Q在直线无=；上运动，求出E（0,9）,

Iy_KtX—jKy22

作点E关于直线x=]的对称点甘，连接。E'交直线尤=]于Q',连接£。'，则E'（3,9）,由

轴对称的性质可得EQ'=E'Q',贝（QD+。£）最小值=DQ'+EQ'=DQ'+E'Q'=DE',由两点之

间线段最短可得:线段8+度的最小值的最小时为DE',再由勾股定理计算即可得出答案.

【详解】⑴解：、2-2%-3=0,

/.（x-3）（x+l）=0,

二.石=一1,x2=3,

A(-l,0),2(3,0),

•.•抛物线＞=/+云+3与x轴相交于A（X1,0）,8（%,0）两点,

j(7-Z?+3=0

*|9^+3/?+3=0,

a——1

解得:

b=2

.,.该抛物线对应的函数表达式为y=*+2x+3；

(2)解：①在y=3x+9中，令y=0,3x+9=0,解得尤=一3,即。(-3,0),

在丫=-/+2天+3中，令尤=0,则y=3,即C（0,3）,

OB=OC=3,

：.NCBO=NBCO=45°,

设直线BC的解析式为y=kx+b,,

3k+b=0

将2（3,0）,C（0,3）代入解析式得1