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文档简介
数学试题
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.已知全集U=口,集合2二xx2-2x-3<0▼N==2左一1,左eZ)〃,人.ee
和11>的关系的韦恩(Venn)图
如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()
C.1个D.无穷多个
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合〃={x|-1£x£3},由图知阴影部分所示的集合为"cN,求出"cN即可.
【详解】已知全集。=R,集合M={X,2—2X_3<0}={X|—1VXV3},
由题阴影部分所示的集合为河cN={-1,1,3),则阴影部分所示的集合的元素共有3个,
故选:A.
2.围棋是中国传统棋种,蕴含着中华文化丰富内涵,围棋棋盘横竖各有19条线,共有19x19=361个落子
点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能,因此围棋空间复杂度的上限河。3361.科学家们研
究发现,可观测宇宙中普通物质的原子总数IO®。.则下列各数中与——M最接近的是()(参考数
N
据:1g3。0.48)
A.1093B.1()83c.1073D.1053
【答案】A
【解析】
361
【分析】设M丝=x=3\,两边取对数,结合对数的运算性质进行整理,即可求出M一.
NIO80N
33613361
【详解】设M后=x=温,两边取对数lgx=lg温=lg336i—炮108。=361火炮3—80“93.28,所以
xn1093.28,
故选:A.
3.y=lg(tanx-l)的定义域为()
兀7兀77rr
A.<x—+^7l>x>—+ATI.A:GZ>
24
71.71
B.5Xx>—+KTIJC+zkll.7keZj>
42
兀77
C.<Xx>—+A:7l,A:GZ>
兀左兀7r>
D.—l--------------,4eZ〉
42
【答案】A
【解析】
【分析】复合函数定义域问题,分解函数,分别求定义域再求交集.
【详解】令V=lg/,Z=tanx-1
兀
函数f=tanx-l的定义域为:\xx^—+kn,keZk
2
函数y=lgf的定义域:/>0,则tanx-l>0,即佛+k兀〉x>:+k?t,kez},
所以V=lg(tanx—1)的定义域为卜g+kn>x>^+k兀,kez]
故选:A
4.设a=O.203,b=O.302,c=logo22,则()
A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c
【答案】C
【解析】
【分析】借助指数函数、幕函数与对数函数的性质判断即可得.
【详解】由函数y=0.2工在R上单调递减,故0.2°-3<0.2°2,
由函数y=x"2在(0,+功上单调递增,故0.2°,2<O.302,
030202
则c=log022<0<a=O.2-<O.2<O.3-=b,
即b>〃>c.
故选:C.
5.设函数/(x)=dW,则不等式/(2唾3"+/(3—唾3力<0的解集是()
A〈f,27jB.(。,51C.(0,27)D.(27,+s)
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知/(x)为定义在R上的奇函数,且为增函数,结合函数性质,对数函数单调性解不等式即
可.
【详解】由题意可知:/(X)的定义域为R,且/(—x)=(—£)3卜同=一/国=_/(工),
可知/(X)为定义在R上的奇函数,
且当X20,则/(x)=/在[0,+e)内单调递增,
可知/(%)在(-8,0]内单调递增,所以/(X)在R上单调递增,
因为/(2log3x)+/(3-log3x)<0,则/(21og3x)<-/(3-log3x)=/(log3x-3),
可得210g3X<logsx-3,即Iog3x<-3=log3g,解得0<x<、,
所以原不等式的解集为
故选:B.
6.下列选项可以使得孙成立的一个充分不必要条件的是()
A.x2+y2=1B.x2+4y2=1C.x+y=lD.y=-
X
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式可判断B,A,C,D可通过特殊值判断.
【详解】对于B:由/+4y=1"回|可得—町〈:故正确;
对于A:取x=y=YZ,满足/+/=],此时中=J",不成立;
2,2
对于C,取%=2,歹=一1,满足x+y=l,止匕时肛=一2,不成立;
对于D,取x=l,y=l,满足y=L,此时盯=1,不成立;
x
故选:B
7.函数/(x)的导函数/'(x)=(x—l)(lnx+ax—l),若函数/(x)仅在x=1有极值,则。的取值范围是
()
11一,
A.a工—5B.a<—或。=1
e~e
15
C.a<一一或a=lD.a=\
e-
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知/'(x)=0只有x=l一个根,且/'(x)在x=l的两侧异号,当0<x<l时,
x-1<0,如果此时lnx+ax—1<0,则可得lnx+ax-1<0,在xe(0,1)U(l,+oo)上恒成立,参变分
离,利用换元法及导数求解;用同样的方法求解当Inx+ax-1>0在xe(CU)上成立时,则有
lnx+ax-1>0,在%€(0,1)11(1,+00)上恒成立,最后再检验。=-二时是否满足题意,即可得解.
e
【详解】因为函数/(%)仅在x=l有极值,
所以f\x)=0只有%=1一个根,且/'(%)在%=1的两侧异号,
又因为了'(%)=(x-l)(lnx+ax-V),
又因为当0<工<1时,x-1<0,
如果Inx+QX—1<0,则/'(X)〉0在x£(0,1)上恒成立,
于是有当x>l时,f\x)<0,又因为当%>1时,x-l>0,
所以lnx+ax—1<0,从而得lnx+ax—1<0,在x£(0,1)U(l,+oo)上恒成立,
~…1-lnx人/、1-lnx八「y
所以a<------,令g(x)=-------,x>0且xwl,
XX
则g'(x)="E,令g'(x)=0,得X=e2,
所以当xe(0,e2)时,gz(x)<0,g(x)单调递减;
当xe(e2,+oo)时,g'(x)>o,g(x)单调递增;所以g(x)min=gd)=—y,
所以。<--y;
e
当Inx+办—1〉0在x£(0,1)上成立时,则/'(X)<0在x£(0,1)上恒成立,
所以/'(%)〉0在%£。,+8)上恒成立,又因为当x>l时,x-l>0,
所以lnx+〃x—1>0在%£(1,+8)上恒成立,
从而得Inx+QX—1>0,在x£(0,1)U(1,+oo)上恒成立,
口宜1-lnx
即Q>------,
X
由前面解析可知g(x)=tg户>0且XW1,无最大值,故此种情况不成立;
X
当Q=—时,/'(')=(x—l)(lnx——x—1)>
ee
令/'(x)=(x—l)(lnx——x—1)=0,
e
则有x=l或山n-3、-1=0,
e
令A(x)—Inx——x—1,x>0,贝Uh'(x)—-----,
exe
令〃(x)=0,得x=,,
所以当工£(0,。2)时,h\x)>0,〃(x)单调递增,
当工£化2,+00)时,h\x)<0,为(x)单调递减,
所以/z(x)V/z(e2)=0,
满足/'(X)在X=1的两侧异号,
综上,CL<---.
e
故选:A.
8.存在三个实数%,a2,%使其分别满足下述两个等式:(1)。1%。3=-2;(2)%+%+%=0,其中
M表示三个实数外,出,%中的最小值,则()
A.M的最小值是-2B.M的最大值是-2
C.M的最小值是一夜D.M的最大值是—2指
【答案】B
【解析】
【分析】分析得到%,出,%中必有2个正数,1个负数,再结合基本不等式计算即可.
【详解】由已知得,%,%,%中必有2个正数,1个负数,
设。3<0,4〉0,〃2〉°,则〃=%,因为%+。2+。3=0,所以一。3=。1+。2,
____2
所以一%=%+。2—2d4]和,即,
33
所以qa2a32全,由的2a3=-2得,^<-2,即a;<—8,
所以名4-2,
故选:B.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
v
9.已知定义在R上的奇函数/(x),其周期为4,当xe(0,2)时,/(x)=2-2,贝U()
A./(2024)=0
B./(x)的值域为(-2,2)
C./(x)在(-2,2)上单调递增
D./(x)在[-4,4]上有9个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的周期性与奇偶性计算函数值可判断A;求出xe(0,2)时/(X)的范围,再利用奇偶性
周期性求出函数在
xe(-2,2)的值域可判断B;求出/(0)、/(1)可判断C;利用函数的周期性、奇偶性求出零点个数可判
断D.
【详解】对于A,因为/(x)为R上的奇函数,所以/(0)=0,又其周期为4,
所以/(2024)=/(4x506)=/(0)=0,故A正确;
对于B,因为/(x)为奇函数,所以/(一x)=—/(x),可得/[一(%-2)]=-/(%-2)=/(2一切,
又因为周期为4,所以/(x)=/(x+4),可得/(x—2)=/(x+2),
所以一〃2—x)=/(x+2),Bp/(2-x)+/(x+2)=0,
可得/(x)的图象关于(2,0)对称,所以/(2)=0,/(-2)=0,
因为当xe(O,2)时,/(X)=2、-2为单调递增函数,所以/(x)e(―1,2),
又因为/(x)为奇函数,当xe(-2,0)时,所以/(x)e(-2,1),
再由/(x)的周期为4,可得/(x)的值域为(-2,2),故B正确;
对于C,因为/(0)=0,f(l)=0,
所以/(x)在(-2,2)上不具备单调递增性,故C错误;
对于D,因为/(x)的周期为4,xe(O,2)时,/(X)为单调递增函数,
所以xe(4,6)时,/(x)为单调递增函数,
xe(-4,-2)时,〃X)为单调递增函数,
又因为/(x)为奇函数,所以xe(-2,0)时,/(x)为单调递增函数,
xe(2,4)时,/(x)为单调递增函数,
且/(—4)=〃0)=/(4)=0,/(-2)=/(2)=0,
/(-3)=/(1)=/(5)=2-2=0,
可得/(x)的大致图象,所以/(x)在[-4,4]上有9个零点,故D正确.
【点睛】关键点点睛:利用函数的周期性、奇偶性解题是解题关键点.
10.已知函数/(%)=1081俨一2"+1),下列说法正确的是()
A./(x)关于x=a对称
B./(x)的值域为R,当且仅当a21或aV-l
C./(x)的最大值为1,当且仅当。=±巨
2
D./(x)有极值,当且仅当。<1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数函数的性质,结合二次函数的单调性,即可判断选项.
【详解】选项A:令g(x)=d—2ax+l,有g(x)=g(2a—x),由于/⑴Tog』g(x),
4
所以/(2a—x)=log[g(2a—x)=log2g(x)=/(x),所以/⑴关于x=a对称,故A正确;
44
选项B:当函数的值域为R,则8(x)=、2一2"+1能取到(0,+00)的所有值,所以A=4Q2—420
解得:Q21或aV-l,故B正确;
选项C:若函数/(%)的最大值为1,则g(x)=工ng(a)=工=>—a?+1='=a=±Y3,故C正
3\/min4\J442
确;
选项D:若/(%)有极值,则g(x)=、2-2ax+1在定义域内不单调,所以A=4Q2—4<0,则
—1<a<1,故D错误.
故选:ABC.
11.关于函数/(x)=cosxsin2x,下列说法中正确的是()
IT
A.图象关于直线x=一对称B./(x)为偶函数
4
D.最大值为殍
C.2兀为/(x)的周期
【答案】CD
【解析】
【分析】ABC选项由函数性质的判定即可得出结论,由二倍角公式化简为只含有sinx为变量的函数,换元
后借助函数定义域和导函数即可求得最大值.
71
【详解】对于A,f--xcos-xIsin(7i-2x)=sinxsin2xf(x),故A错误;
对于B,/(-%)=cos(-x)sin(-2x)=-f(x),故B错误
对于C,/(x+2K)=cos(x+2K)sin(2x+4TI)=cosxsin2x=f(x),
故2兀是/(x)的周期,故C正确;
对于D,/(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2(^1-sin2x)sinx,
令sinx=%,则/⑺=2(l—〃>=—2/+2%,ZG[-1,1],则/⑺=—6/+2,
令/'。)=一6r+2〉0,得tw--,即,£一~时,/(%)单调递增;
I33JI33J
-5</7-
当,£—1,....-U--,1时,/'(。<0,/«)单调递减;
_)\.
・・・/«)的极大值为/=4,,
I3J9
•••f(-l)=2-2=0</(x)的最大值为—,故D正确.
八99
故选:CD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)
12.已知a顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,其终边上一点尸的坐标为(,;,则sin2a的
值为______
【答案卓
【解析】
【分析】已知终边上点的坐标得出三角函数值,二倍角公式得出结果.
【详解】在a终边上,
1
32
tana=・=—
13
2
2x2
.C.2sin。cosa2tana312
sin2。=2sinacosa-——------------=——-----=----广一=——
sina+cosatana+1(u2、+i13
12
故答案为:
13
13.甲说:了=山(/-2"+3)在(―叫1]上单调递减,乙说:存在实数x使得/一2"+1〉0在1,2
成立,若甲、乙两人至少有一人说的话是对的,则。的取值范围是
【答案】{山<2}
【解析】
【分析】若甲对,根据对数型函数单调性求得14。<2;若乙对,分析可得ae1,2,x+->2a,结
[2Jx
合函数单调性可得。<3;取反面,结合集合间的运算求解即可.
4
【详解】若甲对,则/(x)=V-2"+3在(-8』上单调递减,且必一2办+3〉0在(-8,1]上恒成
立,
a>\
则《"(1)=4—2。〉0,解得』<2,
若乙对,由必一2办+1〉0,xeg,2
可得3xe-,2,xH—>2a,
2x
因为g(x)=x+一在内单调递减,在(1,2]内单调递增,
且g[;]=g(2)=;,可知g(x)在1,2内的最大值为I
可得一>2。,解得a<--,
24
若甲、乙说的均不对,且同。<1或。22}与卜伍2:1的交集为{a|a22},
若甲、乙两人至少有一人说的话是对的,则。的取值范围<2}.
故答案为:{。/<2}.
【点睛】关键点点睛:取“甲、乙两人至少有一人说的话是对的”的对立面“甲、乙说的均不对“,把问题转
化为集合间的运算求解即可.
14.已知不等式5-卜_2办26对任意的实数x恒成立,则/的最大值为.
【答案】2-21n2
【解析】
【分析】通过,=》一1+1换元将不等式化成e'-2R+2a—6-220,对任意的实数x恒成立,设
a
/«)=e'-2成+2a-b-2,对a的取值分类讨论,得至U。〉0时
1o
f(Z)n-/(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-2,依题得b<4a-2aln(2a)-2,即一<4一2ln(2a)——再
miaa
oi
令g(a)=4—21n(2a)——,a〉0,分析得到g(a)max=g(D=2—21n2,从而即得一<2—21n2.
aa
【详解】令/=X—4+1,则x=/—1+工,不等式可化为:e'—2a(/—1+工)26对任意的实数X恒成立,
aaa
即e'一2a/+2a—6-220对任意的实数x恒成立.
设/«)=e'—2a+2a—6-2,则/")=e'_2a,
当aW0时,r(0>0,/⑺在R上单调递增,r->-oo,/(0->-cc,不合题意;
当a〉0时,由/")=e'-2a=0可得Z=ln(2a),
当,<ln(2a)时,/⑺单调递减,当/>ln(2a)时,f'(t)>0,/⑺单调递增,
则当I=ln(2a)时,f(r)min=f(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-2.
因/(0>0对任意的实数x恒成立,故/(0min=/(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-220恒成立,
1o
即bV4a-2Qln(2a)-2,则一<4一2ln(2a)——.
aa
令g(a)=4-21n(2a)~~,a>0,贝!Jg'(a)=--+—^=型万叱
aaaa
当Ova<1时,gf(a)>0,g(a)单调递增,当a>l时,g\d)<0,g(。单调递减.
故g(a)max=g6=2—21n2,
即—21n2,故2的最大值为2—21n2.
aa
故答案为:2-21n2.
【点睛】关键点点睛:本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题,属于难题.
解题的关键在于通过设/=x-工+1进行换元,将不等式化成e'-23+2a-3-220,设函数
a
=-2at+2a-b-2,分析得到=/(ln(2a))=4a—2aln(2a)-Z)-2>0,然后分离出
-<4-21n(2a)——,将问题转化为求函数g(a)=4-2ln(2a)——,a>0的最大值即得.
aaa
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.已知函数/(x)=一“J+2。十.
(1)若。=1,求函数/(x)的极值;
(2)讨论函数/(x)的单调性.
25
【答案】(1)极小值为一,极大值为一
36
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)对/(x)求导,分析单调性,再根据极值定义即可求解;
(2)/'(X)=(x-a)(x-2),对。分口=2,a>2和a<2讨论单调性即可.
【小问1详解】
13
2丁丁+23—).
所以x<l或x>2时,/'(X)>0,l<x<2时,/(x)<0,
则/(x)在(1,2)上递减,在(―叫1),(2,+8)递增,
25
所以/(%)的极小值为/(2)=极大值为/(1)=-.
36
【小问2详解】
f'(x)=(x-a)(x-2),
当。=2时,/(x)>0,所以/(x)在(一叫+可)上递增,
当a>2时,%<2或》>。时,/(x)>0;2cx<a时,/(x)<0,
所以/(%)在(-叫2),(a,+8)上递增,在(2,a)上递减,
当a<2时,x<a或x〉2时,/(x)>0;a<x<2时,/(x)<0,
所以/(%)在(-叫。),(2,+8)上递增;在伍,2)上递减.
16.已知函数/(x)=sin[x+t]+2,将函数/(x)的图象向右平移]个单位长度,再将所得函数图象上
各点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标不变,得到函数〉=g(x)的图象.
(1)求g(x)的解析式;
jrSjr
(2)若关于x的方程g(x)=-左在区间-二,左上有且只有两个实数解,求实数左的取值范围.
lo0
【答案】(1)g(x)=sin[2x—g1+2
(2)—3,—2+
\2」
【解析】
【分析】(1)根据三角函数图象变换的知识求得g(x).
(2)根据g(x)在区间-斗上的图象列不等式来求得左的取值范围.
186
【小问1详解】
将/(X)的图象向右平移3个单位长度后,
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的--纵坐标不变,
2
得到了=5也12%一^]+2的图象,所以g(x)=sin|2x-g1+2.
【小问2详解】
因为一餐》〈军,所以一之T/07C471
-<2x——<——.
186933
g(x)=-k,gpsin^2x--1-^TT571
二-2一左在区间-上有且只有两个实数解,
_186
于是函数了=sin[2x-1]与jTTS71
)=—2-左的图象在区间一二,二上有且只有两个交点,
_186
.(4兀、,4TT.4JI.(兀、.71.3兀
sin=-sin——,sin—=sin兀+—=-sin—=-sm—=----,
I9J9313)392
0<—<—,所以sin,4兀1.4兀
---<sin——.
992I9)3
画出y=sin|2x--在区间■,,上的图象如下图所示,
所以一立<一2—左<1,所以一无+2V—左<3,—3(左V走一2.
222
所以实数上的取值范围是-3,-2+三
2
兀7C3兀4/o
17.已知一&a4—,兀V/?V—,sin2i=—,cos(a+/?)=------,
422510
2ao•a_2a
5sm——I-8sin—cos——I-11cos----8o
2222
(1)求--------------y~气-----------的值
sm1]
(2)求角£一。的直
【答案】(1)-11
【解析】
【分析】(1)利用二倍角公式、诱导公式化简,再利用商数关系化为关于tana的式子,再由二倍解公式,
同角关系式对已知条件变形求得tan。,代入计算可得;
(2)确定a+,的范围,求得sin(a+£),然后利用(a+6)—2a=£-a,结合两角差的正弦公式求得
sin(£-a),结合角的范围得出角的大小.
【小问1详解】
由
匚.2a.occc-2。ou、?(X_2。)A/2。o
5sin——I-8osm—cos——I-11cos----85sm—+5cos—+4sma+6cos8
222222)2
兀-cosa
sma—
2
5+4sini+6cos2一一84sma+6cos之---3•,
774Asma+3Qcosa一、
=-----------------上——=---------------上——=---------------=-(4Z4tana+3)
-cosdz-cosa-cosa
ll.、,.八4广….2-sinacosatana2
又因为sm2a=—,所以smacosa=G,可得<;------,—=------Q—=一,
55sina+cosa1+tana5
]JI兀^
解得tana=2或tana=—,由于一VaV一,所以tana=2.
242
,原式二一11.
【小问2详解】
3兀5兀/o-
又由兀W昼知彳Va+夕V2兀,因cos(a+/?)=—■—>
7A/2
则sin(a+,)=—^/l-cos2(tz+=-
~L0~
由sin(4—a)=sin[(tz+〃)-2a]=sin(a+〃)cos2a-cos(a+/3)sin2a
76(3、(41}4V2
105J10j52
LL,兀,5兀“c371
又因一——,故/一a二——.
244
18.已知函数/(x)=ln%+2%+(%-1)3.
2-x
(1)证明:曲线y=/(x)是中心对称图形;
⑵若/(2机—1)+/(相)<4,求实数机的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
【解析】
【分析】⑴由函数/(X)的定义域(0,2),计算/(“+/(2-力的值判断对称中心;
(2)利用导数判断了(x)的单调性,结合函数对称性列不等式求实数机的取值范围.
【小问1详解】
函数/(x)=如上+2X+(X—1)3,定义域为(0,2),
2-x
丫2_v*
/(x)+/(2-x)=ta—+2x+(x-l)3+ta--+2(2-x)+(l-x)3
2—xx
=ln^^.^^+[2x+2(2-x)]+[(x-l)3+(l-x)3]
2xx
=0+4+0=4
所以曲线y=/(x)关于点(1,2)对称.
【小问2详解】
112
r(x)=-+—+2+3(x-l)2=~―-+2+3U-1)2,
x2-xx^2-x)
22
因为xw(O,2),x(2_x)〉°,所以/'(x)=i+2+3(xf2〉0,
所以/(x)在定义域(0,2)上单调递增.
(方法一)又/(x)关于点(1,2)对称,/(2m-l)+/(m)<4,
2m-l+m<2,
所以<0<2m-1<2,
0<m<2,
解得—
2
(方法二)因为/(X)关于点(1,2)对称,
所以g(x)=/(x+l)—2是奇函数,且在区间(一1,1)上单调递增.
由/(2m-l)+即/(2机一1)-2<-相)-2],
即g(2m-2)<-g(m-l),
2m—2<1—m,
所以g(27〃-2)<g(l-加),所以<一1<2根—2<1
-1<1-m<1,
解得,<机<1.
2
所以实数机的取值范围为I;,1.
19.已知函数g(x)=21n(—x-l)+cos(-x—2),函数/(x)与g(x)的图像关于x=-l对称,.
(1)求/(x)的解析式;
(2)/(司-1«办在定义域内恒成立,求a的值;
(3)求证:7一彳<山4,〃£N*.
k=n+\2)
【答案】⑴/(X)=21n(x+l)+cosx,(x>
(2)a=2
(3)证明见解析
【解析】
【分析】(1)设/(x)图像上任意一点坐标为(%,%),利用其对称点在g(x)
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