2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：平面向量的数量积（学生版+解析）

第03讲平面向量的数量积

目录

第一部分：基础知识..................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过............................................4

高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析...........................4

高频考点二：平面向量数量积的几何意义.............................5

高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）.....................6

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）.......................7

高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）..................8

高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）...10

高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）..............11

高频考点八：向量的垂直关系......................................12

高频考点九：向量的投影（投影向量）...............................13

高频考点十：平面向量的综合应用..................................13

高频考点十一：最值范围问题......................................14

第四部分：典型易错题型............................................15

备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题.................15

第五部分：新定义题.................................................16

第一部分：基础知识

1、平面向量数量积有关概念

1.1向量的夹角

已知两个非零向量Z和B，如图所示，作0X=£，OB=b>则=e

（owew»）叫做向量£与加的夹角，记作<3范〉.

⑵范围:夹角。的范围是［0,乃］.

当。=0时，两向量Z，B共线且同向；

7T

当6=—时，两向量d，B相互垂直，记作

2

当■时，两向量£,另共线但反向.

1.2数量积的定义：

已知两个非零向量办与B，我们把数量|Z||B|cos。叫做办与B的数量积（或内积），记作7B，即

a-b=\a\\b\cos0,其中J是Z与石的夹角，记作：0=<a,b>.

规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作：0a=0.

1.3向量的投影

①定义：在平面内任取一点0,作的:=£,而=反过点M作直线ON的垂线，垂足为"1，则可"就

是向量3在向量B上的投影向量.

M

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，西*与工方向相同，4=|西'uiacos。，所以西'=|西1|"=iacos6»2；

-------->——TC-

当。为直角（如图（2））时，2=0,所以。A/】=0=|a|cos—e；

2

当。为钝角（如图（3））时，西■与工方向相反，所以

A=-\OMl\=-\a\cosZMOM］=-|a|cos（^-^）=|a|cos6*,即OMX=\a\cosde.

M

M

°MibNObN

(2)

当8=0时，4=|a],所以。I/1=|a|e二|a|cosOe；

当6=兀时，A=-\a\f所以OM]=—|。|e二|a|cosiie

综上可知，对于任意的8£[0,兀],都有西二|£|cos。].

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量£二（%,%）,万=（9,%），e为向量Z和石的夹角:

2.1数量积Q・B二|Q||B|cose=x%2+yiy2

2.2模：|a|=y/a-a=Jx；+y；

2.4非零向量£的充要条件：a-b=0<^>xix2+yiy2=0

2.5三角不等式：|Q.万区]〃加|（当且仅当Q||B时等号成立）OA：1%+%%«胃；+3.+乂

3、平面向量数量积的运算

®a-b=b-a

@Aa-b=2（a.B）=Q.（症）

③（〃+7）・c=〃・c+B・c

4、极化恒等式

①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD中，则福•丽=」（前2-加2）

41

---------►-------2----»2-----»21---»2

②三角形形式：在A4BC中，M为的中点，所以A3-AC=AM-MB=AM一一BC

5、常用结论

®(a+b)(a-b)=a-b

®{a+bf=a+2a-b+b

/~、-►―*c~*2­►―►—»，

®(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真题回顾

1.（2023・北京•高考真题）已知向量土方满足商+方=（2,3）,万一方=（一2,1）,贝！Im。一防（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2023•全国•乙卷文）正方形A3CD的边长是2,E是AB的中点，则反.丽=（）

A.75B.3C.2>/5D.5

3.（2023•全国•甲卷文）已知向量Z=（3,1）,B=（2,2）,贝ljcosR+B,--^）=（）

AJ_R屈cV52近

171755

4.（2023•全国,乙卷理）已知。。的半径为1,直线PA与。。相切于点A,直线尸8与。。交于8,C两点,

。为8c的中点，若1Poi=0,则西.丽的最大值为（）

A1+V21+20

r\.--------DR.---------

22

C.1+V2D.2+V2

__»1-»-.1—»

5.（2023•天津・高考真题）在AABC中，8c=1,NA=60。，AD=-AB,CE=-CD,记A8=Z,AC=b,

22

用方,5表示通=；若前=g交，则通.衣的最大值为.

6.（2023・全国•新课标H卷）已知向量4，B满足,一同=,卜+5卜忸一耳，则忖=.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析

典型例题

1.（2024高一下•全国•专题练习）对于任意向量工及屋下列命题中正确的是（）

A.\a-b\=^a^b\B.\a+b\=\a\+\b\

C.（a-b）c=a（b'c）D・Ia\=V?

2.（23-24高一下•吉林长春•阶段练习）在AABC中，下列命题正确的个数是（）

①：W-正=居；②/+肥+G5=0；@^（AB+AC）.（AB-AC）=O,则AABC为等腰三角形；④

ACAB>0,则AABC为锐角三角形.

A.1B.2C.3D.4

3.(23-24高一下•四川内江•阶段练习)在三角形ABC中，ABAC=O,\W\=6,Ad=^(AB+AC),BA^BC

5.

上的投影向量为评C,则而.初=____.

6

练透核心考点

1.（23-24高一下•山东青岛•期中）在AABC中，羽=比正=日，若万.5>0，则下列结论正确的为（）

A.AABC一定为钝角三角形B.AABC一定不为直角三角形

c.44BC一定为锐角三角形D.AABC可为任意三角形

2.（23-24高一下•陕西咸阳•阶段练习）在等式①。以=0；②03="③（小孙"①（5司；④若万了=万下,

且47。，贝="其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（多选）（23-24高一下•四川乐山•期末）已知平面向量心b,c,则下列说法正确的是（）

A.仅向B,伍+讥k办=时我

C.a-c=a-b<商wG，则B=ED.|a+Z>|=jo—Z>|,贝！|苕_|_6

高频考点二：平面向量数量积的几何意义

典型例题

1.（23-24高一下•河北衡水•期末）如图，在边长为4的等边AABC中，点E为中线3D上的动点，点/为8C

的中点，则定.屈的取值范围为（）

C.-2,；D.[-2,1]

2.（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着"圆满"和"饱满"，是自

古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为0,A、3是圆。上的两点，若|钻|=6,

练透核心考点

1.（23-24高一下•安徽滁州•阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生

四象，四象生八卦，易经包含了深荽的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形

ABCDEFGH,其中"=1,0为正八边形的中心，则通.而=（）

A.72-1B.1C.0D.1+^/2

2.（23-24高一上•湖南长沙•期末）在RtZVLBC中，C为直角顶点，3c=4,则阮•丽的值为（）

A.4B.8C.16D.缺少条件，做不出来

高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）

典型例题

1.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）已知等边A/RC的边长为1,成=2万=瓦丽=口那么

a-b+b-c+c-a—（）

2.（23-24高一下•山东•阶段练习）在44SC中，。为边上一点，满足AO，AB,丽=：配码=2,

则衣•而=（）

3.（2024•全国•模拟预测）在正六边形ABCDEF中，已知A3=l,则无乙衣=

练透核心考点

1.（23-24高三下•海南省直辖县级单位•开学考试）如图，点P,A,B均在边长为1的小正方形组成的网格

上，贝即例-2网=（）

2.（2024•陕西咸阳,模拟预测）已知向量汗b=（m,2）,若仅一25）々=0,则不方=（）

A.—8B.—16C.1D.—20

3.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）如图，正八边形ABCDEFG”,其外接圆O半径为2,则方.配

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）

典型例题

1.23-24高三下•安徽滁州•阶段练习）已知向量海满足同=W=|£+4=1,则忸+5卜（）

A.3B.6C.7D.近

2.（23-24高三下•浙江宁波•阶段练习汨知平面向量Z,B满足a=（1,2）,|B-|=4且巧-2为，£,则|B|=（）

A.75B.5C.>/6D.6

3.（2024.全国.模拟预测）若5=（&冏,a-（a+b）=2,则忸+同=.

4.（23-24高一下•重庆•阶段练习）已知（=（1,2）,1=（2,—3）,c=（l,x）,（a+b）lc,则同=.

练透核心考点

1.（2024•陕西西安・三模）己知平面向量心B的夹角为60。，若2=（1,石），,-2同=2代，则归卜（）

A.2B.应C.-1或2D.2或应

2.（2023高二上・甘肃兰州•学业考试）已知向量Z=（2,1）,3=（-2,4）,则［/=（）

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三上•山西•期末）已知向量2和分的夹角的余弦值为:，日=卜2夜,1）,忖-4=内，则同等

于（）

A.2B.4C.3-77D.3+近

4.（2023•北京海淀•三模）已知"为单位向量，向量Z满足£.工=2，卜-二|=1,则，的最大值为（）

A.1B.2C.亚D.4

高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）

典型例题

1.（2024•辽宁鞍山•一模）己知非零向量5满足同=2问，向量G在向量5方向上的投影向量是⑸，

则方与方夹角的余弦值为（）

A&R垃c④n2

A.D.♦U•

3623

2.（2024高一•全国•专题练习）已知非零向量乙方满足2同=3忖,近（2万-5）,则向量痴夹角的余弦值

为.

3.（23-24高一下•江苏扬州•阶段练习）已知在AABC中，N是边的中点，且4丽=前，设AM与CN

UUU1UUUi

交于点尸.记AB=a,AC=/?.

A

(1)用3,B表示向量丽，西；

(2)若2同=欠=2,且在,屈，求&而的余弦值.

4.(23-24高一下•云南昆明•阶段练习)已知向量”(1,1),问=20.

(1)若弓〃5,求5的坐标；

⑵若俾-2方)“1+5),求1与5的夹角.

练透核心考点

1.(23-24高一下•河北沧州•阶段练习)已知向量Z=(3,1),B=(3,2),"=(1,4),贝"os,石-。=

2.(2021•河南•模拟预测)已知同=2,a-b=-8,石=(-3,4),则向量Z与分的夹角的正切值为

3.(23-24高一下•江苏南通•阶段练习)己知|£|=2,出|=",(a-ft).(2a+S)=2.

(1)求|Z+B|；

⑵求向量公与Z+B的夹角.

4.(23-24高一下•河北沧州,阶段练习)己知向量〃=(2,3),B=(l,尤)，2=(4,1).

⑴若％=2,a=Xb+pic,求2+〃的值；

(2)若九伍询，求Z与：的夹角的余弦值•

高频考点六：平面向量数量积的运算(两向量成锐角(钝角)求参数)

典型例题

1.(23-24高二上•湖南长沙•开学考试)己知点A(-U),B(3,y),向量4=(1,2),若通与G成锐角，则y

的取值范围为.

2.(23-24高一下•河南南阳・期中)已知M=(1,2),万=(1,1)且3与£+"的夹角为锐角，则X的取值范围

是.

3.(23-24高三上■黑龙江鸡西■阶段练习)已知平面向量方=(l,x),B=(2x+3,-尤)，xeR.

(1)①若0//B,求x；②若万上5，求x；

⑵若向量2与3的夹角为钝角，求尤的取值范围.

4.(23-24高一下•江苏淮安•期中)已知向量l=(1,2)，b=(-3,k)-

(1)若/_L(M+2B),求实数人的值；

⑵若W与苫的夹角是钝角，求实数％的取值范围・

练透核心考点

1.（23-24高一下•甘肃天水•期末）已知万石=（41）,若Z与B的夹角为钝角，则实数4的取值范围

是•

2.（23-24高一下•内蒙古呼和浩特•阶段练习）已知向量Z=（-2,-l）,5=（2,1）,贝丘与B的夹角。为钝角时，

4的取值范围为.

3.（23-24高一下•江西景德镇•期中）若向量2=（1,3）,5=（羽-1）的夹角为钝角，则实数x的取值范围为.

4.（23-24高一下•重庆■阶段练习）已知向量2=（-2,3）,a+b=（2,5）.

（1）求|5|以及向量商与5的夹角的余弦值；

⑵已知不与日的夹角为锐角，求几的取值范围.

高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）

典型例题

1.（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）已知向量b，满足间=忖=卜-可，则方.+石）=（）

A.^a2B.产C.+D.；（万一,

2.（23-24高三下•云南昆明•阶段练习）已知平面向方，方，3同=咽=1,@耳=］，若,

则的最大值为（）

A.8B.4+2括C.4^3+8D.4"

3.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）若向量£,B满足同=2,何=1,（21方）乂2+方），则£啰=.

练透核心考点

1.（23-24高三上•山西•期末）已知向量£和万的夹角的余弦值为，［卜2忘,1）,则同等

于（）

c.3-77D.3+币

2.（2023•四川绵阳•模拟预测）已知平面向量G与方的夹角为45。,小方=2,且同=2,则（。-5）（万+5）=（）

A.-2A/2B.-2C.2D.2点

3.（23-24高一下,广东深圳,阶段练习）向量|万|=出|=2,©=1,若存在实数r,使得”应+（1T）B,则无（万-5）

的取值范围是

高频考点八：向量的垂直关系

典型例题

1.（2024高一・江苏•专题练习）已知反㈤=2,出|=3且向量3Z+2B与心-石互相垂直，则k的值为（）

33

A.——B.-

22

3

C.±-D.1

2

2.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知向量方=（3,5）,5=（-1,1）,若心+4），5,则4=.

3.（23-24高一下•陕西咸阳•阶段练习）已知同=1,忖=2,/与方的夹角为60°.

⑴求忸-同；

⑵若向量石+桁与5-质相互垂直，求实数上的值.

练透核心考点

1.（23-24高一下•天津静海•阶段练习）已知同=2,问=3,且3"2方与行-方垂直，则实数力的

值为（）

333

A.±-B.C.-D.1

222

2.（23-24高三下•云南•阶段练习）已知单位向量入石的夹角为；-3力，若花+B与2垂直，则2=.

3.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）己知向量Z，另满足忖=1,忖=2,且九分的夹角为三.

（1）求（2+2方）石；

（2）若（2力）呼+码,求实数4的值；

高频考点九：向量的投影（投影向量）

典型例题

L（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）已知2=（1,2）,石=（-1,1）,则向量£在行上的投影向量的模长为（）

A.1B.叵C.旦D.受

255

2.（23-24高一下•江西宜春•阶段练习）已知向量4与5的夹角为120。，且同=2,例=4,则向量2在向量

b上的投影数量为（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.（23-24高一下•河南南阳•阶段练习）已知向量入B、"，其中同=4,忖=6且％与之的夹角是等，B与工的

TT

夹角是:，贝仃+后在2方向上的投影数量为.

练透核心考点

1.（23-24高一下•山东泰安•阶段练习）已知向量”=（-1,2）,则M在石上的投影向量为（）

A.3B.（-1,2）C,y-,y-D,（1）1）

2.（23-24高三上•山东青岛・期末）已知平面向量2=（0,1）石=（-1』），则向量4在向量方上的投影向量是（）

（06rv26

A.一一——B.——,一--

3.（23-24高三上•上海浦东新•期末）已知向量2=（3,4）,向量3=（1,0）,则向量Z在向量5上的投影向量

为.

高频考点十：平面向量的综合应用

典型例题

1.（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）已知向量方=（一3,1）石=（1,一2）,而=万+防（左eR）

⑴向量ZB夹角的余弦值；

⑵若向量正与2日-方垂直，求实数左的值；

⑶若向量2=（1,-1）,且正与向量庙+2平行，求实数上的值.

2.（23-24高一下•广东惠州■阶段练习）已知非零向量Z,B满足|“|=1,且（2-田一（£+石）=：.

4

⑴求

--1

⑵当小6=一工时，求向量一与£+25的夹角6的值.

3.（23-24高一下•江苏南通•阶段练习）已知平面内的三个向量2=（3,2）,5=（-1,2）,"=（4,1）.

⑴若Q+、）//日+工），求实数%的值;

（2）若0+证），G-1）,求实数％的值.

高频考点十一：最值范围问题

典型例题

1.（23-24高一下•北京•阶段练习）已知向量海I满足同=明=5a-b=~,（a-c,b-c）=^,贝响的

最大值等于（）

A.2币B.币C.2D.72

2.（2024高三・全国•专题练习）已知同=忖=2,同=1,（"。但-可=0,则司的取值范围是（）

近-177+1

A.1,痣+1]B.

2'2

#-1#+1

C.[V7-1,77+1]

3.（2023•全国•模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物蔡

可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形.已知ABCH1J与CDEFGH为全等

的正六边形，且他=2,点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则衣•丽的取值范围为（)

D.[-1,36]

4.（23-24高一下•福建莆田•期中）设平面向量商=G+/,b=3ei+e1,其中为单位向量，且满足

恒忘，则cos?,,可的最大值为

练透核心考点

1.（2024高三・全国•专题练习）已知A,B,C,。是半径为2的圆。上的四个动点，若AB=CD=2,则

而.无+方/丽的最大值为（）

A.6B.12C.24D.32

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知同=石，忸|=1,无5=0,归+司+归一司=4,22一45,+3=0,

则k-©的最大值为（）

“2屈,。「472?cc31

A.——+1B.4C.——+2D.——

333

3.（23-24高一下•河南周口•阶段练习）已知平面向量薮"满足同=|1+3干-4=2,贝伉"的最大值

为.

PA-TcPBPC

4.（23-24高一下•重庆•阶段练习）若AB=3,=2C2，平面内一点尸，满足|西||而|，sinZPAB

的最大值是.

第四部分：典型易错题型

备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题

1.（2024高三・全国•专题练习）已知：，了为互相垂直的单位向量，«=7-2；,b=l+A],且£与万的夹角

为锐角，则实数4的取值范围为.

2.（23-24高一下•河北沧州,阶段练习）已知R,可是夹角为60°的两个单位向量.若£=3号+2七,5=扃+2号,

其中teR,若3,5的夹角为锐角，则f的取值范围_____.

3.（23-24高三上•北京怀柔•阶段练习）己知平面向量万，5满足同=忖=1,方与5的夹角为60。，若"+B与

ta-b的夹角为钝角，则一个满足条件的7的值可以为.

第五部分：新定义题

1.（23-24高一下•山西大同■阶段练习）"元向量（n-tiiplevector）也叫“维向量，是平面向量的推广，设

〃为正整数，数集尸中的"个元素构成的有序组（外孙…，氏）称为尸上的"元向量，其中q«=L2,L川为该

向量的第i个分量.”元向量通常用希腊字母王瓦》等表示，如讶=（%%,…,q）,P上全体"元向量构成的集

合记为P".对于a,£eP",〃eN*,记＜5=3，%方=3也,…,么），定义如下运算：加法法则

a+P=(ax+bx,a1+b1,---,an+bl^,模公式同==Qa；+…+a：,内积

3・万=2岫=ah，a"…,a“b,,设2,3的夹角为。,则cos（9=a-P

Z=1HW

⑴设无£eP",心3,〃eN*,&=（1,-M,L…,1）,6=（-LLL…,1）,解决下面问题：

①求归+同；

②设2与2的夹角为。，求cos。；

⑵对于一个〃元向量a=（《,外,…,见），若㈤=1（，=1,2,…，及），称£为〃维信号向量.规定乱7=0=2，尻

已知人个两两垂直的120维信号向量扇瓦，…,或满足它们的前根个分量都相同，证明：而＜11.

第03讲平面向量的数量积

目录

第一部分：基础知识..................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过............................................4

高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析...........................4

高频考点二：平面向量数量积的几何意义.............................5

高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）.....................6

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）.......................7

高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）..................8

高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）...10

高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）..............11

高频考点八：向量的垂直关系......................................12

高频考点九：向量的投影（投影向量）...............................13

高频考点十：平面向量的综合应用..................................13

高频考点十一：最值范围问题......................................14

第四部分：典型易错题型............................................15

备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题.................15

第五部分：新定义题.................................................16

第一部分：基础知识

1、平面向量数量积有关概念

1.1向量的夹角

已知两个非零向量Z和B，如图所示，作0X=£，OB=b>则=e

（owew»）叫做向量£与加的夹角，记作<3范〉.

⑵范围:夹角。的范围是［0,乃］.

当。=0时，两向量Z，B共线且同向；

7T

当6=—时，两向量d，B相互垂直，记作

2

当■时，两向量£,另共线但反向.

1.2数量积的定义：

已知两个非零向量办与B，我们把数量|Z||B|cos。叫做办与B的数量积（或内积），记作7B，即

a-b=\a\\b\cos0,其中J是Z与石的夹角，记作：0=<a,b>.

规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作：0a=0.

1.3向量的投影

①定义：在平面内任取一点0,作的:=£,而=反过点M作直线ON的垂线，垂足为"1，则可"就

是向量3在向量B上的投影向量.

M

②投影向量计算公式：

当。为锐角（如图（1））时，西*与工方向相同，4=|西'uiacos。，所以西'=|西1|"=iacos6»2；

-------->——TC-

当。为直角（如图（2））时，2=0,所以。A/】=0=|a|cos—e；

2

当。为钝角（如图（3））时，西■与工方向相反，所以

A=-\OMl\=-\a\cosZMOM］=-|a|cos（^-^）=|a|cos6*,即OMX=\a\cosde.

M

M

°MibNObN

(2)

当8=0时，4=|a],所以。I/1=|a|e二|a|cosOe；

当6=兀时，A=-\a\f所以OM]=—|。|e二|a|cosiie

综上可知，对于任意的8£[0,兀],都有西二|£|cos。].

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量£二（%,%）,万=（9,%），e为向量Z和石的夹角:

2.1数量积Q・B二|Q||B|cose=x%2+yiy2

2.2模：|a|=y/a-a=Jx；+y；

2.4非零向量£的充要条件：a-b=0<^>xix2+yiy2=0

2.5三角不等式：|Q.万区]〃加|（当且仅当Q||B时等号成立）OA：1%+%%«胃；+3.+乂

3、平面向量数量积的运算

®a-b=b-a

@Aa-b=2（a.B）=Q.（症）

③（〃+7）・c=〃・c+B・c

4、极化恒等式

①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD中，则福•丽=」（前2-加2）

41

---------►-------2----»2-----»21---»2

②三角形形式：在A4BC中，M为的中点，所以A3-AC=AM-MB=AM一一BC

5、常用结论

®(a+b)(a-b)=a-b

®{a+bf=a+2a-b+b

/~、-►―*c~*2­►―►—»，

®(a-b)2=a-2a-b+b

第二部分：高考真题回顾

1.(2023・北京•高考真题)已知向量土方满足商+方=(2,3),万一方=(一2,1),贝！Im。一防()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】

利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】

向量扇B满足a+B=(2,3),万-5=(-2,1),

所以_|B/=(£+&•(£_&=2x(_2)+3xl=T.

故选：B

2.(2023•全国•乙卷文)正方形A2CD的边长是2,E是A2的中点，则反.防=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛AB,A。｝为基底向量表示EC,即，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以｛丽而｝为基底向量，可知,@=世|=2,48.4。=0,

uunutruuniuimuumuunuuruuniuuiiuun

贝UEC=EB+8C=-A8+AO,EO=E4+AO=——AB+AD,

22

uunuun(iuunuunA(iuunuumAiuun,uum,

所以EC.EDHiAB+ADH-'AB+ADb-7AB+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

/、z、z、uuuLum

则E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

UUUULUU

所以ECED=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=^5,CD=2,

n/r2+CF2-DC25+5-43

在△CDE中，由余弦定理可得cosNDEC="°：，℃=?*匚=!

2DE-CE2xj5x，55

uumuunlUuniiUUttii3

所以EC£D=|£q「4cosZD£C="xV5xM=3.

3.(2023•全国•甲卷文)已知向量2=(3,1),5=(2,2),贝!|cosR+石,£-方)=()

A1_R旧c小D26

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得口+附£-/(£+斗(£询，从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为％=(3,1)石=(2,2),所以Z+B=(5,3),H(1,—1),

则忖+4=,52+32=后,,_@=7171=0,[a+5)-[fl-5)=5xl+3x(-l)=2,

所以巾+“一％

'/|fl+Z?||a-&|v34xV217

故选：B.

4.(2023•全国•乙卷理)已知。。的半径为1,直线PA与。。相切于点A,直线尸8与。。交于2,C两点，

。为8c的中点，若|尸。|=8，则丽.丽的最大值为()

.1+3„1+20

r\.-------D.----------

22

C.1+^/2D.2+V2

【答案】A

【分析】

由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得西・丽=gsin[2c-，或

丽.丽然后结合三角函数的性质即可确定玩丽的最大值.

【详解】

如图所示，|。4|=1,|。尸|=0,则由题意可知:=

当点A,。位于直线PO异侧时或PB为直径时，设NOPCa,0<a<—,

4

cosa+—

则：PA.PD=\PA\\PD\I4

71

=1XA/2cosacosa+—

\

=A/2COSacosa------sina

2

7

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.小

-----------------sin2a

22

1A/2sin12a一£

22

。统<?,则一仁=?

77

当点AD位于直线尸。同侧时，设/"Ca,0<a<“

TC

则：PA.PD=\PA\\PD\cosa~~

=1XA/2cosacos

-6cosacosaH-----sina

2

=cos2a+sinacosa

1+cos