河南省信阳市2025届高三年级上册第一次教学质量检测数学试题（含答案解析）

河南省信阳市2025届高三上学期第一次教学质量检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=何/-2X-3=0},B={l,a},若AcB={3},则AUB=()

A.{1,3}B.{-1,3}

C.{—1,1,3}D.{-3,—1,3)

2.记等差数列{%}的前"项和为％若%+g=20,%="则几=()

A.60B.80C.140D.160

3.已知x=2°",y=lg|,z=1|),则下列结论正确的是()

A.x<y<zB.><z<x

C.z<y<xD.z<x<y

4.荀子《劝学》中说：“不积畦步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退

步率”都是1%的前提下，我们可以把(1+1%)脑看作是经过365天的“进步值”，(1-1%户5看

作是经过365天的“退步值”，则大约经过()天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参

考数据：IglOl®2.0043,lg99-1.9956)

A.100B.230C.130D.365

5.若人实数。使得“土。€氏年+2/+。=0”为真命题，q：实数。使得

“Vxe[0,+8),2'—a>0"为真命题，则P是4的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

6.已知函数的定义域为R,且“2x7)为奇函数，〃x+l)为偶函数,当时，

/(x)=ax+l,贝i]/(2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

7.已知函数/(尤)=3尤2_21M+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小值，则实数。的取值范围是

A.ci>—3B.------<62<—10

3

49

C.-----<Q<—3D.—10<〃<—3

3

+4

8.已知函数y(x)=<龙+/>"0>,g(x)=x2+ax+b,若方程g[f(x)]=0有且仅有5个不

log2|x|,x<0

相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()

A.-28B.28C.-14D.14

二、多选题

9.已知函数y(x)=m，贝u()

A./(尤)为奇函数

B.在区间(—00.-次)内单调递增

c.“X)在区间。,+⑹内单调递减

D.f(x)有极大值

10.已知〃>0,b>Q,a+b=2,则()

A.心心2B,3+七2

abb~a2

3

C.+b^—ab>—D.a2+b2+ab<4

2

ii.设函数/-尤2+以一1,贝ij()

A.当。=-1时，f(x)有三个零点

B.当时，f(x)无极值点

C.3aeR,使/(x)在R上是减函数

D.VaeRjq)图象对称中心的横坐标不变

三、填空题

12.已知不等式依2+(a+2)x+c>0的解集为{x|-l<x<2},则函数、=曲可々的定义域

为.

试卷第2页，共4页

13.曲线y=e'在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切线，则实数a=.

10

14.函数满足：任意〃eN*,”〃)N5”.且/(x+y)=〃x)+/(y)+10孙.则2/⑺的最

Z=1

小值是.

四、解答题

15.已知｛%｝是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前w项和为S“，且％=3,%,%，为

成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵定义在数列｛叫中，使+1)为整数的%叫做“调和数”，求在区间口,2024］内所有“调

和数”之和.

16.某公园有一块如图所示的区域04c8,该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成.

经测量，ZAOB^90°,3=03=100米，曲线BC是以08为对称轴的抛物线的一部分,

点C到。4、03的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场O瓦加，其中点。在

曲线段BC上，点、E、歹分别在线段。4、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设方=x

米，游乐场的面积为S平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段8c的方程；

(2)求面积S关于x的函数解析式S=/(x)；

(3)试确定点。的位置，使得游乐场的面积S最大.

17.已知函数〃x)=logqJog2glVxV4),g(x)=4x+4x-a-2x-a-2^+1.

⑴求函数〃彳)的最大值；

⑵设不等式的解集为A,若对任意项eA,存在马目0』，使得匕=g(%),求实

数a的值.

18.已知〃无)=-ga无2+x-ln(l+x),其中a>0.

⑴若函数在x=3处的切线与x轴平行，求。的值；

⑵求“X)的极值点；

⑶若〃x)在［0,e)上的最大值是0,求。的取值范围.

19.若数列A:6,知…,a”(〃23)中qeN*(14i4〃)且对任意的24k4"-1,ak+l+4T>24恒

成立，则称数列A为“U-数列”.

(1)若数列Lx,y,7为“u-数列”，写出所有可能的xy；

(2)若"U—数列"A：qg'L,a“中，ax=l,a2=l,an=2017,求”的最大值；

(3)设"o为给定的偶数，对所有可能的“U-数列”A：4，/，,记M=max{q,a2,…,

其中maxN^L,王}表示无，1%，…,工这5个数中最大的数，求M的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CCBBACDABCDABD

题号11

答案BD

1.C

【分析】求得A={-1,3},结合AcB={3},得到8={1,3},根据集合并集的运算，即可求

解.

【详解】由集合A={x\x2-2x-3=0}={-1,3},

因为AcB={3},可得8={1,3},所以AuB={-l,L3}.

故选：C.

2.C

【分析】根据给定条件，求出等差数列{%}的公差及首项，再利用前〃项和公式计算即得.

【详解】等差数列{q}中，%+%=4+&=2。，而%=9,则。4=11，

公差d=%一4=2,q=%—2d=5,

所以do=lOfl]+10（l；T）d=!40.

故选：C

3.B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较X、y、Z三个数与0、I的大小关系，由

此可得出x、y、z三个数的大小关系.

2

【详解】•・・％=2。4>2°=1,y=lg-<lgl=O"I",…'即0<z<l.

因此，y<z<x.

故选：B.

【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般

利用中间值法来比较，属于基础题.

4.B

【分析】设大约经过“天“进步值”大约是“退步值”的100倍，依题意可得黑=100,根据指

答案第1页，共14页

数对数的关系及换底公式计算可得.

【详解】设大约经过«天“进步值”大约是“退步值”的100倍，

此时“进步值”为（1+1%）"=1.01",“退步值”为（1-1%）"=0.99",即怒=100,

所以展）"=殿[=叽则〃=题对。。,

联」U—?—.230’

所以101lgioi-lg992.0043-1.9956天.

S99"

故选：B

5.A

【分析】先根据命题PM的真假性求出，的范围，化简命题PM,再根据充分性和必要性的

概念求解即可.

【详解】因为P：实数，使得‘叼/£尺年+2/+。=0”为真命题,

所以f+2x+a=0有解，所以A=4—4a》0,解得

即p:Q41；

因为4：实数。使得“依e[0,+力）,2'-。＞0”为真命题，

所以7》6[0,+力）,2，＞。，由指数函数的图象和性质可得。＜1,

即q:av1,

所以q,qop,即P是4的必要不充分条件，

故选：A

6.C

【分析】由函数奇偶性，确定/'（X）为周期函数，再结合/（-1）=0,求得即可求解.

【详解】因为/（2x-l）为奇函数，所以〃x）关于点（TO）中心对称,

又〃x+l）为偶函数，所以关于直线尤=1对称，

所以“X）为周期函数且周期T=4X”（_1）|=8,

）（2025）=/（8x253+l）=/⑴=a+l,=—＜7+1=0,a=1,

/（2025）=a+l=2.

故选:C.

答案第2页，共14页

7.D

【分析】求出函数/(x)的导数「(x),再求出了'(X)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧

的函数值左负右正的。值范围.

【详解】函数/(无)=3尤2-21皿+(。-1)尤+3,求导得广(x)=6-+q_]=6厂+①-l)x-2,

XX

由/(x)=3x2-21nx+(a-l)x+3在区间(1,2)上有最小值，

得了'(尤)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

令//("=6了2+5-1卜一2,/?(0)=-2<0,则/7(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的

函数值左负右正，

A=(a-l)2+4x6x2>0

因止匕，/?⑴=6+。-1-2<。，解得一10<a<—3,

/i(2)=6x4+2(cz-l)-2>0

所以实数。的取值范围是3.

故选：D

8.A

【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.

【详解】先作出“X)的大致图象，如下

令〃x)=r,则g(/)=)+a/+b=O,

根据/(X)的图象可知：要满足题意必须g⑺=o有两个不等根M2a<芍)，

且/("=%有两个整数根，“X)=2有三个整数根，

4

结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数y=t^y=%+—相切时符合题意,

x

因为X+=当且仅当x=2时取得等号，

X\X

答案第3页，共14页

又y=log2|^=log?(-/尤<0),易知其定义域内单调递减,

即/⑺=。=4,此时有两个整数根x=2或x=-16,

而要满足〃尤)=72有三个整数根，结合/(元)图象知必有一根小于2,

显然只有x=l符合题意，当尤=1时有/(1)=5,贝弧=5,

解方程x+d=5得马=5的另一个正根为x=4,

X

又log2(-x)=5=>%=-32,

此时五个整数根依次是x=-32,-16,1,2,4,

显然最大的根和最小的根和为4+(-32)=-28.

故选：A

9.BCD

【分析】根据奇函数定义及其导函数的性质进行判断即可.

【详解】由函数"x)=3号的定义域为卜8,一次)。卜次,+。)知，/⑺为非奇非偶函数，

因此A错误；

(x3+2)-x-3x22-2x3

又/(x)j(32—=/，令/'(x)=0,贝曝=1，

(%3+2)、(?「+2)

当无€卜8,-次)口卜啦,1)时，(0)>0,

因此/(X)在区间卜吸一次)和卜3,1)单调递增；

当xe(l,+8)时，f(%)<0,因此“X)在区间在区间(1,+8)内单调递减；

故/(x)在X=1处，取得极大值，因此BCD正确.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D,利用代入消元，借助二次函数求解.

【详解】对于A：£=(“+6)(."+.)2型支,当且仅当。=6=1时取

abababab

等号，正确；

答案第4页，共14页

对于B：因为Q+b=222V^,所以他当且仅当。=b=l时取等号

所以W+与="+/=6+6)(1一"+〃)>*=2_>2,当且仅当。=6=1时取等号，

°«a2b2a2b2-02bab一

正确；

对于C:a2+b2-ab=(a+b)2-Sab^(a+b)1==V当且仅当。=6=1时

取等号，错误；

D:因a+Z?=2Z?=2—a,以a?+/??+々人=〃2+(2—〃)+a(2—a)=〃2—2a+4

又0<a<2,所以〃2-2a+4=(〃-1)+3<4成立，正确

故选：ABD

11.BD

【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由广(元)之。恒成立判断B；由，(x)WO的解集

能否为R判断C；求出了(%)图象的对称中心判断D.

【详解】对于A,当。=一1时，f(x)=x3-x2-x-l,求导得/(%)=3%2-2%-1,

令r(x)=0得x=-g或x=l,由r(尤)>0,得无<—或X>1,由八元)<0,

111

得于是/(%)在(_8「/(1,+8)上单调递增，在上单调递减，

/(》)在》=-；处取得极大值/(-；)=一\一1+；-1<0,因此f(x)最多有一个零点，A错

'口

厌；

对于B,/(x)=3f一2x+a,当时，A=4-12a<0,即/'(x)20恒成立，

函数/(x)在R上单调递增，/(x)无极值点，B正确；

对于C,要使/(x)在R上是减函数，贝！|/0)=3尤2-2工+。(0恒成立，

而不等式3/—2彳+“40的解集不可能为凡C错误；

2222?58

对于D,由/(——x)+/(x)=(——x)3-(——x)2+a(——x)-l+x3-x2+ax-l=—a-----,

3333327

得〃x)图象对称中心坐标为D正确.

故选：BD

答案第5页，共14页

12.(0,2)

【分析】根据题意，得至!1一1和2是方程依2+(a+2)x+c=0的两个根，列出方程组，求得a,c

的值，得出函数y=J_d+2x，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由不等式依2+g+2)x+c>0的解集为{x|-l<x<2},

可得一1和2是方程依2+(a+2)x+c=0的两个根，且a<0,

1C4+2

-1+2=--------

则“，解得a=Tc=2,所以函数y=J—d+2x，

-1x2=-

、a

要使得函数y=J_d+2x有意义,贝I满足一k+2X20,

即X2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,

所以函数y=的定义域为(0,2).

故答案为：(0,2).

13.2

【分析】求出y=e，在x=。处的切线方程，设出y=ln(x+a)的切点联立方程组可解得a=2.

【详解】对于y=e，，易知y=e',切线斜率为无=e°=l,切点为(0,1);

则曲线y=e"在x=O处的切线为y=x+l,

显然g'(x)=三工■，设切点(x()』n(xo+a)),

=1fx=—1

由天+。,解得;0=2,

ln(x0+<2)=x0+lI

故答案为：2

14.1925

【分析】由条件等式变形为/(x+y)—5(x+y)2=/(x)—5f+/(y)—5y2,再构造函数

g(x)=/(x)-5Y,得至ijg(尤+y)=g(x)+g(y),并迭代得至iJg(")=w[/(l)-5],由此得到

/(n)=5n2+[/(l)-5]n>5«,并求和，利用放缩法，即可求解最小值.

答案第6页，共14页

【详解】因为〃x+y)=〃x)+/(y)+l。-,所以

/(x+y)-5(x+y)?=f(%)-5x2+f(y)-5^2,

设g(x)=f(x)—5f,那么g(x+y)=g(x)+g(y),

因此g(〃)=g(〃T)+g6=gGL2)+g6+g6=gGL2)+2g6

二…二8⑵+回/心⑴=咫⑴二注/⑴3],

因此/(")=5”2+[/(1)-5]71>5n,

10101010

取”=1,得到/⑴之5,所以X〃i)=5»2+"⑴一5]»25£产=1925,

1=14=1i=i4=1

10

所以E/(i)的最小值是1925.

Z=1

故答案为：1925

【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是通过构造得到g(x+y)=g(x)+g(y),关键二是

得到了(")的解析式，关键三是根据/⑴25,利用放缩法求和.

15.(1)4=〃+1

(2)1086

【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列｛厮｝的公差，从而求得通项公式.

（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前附项和公式求得副

【详解】（1）因为4,生，%成等比数列,

所以4=%•%，

因为｛即｝是各项均为正数，公差不为。的等差数列，设其公差为d,

a2=ax+d=3

所以2,

(q+2d)=q・(4+6d)

%=2

所以

d=\

所以=q+(〃一l)d=〃+l.

(2)设b=k>g3(4+l),所以。"=3"-1,

令”bW2022,且6为整数,

答案第7页，共14页

667

又由logs3=1,logs3=729,logs37=2187,log33<2022<log33,

所以方可以取1,2,3,4,5,6,

此时a„分别为31一1,3?-1,33-1,34-1,35-1,36-1,

所以区间［1,2024］内所有“调和数”之和

123456

Tn=（3-1）+（3-1）+（3-1）+（3-l）+（3-1）+（3-1）

=（31+32+33+34+35+36）-6

=1086.

16.(l)y=-*尤2+100(04x450)

1,

(2)S=——无3+10030W50.

50

⑶点。在曲线段上且到OB的距离为迎1米时，游乐场的面积最大.

2

【分析】(1)先以。为坐标原点，。4、。3所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

然后根据题意求解析式即可；

(2)分别求出。在不同线段的解析式，然后计算面积；

(3)在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定。的

位置.

【详解】(1)以0为坐标原点，0A,08所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,

如图所示,则4(100,0),5(0,100),C(50,50),

设曲线BC所在的抛物线方程为丁=依2+/点B,C在抛物线上,

答案第8页，共14页

fc=100

则1解得a=—c=100,

[2500。+。=50

所以曲线段5C所在的抛物线方程为y=-'炉+100(0«%<50).

(2)因为点。在曲线段BC上，\DF\=x,30<x<50,所以|DE|=—：f+ioo,

・，・S=/(%)—+100^=-+100x,30WxW50.

3

(3)Vf(x)=———x2+100,300x450,

v750

令-a*+ioo=o,解得工=土迎叵

503

所以尤e时，函数/'(尤)单调递增,

因此‘当x"时,师臀是极大值也是最大值,

即当点。在曲线段BC上且到02的距离为母米时，游乐场的面积最大.

3

17.(1)2

(2)|

【分析】(1)根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可;

(2)先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知

等式求值即可.

【详解】(1)/(X)=log,-log21=(log2x-2)•(log2x-1)

2

=(log2x)-31og2x+2,

•.•1<X<4,---0<log2x<2,

.•.当log2X=0,即x=l时，f(l)=2,当log2》=2,即x=4时，/(4)=。,

・•・当x=l时，〃x)的最大值为2.

(2)由〃x)<。，1<log2%<2,

答案第9页，共14页

即2W4,A=[2,4],

设/=2，+2-3则当无目0』，2'e[l,2],te2,1,

且（力=41+4-_0.2》_々.2—+1=（2%+2-）2_《2》+2-）_]="_小_1,

设ZZ(7)=，2-at-1,

由题意，A=[2,4]是当fe2,|时，函数人⑴的值域的子集.

①当^W2,即a<4时，函数〃«)在2,|上单调递增，

'/?.（2）=3-2«<2,

②当即a1时，函数/z⑺在2,|上单调递减，

7(2)=3-2a24,

则215。不等式组无解.

n\—=--------a<2,

〔⑶42

③当2<：<。即4<a<5时，函数恤)在卜父上单调递减，上,上单调递增，

则函数〃⑺的最大值是旗2)与的较大者.

令/《2)=3-2aN4,得aV-；,

令”住]=4■-11,得aS、均不合题意.

1^2)422

综上所述，实数。的值为1.

2

【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为4=[2,4]是

〃«)=『-0-1的值域的子集，从而得解.

18.(l)a=—；

(2)答案见解析；

⑶[L+OO).

【分析】(1)利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得a的值;

(2)先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；

答案第10页，共14页

（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0,求得。的取值范围;

【详解】（1）函数的定义域为（T田）,

r（x）=+1--j-5—

因为函数“X）在X=3处的切线与无轴平行,

所以「（3）=-3。+1-占=0,解得〃=

（2）函数的定义域为

r（x）=s+i，="（i+x）+i+ix（\-a-ax）

v71+x1+x1+x

令〃尤）=。得%=0或X,=^—^=--1,

aa

所以当工-1<0,即a>l时，

a

r（x）>o的解集为Q-i,o）,r（x）<o的解集为（_弓t）u（o,+动,

所以函数“X）在区间-1]和（0,+8）上严格减，在区间1-1,0）上严格增，

x=0是函数〃x）的极大值点，x=^-l是函数〃x）的极小值点；

a

当：-1=0,即“=1时，/'（x）<0在区间（-1,小）上恒成立，此时函数“X）在区间

上严格减，无极值点;

当—1>0,即0<a<l时，

a

r（xAo的解集为-1[,/a）<o的解集为（-1,o）u.-1,,

所以函数“X）在区间（T0）和1T+J上严格减，在区间（0,：-1J上严格增，

尤=0是函数的极小值点，x=L-l是函数f（x）的极大值点；

a

综上，当。>1时，x=0是函数”力的极大值点，元=工-1是函数“X）的极小值点;

当a=l时，函数〃尤）在区间（T+8）上严格减，无极值点;

当0<a<l时，x=0是函数“X）的极小值点，尤=^-1是函数〃尤）的极大值点.

a

（3）由（2）知，当0<。<1时，函数f（x）在区间上严格减，

答案第11页，共14页

在区间上严格增，故函数“X）在［0,+8）上的最大值是卜/⑼=0,

与已知矛盾;

当4=1时，函数“X）在区间［0,e）上严格减，最大值〃"皿=〃0）=0,满足条件;

当a>l时，函数“X）在区间［。，―）上严格减，最大值是/'（x）1mx=/（0）=0,满足条件;

综上，a的取值范围是［L”）.

尤，或x-\x=2

19.(1)y=3或

y=2y=4

（2）65

⑶*-2%+8

（8

【分析】（1）利用“u-数列”的定义，得到关于工»的不等式组，列出所有满足条件X,v即

可得解；

（2）利用“U-数列”的定义，推得为2M+1,进而得到;（〃-1）.（“-2）m2017-1,解得

-62<n<65；再取2=1-1（14注64）,推得〃=65符合题意,由此得解；

（3）利用“U-数列”的定义，结合（2）中结论推得M/；一?。+8；再取特殊例子证得

用=为-2%+8成立,从而得解.

8

【详解】（1）依题意，因为数列1