2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数学案含解析新人教A版选修1-1

PAGE3.3.3函数的最大(小)值与导数内容标准学科素养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区分与联系．2.会求某闭区间上函数的最值.利用直观抽象提升数学运算和逻辑推理授课提示：对应学生用书第68页[基础相识]学问点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值eq\a\vs4\al(预习教材P96－98，思索并完成以下问题)极值反映的是函数在某一点旁边的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，假如x0是f(x)的极大(小)值点，那么在点x0旁边找不到比f(x0)更大(或更小)的值．但是，在解决实际问题或探讨函数的性质时，我们往往更关切函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如何求函数的最值呢？如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．(1)视察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、微小值．(2)结合图象推断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？(3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值肯定是某极值吗？提示：(1)极大值为f(x1)，f(x3)，微小值为f(x2)，f(x4)．(2)存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．(3)不肯定，也可能是区间端点的函数值．学问梳理函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连绵不断的曲线，则该函数在[a，b]上肯定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．学问点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤学问梳理(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)求函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．学问点三最值与极值的区分与联系eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)极值是对某一点旁边(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．求函数f(x)的极大(小)值，最大(小)值在什么位置取到？提示：明显f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为微小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．[自我检测]1．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋eq\f(1,e) B．1C．e－1 D．e＋1答案：C2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值答案：D授课提示：对应学生用书第69页探究一求函数的最值[阅读教材P97例5]求函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4在[0,3]上的最大值与最小值．题型：利用导数求函数的最值．方法步骤：①先求导．②求函数在(0,3)上的极值．③将函数的极值和端点处的函数值比较，得出最大值与最小值．[例1]求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－eq\r(3)，3]；(2)f(x)＝x2－eq\f(54,x)(x<0)．[解析](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x－eq\r(3)(－eq\r(3)，－1)－1(－1,1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－f(x)0微小值极大值－18所以x＝1和x＝－1是函数在[－eq\r(3)，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18.所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋eq\f(54,x2).令f′(x)＝0得x＝－3.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)微小值所以x＝－3时，f(x)取得微小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．方法技巧1.求函数的最值，明显求极值是关键的一步．若仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得：(1)求出导数为零的点．(2)比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．2．若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪探究1.求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37极大值3微小值－535∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37，即f(x)的最大值为35，最小值为－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)min＝－12；x＝1时，f(x)max＝2；即f(x)的最小值为－12，最大值为2.探究二含参数的函数的最值问题[例2]已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．[解析](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)<0，得x<－1或x>3，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在[－1,3]上f′(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(－1)是f(x)的最小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.[例3]已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解析](1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x改变时，f(x)与f′(x)的改变状况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.方法技巧求解含参数函数的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时依据参数的范围，推断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；(3)依据参数的取值范围，确定函数的极大值、微小值；(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．跟踪探究2.设函数f(x)＝aex＋eq\f(1,aex)＋b(a>0)，求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．解析：f′(x)＝aex－eq\f(1,aex)，令f′(x)＝0，得x＝－lna.当x>－lna时，f′(x)>0；当x<－lna时，f′(x)<0.当0<a<1时，－lna>0，所以f(x)在(0，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；当a≥1时，－lna≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋eq\f(1,a)＋b.探究三函数最值的应用[教材P99习题3.3B组1(4)题]证明不等式lnx<x<ex(x>0)．证明：令f(x)＝lnx－x(x>0)，g(x)＝x－ex(x>0)，∵f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，g′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0，g′(x)＝0，得x＝1，x＝0，∴当0<x<1时f′(x)>0，x>1时f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，∴f(x)≤f(1)＝－1<0，∴lnx<x，当x>0时g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)是减函数，∴g(x)<g(0)＝－1<0，∴x<ex，综上，x>0时，lnx<x<ex.[例4]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围[解析](1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e).(2)2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x>0)，则h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，①x∈(0,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减；②x∈(1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．方法技巧1.利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式转化成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用导数求出函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．2．不等式恒成立求参数问题的求解策略对于依据不等式恒成立求参数的问题，可采纳分别参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min，即可求出参数m的取值范围．跟踪探究3.设f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx.求证：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．证明：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)＝eq\f(x－12,x2)≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立．4．设函数f(x)＝xex－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)x＋1))＋2.(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．解析：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1))＋2＝xex－eq\f(1,2)x2－x＋2，∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－1<x<0时，f′(x)<0；当x<－1或x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．(2)由f(x)≥x2－x＋2，得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(a＋2,2)x))≥0，当x＝0时，明显成立；当x>0时，即eq\f(ex,x)≥eq\f(a＋2,2)恒成立．记g(x)＝eq\f(ex,x)，则g′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)是减函数，当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴eq\f(a＋2,2)≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．授课提示：对应学生用书第70页[课后小结](1)求函数的最值时，应留意以下几点：①函数的极值是在局部范围内探讨问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内探讨问题，是一个整体性的概念．②闭区间[a，b]上的连续函数肯定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不肯定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．③函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(微小值)不肯定就是最大值(最小值)．(2)求含参数的函数最值，可分类探讨求解．(3)“恒成立”问题可转化为函数最值问题．[素养培优]1．把极值当做最值致误已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝eq\f(2,3)处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式．(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最值．易错分析没有比较端点函数值与极值的大小，错误地认为极值就是最值．考查逻辑推理及数学运算的学科素养．自我订正(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝eq\f(2,3)处取得极值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得a＝－2，b＝－4.所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在eq\b\l