人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 1 2　全概率公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.1.2全概率公式学习目标1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求)．知识点一全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．*知识点二贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.1．若P(A)>0，P(eq\x\to(A))>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．(√)2．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(×)一、两个事件的全概率问题例1某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝eq\f(5,8)，P(A2)＝eq\f(3,8)，且P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3).由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq\f(5,8)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).反思感悟两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与eq\x\to(A))．(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．跟踪训练1某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．解记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，(1)由题意，得P(A)＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(7,125).(2)P(A)＝eq\f(30×100,30×100＋20×120)＝eq\f(5,9)，P(B)＝eq\f(20×120,30×100＋20×120)＝eq\f(4,9)，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,9)×eq\f(6,100)＋eq\f(4,9)×eq\f(5,100)＝eq\f(1,18).二、多个事件的全概率问题例2假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．解用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.反思感悟“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．跟踪训练2甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，这2个产品都是次品的事件数为Ceq\o\al(2,3)＝3，∴这2个产品都是次品的概率为eq\f(3,28).(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).三、条件概率在生产生活中的应用例3设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件．(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．解记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%.(1)由全概率公式得P(B)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)＝eq\f(18,35).反思感悟条件概率的内含(1)公式P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,PB)反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重．跟踪训练3同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得P(A)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(0.2×0.95,0.86)＝eq\f(19,86)，P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)＝eq\f(0.3×0.9,0.86)＝eq\f(27,86)，P(B3|A)＝eq\f(PB3PA|B3,PA)＝eq\f(0.5×0.8,0.86)＝eq\f(40,86).由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．1．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,9)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)〖答案〗C〖解析〗记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))，由题设易知P(A)＝eq\f(3,10)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(7,10)，P(B|A)＝eq\f(2,9)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,9)，于是P(B)＝eq\f(3,10)×eq\f(2,9)＋eq\f(7,10)×eq\f(3,9)＝eq\f(3,10).2．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是()A.eq\f(2,75)B.eq\f(7,300)C.eq\f(73,75)D.eq\f(973,1000)〖答案〗C〖解析〗设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝“任意取出一个零件是合格品”．则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，∴P(B)＝eq\i\su(i＝1,2,P)(Ai)P(B|Ai)＝eq\f(2,3)(1－0.03)＋eq\f(1,3)(1－0.02)＝eq\f(292,300)＝eq\f(73,75).3．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是()A．0.013B．0.04C．0.002D．0.003〖答案〗A〖解析〗设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.4．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．〖答案〗eq\f(13,25)〖解析〗设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))·eq\f(4,10)＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(1,2)＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))·eq\f(6,10)＝eq\f(13,25).5．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占