高考数学二轮复习：函数的极值、最值-学案讲义

第4讲函数的极值、最值

［考情分析］利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考

查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.

考点一利用导数研究函数的极值

【核心提炼】

判断函数的极值点，主要有两点

(1)导函数(X)的变号零点，即为函数/U)的极值点.

(2)利用函数式x)的单调性可得函数的极值点.

例1(2023•全国乙卷)已知函数八x)=g+a)ln(l+x).

(1)当a=—1时，求曲线y=/(x)在点(1,式1))处的切线方程；

(2)是否存在0,6,使得曲线＞=/©)关于直线尤=b对称，若存在，求。，6的值，若不存在,

说明理由；

(3)若五功在(0,+8)上存在极值，求。的取值范围.

解(1)当a=-l时，犬x)=g—l)n(x+l),

则/(x)=—5n(x+l)+g—1)由，

据此可得八1)=0,f(l)=-ln2,

所以函数在(1,犬1))处的切线方程为y—0=—ln2(x—1),

即(In2)x+y—In2=0.

⑵由函数的解析式可得/6)=。+4)皿&+1),

令w(x)=(x+＜2)ln^+1^,

1v-j—1

函数〃⑴的定义域满足;+1=丁＞0,

即函数的定义域为(一8,—l)U(0,+°°),

定义域关于直线尸一;对称，由题意可得/?=—

由对称性可知

3

取机=］可得〃(1)=〃(一2),

即(〃+l)ln2=(〃-2)ln^=(2—tz)ln2,

则a+l=2—〃，解得〃=；,

经检验，〃=；,b=-3满足题意，

故存在〃=3，b=-3满足题意.

(3)由题意知，(%)

=卞ln(x+l)

令h(x)=ln(x+1)—x+]

则M0)=0,

X(4x+2〃-1)

h，a尸—a+i)2

当〃三3时，今a)<o在(o,+8)上恒成立，

故/z(x)在(0,+8)上单调递减，

所以力(%)<%(0)=。即/。)>0,

所以兀¥)在(0,+8)上不存在极值；

当aWO时，/。)>0在(0,+8)上恒成立,

故力(%)在(0,+8)上单调递增,

所以力。)>%(0)=0,即/(冗)<0,

所以五元)在(0,+8)上不存在极值；

当时，力'(X)在(。，十一2)上大于0,

故〃(x)在(0,5一2)上单调递增，

且2Mo)=0,

又r(x)=—yln(x+l)

tzx+lln(x+l)

x(x~\-1)f

ln(x+l)

>x(x+l)x2

ax~1n(x+l)

=?，

令g(x)=—ln(x+1),

则当X—+8时，g(%)f+8,

故必存在孙£(0,+8),使得g(xo)>O,

所以/(%。)>0，

由零点存在定理知符合题意.

综上，a的取值范围为(0,g.

易错提醒(1)不能忽略函数的定义域.

(2斤(xo)=O是可导函数兀0在x=xo处取得极值的必要不充分条件，即(x)的变号零点才

是兀c)的极值点，所以判断兀0的极值点时，除了找，(x)=0的实数根xo外，还需判断其龙)

在xo左侧和右侧的单调性.

(3)函数的极小值不一定比极大值小.

跟踪演练1(多选X2023・临沂模拟)已知函数加)=2^—渥+2存在两个极值点尤i,x2(xi<x2),

则以下结论正确的为()

A.0<a<e

B.0<xi<l<X2

C.若X2=2X”则〃=21n2

D.Inx\+%2>0

答案BD

解析由题可得，(x)=2e*—2ax,令f'(x)—0,

即ex—ax=0,显然xWO,

若方程有两个不相等的实数根Xl,X2(X1<X2),

则方程。=£有两个不相等的实数根不，X2(X1<X2),

即g(x)=£的图象与直线y=a有两个交点，且横坐标分别为Xi,X2(X1<%2),

ep-l)

又g'(尤)=x2

所以由g'(x)<0可得xG(—8,O)U(O,1),由g'(无)>0可得尤G(l,+8),

所以g(x)在(一8,0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

且当x<0时，g(x)<0；当无>0时，ga)>O.g(尤)图象如图所示.

对于A,要使函数加)=2e%一加+2存在两个极值点％i,X2(xi<X2),则〃>g(l)=e,A错误;

对于B,当公e时，易知0<即<1<%2,B正确；

对于C,若％2=2为，

%x22%

ln22

得Xi=ln2,故"=]en2=]n2'C错误;

X1e^2

对于D,因为—e=---,

%X2

所以xie巧又0<xi〈l,

所以e*>l,x2>l,所以ee国>1,

故所以lnxi+x2>0,D正确.

考点二利用导数研究函数的最值

r核心提炼、

1.求函数“X)在山，切上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,b)内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值五a),fib).

(3)将函数的各极值与八。)，八匕)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函

数的最值.

b

例2(1)(2022•全国甲卷)当x=l时，函数yU)=alnx+嚏取得最大值一2,则/''(2)等于()

A.l1B.—2C，2D.1

答案B

解析因为函数/(x)的定义域为(0,+°°),

尸尸一2,

所以依题意可知V(1)=0,

h&/、ab

而fW=--^2,

b=-2,a=-2

所以即

a—b—G,b=~2

所以/(x)=—1+［，

因此函数«r)在(0,1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减，

当x=l时取最大值，满足题意.

所以/(2)=—1+；=一/

⑵(2023•抚州模拟)已知函数於)=e*—2无，g(x)=-x,且兀ri)=g(X2),则XL尬的最小值为

()

A.1B.eC.l-ln2D.2-ln2

答案A

解析由/Ui)=g(X2),得e』一2的=一尤2,

化简整理得XI—X2=e』一X1,

因为g(x)的值域，f(x),g(x)的定义域均为R,

所以为的取值范围也是R,

令/i(尤)=ex—x(xeR),h'(尤)=eY—1,

令e*—1=0,解得尤=0.

当xe(—8,0)时，h'(x)<0,即/z(x)在(一8,0)上单调递减；

当xe(0,+8)时，h'(x)>o,即/i(x)在(0,+8)上单调递增，

所以/?(X)min=/2(0)=1,故(/一X2)min=L

易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.

(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性

和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.

跟踪演练2(1)(2023•葫芦岛模拟)函数7U)=cos尤+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］上的最大值为

()

A.—B.2

C.-咨D.^+2

答案D

解析f(x)=(x+l)cosx,当0,0时，

f(x)>0,段)单调递增;

当天若，，(x)<。，於)单调递减；

当2兀时，f(x)>0,式x)单调递增，

/e)=升2,除i)=2,

・••yU)max=/&=W+2.

(2)(2023・宝鸡模拟)函数“xOnV+g—Dx—Bln尤在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为

答案(V2)

一3

解析f(%)—2x+(tz—1)——

2f+(a-l)x-3

=x'

设g(x)=2A^+(a—1)x—3,因为J=(tz—1)2+24>0,因此g(x)=O有两个不相等的实数根,

又g(0)=—3<0,因此g(x)=O的两根一正一负，

由题意正根在(1,2)内，

所“g(l)=2+(a-1)-3<。’

〔g(2)=8+2(a—1)—3>0,

3

解得一

考点三极值、最值的简单应用

例3(2023•杭州模拟)已知函数危)=〃x2—2x+lnx有两个不同的极值点卬如若不等式加i)

恒成立，则实数/的最小值为.

答案一3

解析由j[x)=ax1—2x+lnx(x>0),

,12加—2x+l

付/(x)=2ax—2+-=-(x>0),

若函数人次)=加一2x+lnx有两个不同的极值点修，X2,

则方程2加-2x+l=0有两个不相等的正实根，

〃4=4-8。>0,

为+刀2=(>0,

所以〈

“1"2=五>0,

解得0<a<1,

所以#xi）+黄%2）=渥一2xi+lnxi+aji—2x2+InX2

=a[（xi+愈）2—2x1x2]一2（xi+%2）+InX1X2

=­~a-]-In2〃，

令/i（a）=—~—1—In

ii,1—a

贝11h（〃）=7~>0,

所以/?（°）=一5一l—ln2a在（0,上单调递增，

所以/z（a）</7@=-3,

所以」》一3.

故实数/的最小值为一3.

易错提醒方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式

两边符号变化以及除数不能等于0,易忽视.

跟踪演练3（多选）（2023・福州模拟）已知函数危尸哥,以下结论正确的是（）

A.y（x）是偶函数

B.尤=0是兀0的极值点

C.八尤）的最小值为一*;•

D.八尤）的最大值为1

答案ABD

解析人-X）=（学）逐=器=於）,.\Ax）为偶函数，A正确；

.T“尸’—few一，

：.f'（0）=0,又7U）为偶函数，故x=0为人尤）的极值点，B正确；

：的尸篙=一“,且/⑺=1*。，

.•.尤=71不是式尤）的极值点，故近兀）不是式X）的最小值，C错误；

又一IWcosxWl,f+121,则当cosx=l,炉+1=1,即％=0时，«x）最大值为1,D正确.

专题强化练

一、单项选择题

1.下列函数中，不存在极值的是（）

A.y=%+:B.y=xex

C.y=xlnxD.y=_3x3-3X2-x

答案D

解析显然A,B,C中的函数存在极值.

对于D,函数y=—

则y'——9A2—6x—1=—（3x+1）2^0,

所以函数y=一3必一3f—x在R上是减函数，没有极值点.

2.（2023・西宁模拟）函数八无）=/£在[2,+8）上的最小值为（）

巳3e?

A.-7-B.e2C.~rD.2e

o4

答案A

解析依题意，（X）=（.f3）2（x2—2x—3）=（x213）2（x—3）（x+l），故函数在区间（2,3）上单调递

减，在区间（3,+8）上单调递增，故函数在x=3处取得极小值也是最小值，且最小值为犬3）

e3e3

=32-3=-6-

3.（2023•哈尔滨模拟）若函数在无=2处取得极值1,则.一6等于（）

A.-4B.-3C.-2D.2

答案D

解析由题意，xdR,

在/iXluani+SV+b中，f'（尤）=3加+6无，

在x=2处取得极值1,

.p（2）=8a+3X4+6=l,

"\f（2）=3X4a+6X2=0,

\a=-1,

解得，、经检验满足题意，

[b=~3,

•\a-b=-1—（—3）—2.

4.（2023•全国乙卷）函数人无）=/+"+2存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.（―°°,—2）B.（―°°,—3）

C.（-4,-1）D.（-3,0）

解析fix）=x^+ax+29

则,a）=3%2+〃，

若於）存在3个零点,

则兀0要存在极大值和极小值，则QVO，

令/（x）=3x1+a=0,

解得x=一或

且当8,一^+8）时，/（X）

>0,

当xj—E，退时，/（次。，

故式X）的极大值为了（—、后可，

极小值为了卜

若ZU）存在3个零点，

3\^-CAJ^+2>0'

即《,—.—解得"一3.

〔力亍+勺亍+2<°，

Y

5.（2023・武汉模拟）已知函数於）=e，一1一b,VxGR,都有八x）的最小值为0,则02b的最小

值为（）

A」Rl

A-e2Be2

22

C'D苦

答案A

解析f（x）=eA-^,

若。<0,则/（尤）>0,

此时/U）为R上的增函数,

."（X）无最小值,故a>0,

令/(x)=0,得x=ln!=—Ino,

・••当x£(—8,—ln〃)时，f'(x)<0,

当工£(—ln〃，+8)时，/(x)>0,

在(一8,—Ino)上单调递减，在(Tno,+8)上单调递增,

•\/(X)min=y(_ln。)=/瓜。+乎一6

1Ana

b=0,

.IJna

..b7=~+-----

aa

a2b=a-\-alna,

令g(a)=a+aina(a>0),

gr(a)=l+l+ln〃=2+ln

当〃£(0,晨2)时，g'(〃)<0,

当〃£仁一2,+8)时，g'(〃)>(),

.,.g(Q)在(0,e—2)上单调递减，在化一2,+8)上单调递增,

**•g(〃)min=g(e-2)=e-2+e-2-(—2)

-21

—e2=_0

6.(2023•聊城模拟)已知函数段)=制一"3>0且启1)有一个极大值点xi和一个极小值点

%2，且X1<X2，则〃的取值范围为()

B.61

C.(1,e)D.(e,+°°)

答案B

解析由题意知，当工£(—8,为)时，f'(x)>o,

又/(x)=ex—(f\na,当〃>1时,若x<0,ex<0,—t/ln^<0,所以/(x)<0,

矛盾，故0VQV1,

由/(x)=ex—"lnQ=。有两个不同实数根可知丁=6，y=〃qn〃有两个不同交点,

设过原点与y="ln〃相切的直线为/,切点为(xo,Ina),

因为y，=11?〃.办，

-9Ina-Q

所以k=\^a-r—---------------

5—o

解得沏=6,

1

即女=11?〃.aXna=eln2«,如图,

所以y=ex与y=ax\na有两个不同交点则需e>eln2tz,解得

又0<4<1,所以此时满足极大值点为沏，极小值点为X2,且羽<也

二、多项选择题

卜c

7.(2023•新高考全国H)若函数«r)=Qln%+1+?3W0)既有极大值也有极小值，贝女)

A.bc>0B.ab>0

C.b2+Sac>0D.ac<0

答案BCD

hc

解析函数/(x)=Hnx+(+8的定义域为(0,+°°),

_ab_2caf—bx—2c

则/（'）一xx2x3-x3

因为函数危)既有极大值也有极小值，

则函数/(x)在(0,+8)上有两个变号零点，而qWO,

因此方程a2—bx—2c=4有两个不相等的正实数根xi,必,

<J=/72+8«c>0,

,b八

-r.日Xl十万2c>。，

Ta

2c八

X\X2=——>0,

2

即有b+Sac>0tab>0,ac<09

显然/bcvo,gpbc<0,故A错误，B,C,D正确.

8.已知函数«r)=ln(e3x+l)+Qx(〃£R),下列说法正确的是()

3

A.若y="x)是偶函数，则〃=一］

B.若y=«x)是偶函数，则〃=—3

C.若〃=—2,函数存在最小值

D.若函数存在极值，则实数〃的取值范围是(一3,0)

答案ACD

解析对于A,B,函数的定义域为R,

且八一龙)=黄幻，

则ln(e-3x+1)+6/(—x)=ln(e3^+1)+ax,

me3x+l

则1匕3%+1=—2〃x,

则Ine3*=—2ax,则3x=—lax恒成立，

3

故〃=-],所以A正确，B错误；

对于C,当a=~2时，

fix)=ln(e3x+1)—2x,

3e3x3

可得/(光)=03%+]-2=1一.31+],

令/(x)=0,即1—£壬=0,解得x=竽，

所以当xC(—8,竽)时，，(x)<0,式X)单调递减,

当xd得2,+8)时，/(x)>0,/(x)单调递增，

所以於)min=/■?宇)，所以C正确；

3

对于D,f(X)=(3+G)-^Y，

因为y(x)存在极值，所以,(x)有零点，

3

令/(x)=0,即(3+a)—苫干=0,

则a工>0,即a(cz+3)<0,

解得一3<a<0,所以D正确.

三、填空题

9.(2023•北京朝阳区模拟)已知函数兀0=(/—3)—则人尤)的极小值点为

答案x=l

解析危)的定义域为R,

f'(x)=2xex+(x2—3)e-x

=(x2+2x-3)e%=(x+3)(x-l)e\

所以在(一8,—3)上,(尤)>0,危)单调递增，

在(―3,1)上/'(x)<0,段)单调递减,

在(1,+8)上/(x)>0,五x)单调递增，

所以/(X)的极小值点是x=1.

10.(2023・凉山模拟)已知函数人x)的导函数为g(x)=(x—l)(f—3x+a),若1不是函数兀c)的

极值点，则实数。的值为.

答案2

解析由题意可知/'(x)=g(x)=(尤一1)(/-3尤+“)，若1不是函数的极值点，

令/7(尤)=/-3x+a,力(1)=0,即1—3+a=00a=2,

当a=2时，f(x)=(无一1)(X2-3X+2)=(X—1)2(X-2),

故当x>2时，/(x)>0；当x<2时，/(x)W0,因此x=2是/(x)的极值点，1不是极值点，故

a=2满足题意.

11.(2023・泸州模拟)已知函数/(x)=xlnx+机砂有两个极值点，则m的取值范围是.

答案(T°)

解析由题意，令/(x)=l+lnx+机e%=0,

1—I-Inx

即一m=—有两个不相等的正实根，

1+Inx

所以y=一机与g(x)=一彳一在(0,+8)上有两个交点，

1—Inx

则/(x)=-—，

记/z(x)=：—lnx—1,则/?(x)在(0,+8)上单调递减，且/?(1)=0,

当xG(0,l］时/?(无)20,g'(x)20,

所以g(x)在(0,1］上单调递增；

当xd(l,+8)时以无)<0,g'(x)<0,

所以g(x)在(1,+8)上单调递减，

所以g(X)max=g(D=P，

当0时，g(x)——8;当％f+8时，

11］—|—1nx

综上，当0〈一根<［,即一［〈根<0时，y=一m与g(x)=―/—在(0,+8)上有两个交点，即

人元)有两个极值点.

12.(2023・江门模拟)已知/(x)=|lnx|,为，超是方程_/W=a(aGR)的两根，且无i<%2，则号的

11-^2

最大值是.

1

答案

e

解析由题意为，％2是方程|lnx|=a的两根，且Xi-,

则〃>0,Inxi=-a,\nx2=a,即为=e~",%2=e",

所以急=f=孤>0)，

人X,1—X

令g(无)=£(尤>0)，g

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当尤>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

则当x=l时，g(x)取最大值(

所以人的最大值七

四、解答题

13.(2023・西安模拟)已知函数犬x)=^+lnx,其中。为常数，e为自然对数的底数.

(1)当a=-1时，求兀r)的单调区间；

(2)若兀0在区间(0,e］上的最大值为2,求a的值.

解(1)函数式x)的定义域为(0,+8),

当a——l时，j{x}—\nx—x,

令/(尤)>0得，0<x<l；令/(x)<0得，x>l,

••・函数大划的单调递增区间为(0,1),

单调递减