2023年中考数学一轮复习专练：圆（解析版全国）

专题21圆

一、垂径定理及其应用

【高频考点精讲】

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2、垂径定理的推论

(1)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

【热点题型精练】

1.(2022•泸州中考)如图，43是的直径，0。垂直于弦AC于点£>,。。的延长线交O。于点E.若4。=4近,

DE=4,则BC的长是()

A.1B.V2C.2D.4

解：是。。的直径，

/.ZC=90°,

'：OD±AC,

...点。是AC的中点，

是△ABC的中位线，

AOD//BC,且0。=泓，

设0。=%,贝!jBC=2x,

・.・。旧=4,

：.AB=2OE=S-2x,

在RtZXABC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

：.(8-2无)2=(4V2)2+(2x)2,

解得尤=L

**•5C=2x=2.

答案：C.

2.（2022•云南中考）如图,已知48是。。的直径，CD是。0的弦，ABVCD,垂足为E.若AB=26,CD=24,

则/。CE的余弦值为（)

712713

A.—B.C.—D.

13131212

解：...AB是。。的直径,AB±CD,

1

：.CE=DE=芳£>=12,

•：AB=26,

/.OC=13.

CF12

cosZOCE=瓦=森.

答案：B.

3.（2022•荆门中考）如图,CD是圆。的弦，直径ABLCD,垂足为E,若A8=12,BE=3,则四边形AC8。的

面积为（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

解：如图，连接OC,

\'AB=n,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

'：AB±CD,

在RtZ\COE中，EC=VOC2-OF2=736-9=3V3,

:.CD=2CE=6®

[1

四边形ACBD的面积=^AB•CD=方x12x6^/3=36®

答案：A.

4.（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件

槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，

该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，AB

是O。的弦，。£＞切0。于点石,4。，。、2。，8,若8=16。加,4。=3。=4。小则这种铁球的直径为（）

(1)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

解：如图，连接。£,交AB于点R连接OA,

\'AC±CD,BDLCD,

J.AC//BD,

'：AC=BD=4cm,

四边形ACDB是平行四边形，

四边形AC£)B是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=l6cm,

：C£＞切0。于点E,

：.OE.LCD,

C.OELAB,

四边形£尸2。是矩形，AF=|AB=1xl6=8(cm),

EF=BD=4cm,

设。。的半径为-cm,贝!J=OF=OE-EF=(r-4)cm,

在RtZ\AO/中，OR2=A尸2+o产，

/.^=82+(”4)2,

解得：r=10,

，这种铁球的直径为20cm,

答案：C.

5.（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米，弓形高CD为2

厘米，则镜面半径为26厘米.

D

解：如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点C,点。，点。三点共线,

D

b

由题意可得：OC_L48,AC=^AB=10（厘米），

设镜面半径为x厘米，

由题意可得：102+（x-2）之，

**«x=26,

镜面半径为26厘米，

答案：26.

6.（2022•牡丹江中考）。。的直径CD=10,AB是。。的弦，ABLCD,垂足为M,OM-.0c=3：5,则AC的长

为4瓶或2小.

解：连接。1,

设OC=5x,OM=?>x,则。M=2x,

VCD=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

'CABLCD,

：.AM=BM^

在Rtz\OAM中，OA=5,

AM=VOX2—OM2=V52-32=4,

当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8,

在RtaACM中，AC=y/AM2+CM2=V42+82=4V5；

当如图2时，CAf=OC-0M=5-3=2,

在RtAACM中，AC=y/AM2+MC2=V42+22=2V5.

综上所述，AC的长为4A片或2曲.

答案：4遍或2时.

7.（2022•长沙中考）如图，A、B、C是。。上的点，0CLA8,垂足为点。，且。为。C的中点，若04=7,则

解：'：OA=OC=7,且。为OC的中点，

：.OD=CD,

,：OCLAB,

：.ZODA=ZCDB^90°,AD=BD,

在△40。和△BCO中，

0D=CD

Z.AD0=4BDC

AD=BD

：./\A0D^/\BCD（SAS）,

：.BC=OA=1.

答案：7.

8.（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高A8=20cm,底面直径8C=12cm球的最

高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

解：如图，设球心为。，过。作OM_LA£＞于连接。4,

由题意得：AD=12cm,OM=32-20-r=(12-r)(cm),

由垂径定理得：AM—DM—^AD=6(cm),

在RtZ\。4M中，由勾股定理得：AM2+OM2=OA2,

即62+(12-r)2=r,

解得：r=7.5,

即球的半径为7.5cm,

答案：7.5.

9.(2022•六盘水中考)群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天

大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示

意图.

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28加，洞高48约是12根，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮

洞像半个月亮，求半径OC的长(结果精确到0.1加)；

(2)若/COO=162。，点/在前上，求/CM。的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶

加上巡视时总能看清洞口CD的情况.

解：(1)设OA=OC=Rm,

VOAXCD,

1

CB=BD=^CD=14m,

在RtACOB中，OC2=OB2+CB2,

/./?2=142+(R-12)2,

0C=-g-«14.2m.

(2)补全。0,在CO的下方取一点N,连接CN,DN,CM,DM,

・・・NN=*CO£>=81°,

•・・NCMO+NN=180°,

：.ZCMD=99°.

•：ZCMD=99°不变，是定值，

“齐天大圣”点M在洞顶加上巡视时总能看清洞口C。的情况.

二、圆周角定理

【高频考点精讲】

1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。

【热点题型精练】

10.（2022•营口中考）如图，点A,B,C,。在上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,则BC的长为（）

A.4V3B.8C.4V2D.4

解：连接AB,如图所示,

/.ZACB=90°.

VZADC=30°,

Z.ZABC=ZADC=30°.

・••在RtZXABC中，

AC

tanZABC=阮，

,BC="C

*c-tanZ-ABC'

'：AC=4,

4r-

BC=--=4A/3.

tan30

答案：A.

11.（2022•包头中考）如图，AB,8是。0的两条直径，E是劣弧曲的中点，连接3C,DE.若NA5C=22°,

则NCI出的度数为（）

VOC=OB,ZABC=22°,

：.ZOCB=ZABC=22°,

AZBOC=180°-22°X2=136°,

•・・£是劣弧况的中点，

：.CE=BE,

1

・・・NCOE=/136。=68°,

ii

由圆周角定理得：ZCDE=^ZCOE=x68°=34°,

答案：C.

12.（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于。0,ZC=46°,连接04,贝！JNO45=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

解：如图，连接。以

VZC=46°,

ZAOB=2ZC=92°,

*：OA=OB,

1800-92°

：

.ZOAB=2=44°.

答案：A.

13.（2022•巴中中考）如图，A5为。。的直径，弦交于点E,BC=BD,/CDB=30°，AC=2V3,贝lj

C.1D.2

解：如图，连接BC,

D

为OO的直径，BC=BD,

：.AB±CD,

,：ZBAC=ZCDB=30o,AC=2V3,

AE=AC9cosZBAC=3,

・・・A3为。。的直径，

ZACB=90°,

：.OA=2,

：.OE=AE-04=1.

答案：c.

14.（2022•襄阳中考）已知OO的直径AB长为2,弦AC长为企，那么弦AC所对的圆周角的度数等于45°或

D'

'：OA=OC=l,AC=V2,

：.OA2+OC2=AC2,

：.ZAOC=90°,

：.ZADC=45°,

/.ZAD'C=135°,

答案：45°或135°.

15.（2022•日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测

-13

量，测得A8=12on,BC=5cm,则圆形镜面的半径为一cm.

-2------

BL--

解：连接AC,

BL------

,：ZABC=90°,且/ABC是圆周角，

.'.AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=V122+52=13（cm）,

13

所以圆形镜面的半径为万皿

答案：一cm.

2

16.（2022•永州中考）如图，A8是。O的直径，点。、。在。。上，ZADC=30°,贝州0度.

解：・・・NAOC是死所对的圆周角，

/.ZAOC=2ZADC=2X30°=60°,

：.ZBOC=1SO°-ZAOC=1SO°-60°=120°.

答案：120.

17.（2022•苏州中考）如图，是。。的直径，弦。。交于点E,连接AC,AD.若N5AC=28°,则NZ）=

D

：AB是直径,

AZACB=90°,

AZABC=90°-ZCAB=62°,

-NABC=62°,

答案：62.

18.（2022•南通中考）如图，四边形ABC。内接于O。，8。为。。的直径，AC平分NA4D,CD=2五，点、E在

8c的延长线上，连接。E.

（1）求直径2。的长；

（2）若BE=5a,计算图中阴影部分的面积.

解：（1）为。。的直径，

：.ZBCD=ZDCE=9QQ,

平分/BAD,

：.ZBAC=ZDAC,

:.BC=DC=2五,

：.BD=2yl2XV2=4；

（2）,:BE=5五,

:.CE=30,

'JBC^DC,

.,.S阴影=&\CDE=2x2/x3V2=6.

三、圆内接四边形的性质

【高频考点精讲】

1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

【热点题型精练】

19.（2022•淮安中考）如图，四边形A8CZ）是。。的内接四边形，若NAOC=160°,则NA2C的度数是（）

D

100°C.140°D.160°

解：VZAOC=160°，

/.ZADC=^1ZAOC=80°,

・・•四边形ABC。是。0的内接四边形,

：.ZABC=180°-ZA£)C=180°-80°=100°,

答案：B.

20.（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在。O上，边A3、AC与。。分别交于点。、E,点、F是劣

弧万&上一点，且与。、E不重合，连接。REF,则/的度数为（）

B.118°C.120°D.125°

解：四边形EEOA是OO内接四边形,

：.ZEFD+ZA=180°,

・・•等边△ABC的顶点A在。。上,

ZA=60°,

：.ZEFD=nO°,

答案：c.

21.（2022•锦州中考）如图，四边形A8CQ内接于A3为。。的直径，ZAZ）C=130°,连接AC,则ZBAC

的度数为40°

解：•.,四边形ABC。内接于OO,ZADC=130°,

.,.ZB=1800-ZADC=180°-130°=50°,

,：AB为O。的直径，

AZACB=90°,

：.ZCAB^90°-/B=90°-50°=40°,

答案：40°.

22.（2022•甘肃中考）如图，O。是四边形ABC。的外接圆，若/A8C=110°,则NAZ）C=70

解：：四边形ABCD内接于。0,ZABC=110°,

AZA£)C=180°-ZABC=180°-110°=70°,

答案：70.

23.(2022•威海中考)如图，四边形A8CO是。。的内接四边形，连接4C,BD,延长CO至点E.

(1)若A8=AC,求证：ZADB=ZADE；

(2)若BC=3,O。的半径为2,求sin/BAC.

(1)证明：•.,四边形A8CQ是。。的内接四边形,

ZADE=ZABC,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

:ZACB^ZADB,

：.NADB=/ADE；

(2)解：连接CO并延长交。。于点孔连接B凡

A

E

则/尸BC=90°,

在RtZ\2CP中，CP=4,BC=3,

.,.sinF=^=1,

/F=ABAC,

3

sinZBAC=彳.

4

四、三角形的外接圆与外心

【高频考点精讲】

1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。

2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。

3、注意事项

（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角

形的外部。

（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三

角形却有无数个。

【热点题型精练】

24.（2022•梧州中考）如图，。。是△ABC的外接圆，且AB=AC,ZBAC=36°,在瓶上取点。（不与点A,B

重合），连接B。，AD,则NBAD+ZABD的度数是（）

解：'：AB=AC,ZBAC=36°,

：.ZABC=ZC=72°,

,/四边形AOBC是圆内接四边形,

.,.ZZ)+ZC=18O0,

AZ£>=180°-ZC=108

：.ZBAD+ZABD=1SO°-72°,

答案：C.

25.（2022•十堰中考）如图，。。是等边△ABC的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,C重合），下列结论:

①/ADB=/BDC；②DA=DC；③当。8最长时，DB=2DC；®DA+DC^DB,其中一定正确的结论有（）

解：:△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZACB^6Q°,

■：AB=AB,BC=BC,

：.ZADB=ZACB=60°,ZBDC=ZBAC=60°,

：.ZADB=ZBDC,故①正确；

•••点。是弧AC上一动点，

而与前不一定相等，

...D4与。C不一定相等，故②错误；

当。8最长时，为。O直径，

：.ZBCD=90°,

,:NBDC=60°,

：.ZDBC=30°,

:.DB=2DC,故③正确；

在。8上取一点E,使OE=A。，如图：

VZADB=60°,

△ADE是等边三角形,

：.AD=AEfZDAE=60°,

'：ZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

9

：AB=ACf

：.AABE^AACD(SAS),

：・BE=CD,

；.BD=BE+DE=CD+AD,故④正确;

・・・正确的有①③④，共3个,

答案：C.

26.（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的。0,ZBAC=0（8是锐角），则△ABC的面积的最大

B.cos0(l+sin0)

C.sinO(l+sin0)D.sin0(l+cos0)

解：当AABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大,

如图所示,

：.BC=2BD,NBOD=NBA'C=Q,

在RtZXBOD中,

.cBDBD门ODOD

sme=u^=亍3。=砺=丁

BD=sin0,OD=cos0,

：.BC=2BD=2sinS,

A'D=ArO+OO=l+cos。,

**•^^ABC='D9BC=x2sin0(l+cos0)=sin。(l+cos6).

答案：D.

27.（2022•玉林中考）如图，在5X7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,B,C,D,E均在格点上，点。

是AABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除AABC外把你认为外心也是。的三角形都写出来AABD,

OA="2+22=V5,

OB=Vl2+22=V5,

OC=Vl2+22=V5,

OD=Vl2+22=V5,

OE="+32=V10,

：.OA=OB=OC=OD^OE,

...△ABD,AACJD,△BCD的外心都是点O,

答案：AABD,AACD,/\BCD.

28.（2022•黑龙江中考）如图，在O。中，A3是。。的弦，。。的半径为3cm.C为。。上一点，ZACB=60°,

解：连接A。并延长交O。于点D

是。。的直径,

ZABD=90°,

VZACB=60°,

/.ZADB=ZACB=60°,

在RtZXABZ）中，AD=6cm,

：.AB=AD-sm60a=6x亨=3次（cm）,

答案：3V3.

29.（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中，。。是△ABC的外接圆，点A,B,。在格点上，则

,：AD是OO的直径,

AZABD=90°,

；AB=6,BD=4,

：.AD=y/AB2+BD2=V62+42=2^/13,

..BD42V13

..cos/zA由nR而=可言=F-'

•IZACB=ZADB,

2713

：.cosZACB的值是----,

13

田山2V13

答案：TT-

五、切线的性质

【高频考点精讲】

1、圆的切线垂直于经过切点的半径。

2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。

【热点题型精练】

30.（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，ZABE=90°,8C为圆。切线，C为切点，CA=CD,则

△ABC和面积之比为（）

A.1：3B.1：2C.V2：2D.(V2-1)：1

解：如图，连接OC,

是。。的切线，OC为半径，

：.OC±BC,

即/003=90°,

：.ZCOD+ZOBC=90°,

又：/人台8二%。,BPZABC+ZOBC=90°,

ZABC=ZCOD,

是。。的直径，

ZDCE=9Q°,BPZOCE+ZOCD=90°,

又/A+/E=90°,而NE=NOCE,

NA=NOCD,

在△ABC和△(%>£>中，

24=4OCD

Z..ABC=Z.COD,

AC=CD

•••△ABC也△COO(A4S),

又•：EO=DO,

1

S^COD=S^COE=*/\DCE,

1

SAABC=2s"CE,

即△ABC和△COE面积之比为1：2,

答案：B.

31.（2022•无锡中考）如图，A8是圆。的直径，弦平分/8AC,过点。的切线交AC于点E,ZEAD=25°,

则下列结论错误的是（）

C.DE=ODD.ZBOD=50°

解：•.•弦AD平分NBAC,Z£AD=25",

：.ZOAD=ZODA=25°.

:.NBOD=2NOAD=50°.

故选项D不符合题意;

'：ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,即AE〃OD,故选项2不符合题意;

是。。的切线,

：.OD±DE.

C.DELAE.故选项A不符合题意;

如图，过点。作。尸，AC于R则四边形OFED是矩形,

在直角△AR9中，OA>OF.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故选项C符合题意.

答案：C.

32.（2022•重庆中考）如图，AB是。。的切线，8为切点，连接AO交。。于点C,延长A。交。。于点。，连接

BD.若NA=N。，且AC=3,则AB的长度是（

A.3B.4C.3V3D.4A/2

是。。的切线，B为切点，

：.OB±AB,

.,.AB2=OA2-OB2,

和OD是半径，

ZD=ZOBD,

'：ZA=ZD,

：.ZA=ZD=ZOBD,

：./\OBD^/\BAD,AB=BD,

：.OD：BD=BD：AD,

:.BD2=OD-AD,

即OA2-OB2^OD-AD,

设O£>=尤，

VAC=3,

.,.A£）=2x+3,OB=x,OA=x+3,

；.（尤+3）2-7=无（2x+3）,解得尤=3（负值舍去），

.•・OA=6,05=3,

：.AB2=O^-OB2=21,

.,.AB=3A/3,

答案：C.

33.（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于O。，A8是直径，过点A作O。的切线AD若NB=35°,则NZMC

的度数是35度.

解：TAB为直径，

.1.ZC=90°,

VZB=35O,

：.ZBAC^55°,

与。O相切，

：.AB±AD,即/氏4。=90°,

：.ZCAD=90°-NBAC=35°.

答案：35.

34.（2022•泰州中考）如图，B4与O。相切于点A,尸。与O。相交于点2,点C在疯B上，且与点A、8不重合.若

NP=26°,则NC的度数为32°.

与。。相切于点4,

：.ZOAP=9Q°,

；/尸=26°,

：.ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°,

11

AZD=^ZAOP=Jx64°=32°,

..•点C在而S上，且与点A、B不重合，

.,.ZC=Z£>=32°,

答案：32.

35.（2022•青岛中考）如图，AB是。。的切线，B为切点，OA与。。交于点C,以点A为圆心、以OC的长为半

径作价，分别交AB,AC于点E,F.若OC=2,A8=4,则图中阴影部分的面积为4-n

是。。的切线，B为切点,

：.ZOBA^90°,

：.ZBOA+ZA=90°,

由题意得：

OB=OC=AE=AF=2,

...阴影部分的面积=人4。3的面积-(扇形80C的面积+扇形砌尸的面积)

2

I.CD907rx2

=T：A.B*OB----o_77\—

ZDOU

1

=2x4X2-ii

=4-71,

答案：4-71.

36.(2022•济南中考)已知：如图，A3为。。的直径，CO与。0相切于点C,交A3延长线于点。，连接AC,BC,

ZZ)=30°,CE平分/ACB交OO于点、E,过点B作垂足为尸.

(1)求证：CA=CD；

(2)若A3=12,求线段3尸的长.

(1)证明：连接OC,

c

E

・・・CD与。。相切于点C,

：.ZOCD=90°,

VZD=30°,

：.ZCOD=90°-NO=60°,

1

ZA=^ZCOD=30°,

ZA=ZD=30°,

：.CA=CD；

(2)解：TAB为。。的直径，

AZACB=90°,

VZA=30°,AB=12,

1

：.BC=^AB=6,

〈CE平分NACB,

1

AZBCE=^ZACB=45°,

VBF±CE,

AZBFC=90°,

：.BF=BC*sin45°=6x竿=3也

・・・线段3/的长为3V2.

六、三角形的内切圆与内心

【高频考点精讲】

1、内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三

角形叫做圆的外切三角形。

2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。

3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。

4、三角形内心的性质

(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等。

(2)三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。

【热点题型精练】

37.（2022•娄底中考）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）

V3V37TV3

A.----B.C.—D.一

181899

作5AC于点E,AO和交于点O,如图所示,

VZADB=90°,

：.AD^>JAB2-BD2=Wa,

：.OD=1A/）=£

7TX（；ya）2x|

V37T

圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是:

2a-y[3a18

2

答案：A.

38.（2022•德阳中考）如图，点E是△A8C的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，与BC相交于点

G,则下列结论：@ZBAD^ZCAD；②若NBAC=60°,则NBEC=120°；③若点G为BC的中点，则/BG。

=90°；®BD=DE.其中一定正确的个数是（）

解：是△ABC的内心,

：.AD平分NBAC,

：.ZBAD=ZCAD,故①正确;

如图，连接BE,CE,

11

ZEBC=寺/ABC,ZECB=方ZAC3,

'：ZBAC=60°,

ZABC+ZACB=120°,

：.ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°(ZABC+ZACB)=120°,故②正确;

'：ZBAD=ZCAD,

：.BD=DC,

：.ODLBC,

•・,点G为3C的中点，

・・・G一定在O。上，

：.ZBGD^90°,故③正确；

・・・3石平分NA5C,

・•・NABE=NCBE,

,：NDBC=NDAC=/BAD,

・・・ZDBC+ZEBC=NEBA+/EAB,

：.ZDBE=ZDEBf

：.DB=DE,故④正确.

工一定正确的①②③④，共4个.

答案：D.

39.（2022•黔东南州中考）如图，在△A5C中，ZA=80°,半径为3c小的。0是△ABC的内切圆，连接03、OC,

13

则图中阴影部分的面积是-TCM?.（结果用含1T的式子表示）

—4-

解：VZA=80°,。。是△ABC的内切圆,

111

：.ZDOE=180°-Q-Z.ABC-Z-ACB}=180°(180°-ZA)=130°,

222

2

1307TX313/2\

••S扇形DOE—=彳7T(cm),

360

田G13

答案m

40.（2022•泰州中考）如图，△A3C中，NC=90°，AC=8,BC=6,。为内心，过点。的直线分别与AC、AB

1

边相交于点〃E.若DE=CD+BE,则线段。的长为上警一

解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点。、E,连接2。，CO,

为△ABC的内心,

...CO平分NACB,8。平分NABC,

ZBCO=ZACO,ZCBO=ZABO,

当CD=OD时，则/OCD=NCOD

ZBCO=ZCOD,

：.BC//DE,

：.ZCBO=ZBOE,

：.BE=OE,

则DE=CD+BE,

设CQ=OO=x,BE=OE=y,

在RtzMBC中，AB=y/AC2+BC2=10,

OEZx

(-_

(AD-B--8%--+Z6

即l

.)AC-Oc10y

^]AEI--8-8X

一1

-8gCo

VAB2c

解得「-5J

-

2

：.CD=2,

过点。作O'E'1.AB,DE//BC,

•点。为△ABC的内心,

：.OD=OE',

在RtZkO。。'和RtZ\OE'E中，

ZOE'E=乙ODD'

OE'=OD,

.乙EOE'=乙D'OD

'△ODD'乌AOE'E(ASA),

：.OE=OD',

：.D'E'=DE=CD+BE=CD'+BE'=2+|=

在△&£>'E'和AABC中，

(Z-A=Zi4

Vz_D'E'A=乙BCA'

：.△AD,E'^AABC,

.ADrDIEI

••—,

ABBC

9

ADr7

••=,

106

解得：AD1=竽，

：.CD'=AC-AD'=I，

答案:2或。

2

41.（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正

方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为289.

解：如图，设内切圆的圆心为。，连接OE、OD,

OE=OD=3="C+y"

：.AC+BC-AB^6,

：.AC+BC^AB+6,

：.(AC+BC)2=(AB+6)2,

：.BC2+AC2+2BCXAC=AB2+UAB+36,

而BC2+AC2=AB2,

.,.2BCXAC=12AB+36①,

：小正方形的面积为49,

(BC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-2BCXAC=49@,

把①代入②中得

AB2-12AB-85=0,

(AB-17)(AB+5)=0,

:.AB=n（负值舍去）,

大正方形的面积为289.

答案：289.

七、弧长及扇形面积计算

【高频考点精讲】

1、弧长计算

（1）圆周长公式：C=2nR

（2）弧长公式：/=里里（弧长为/,圆心角度数为〃圆的半径为R）

180

2、扇形面积计算

（1）圆面积公式：S=llJ

（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是几。，圆的半径为R的扇形面积为S,则

②S扇形=工出（其中/为扇形的弧长）

2

（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；

③割补法。

【热点题型精练】

42.（2022•湖北中考）如图，在RtZvlBC中，ZC=90°,ZB=30°,A2=8,以点C为圆心，C4的长为半径画

弧，交A8于点。，则而的长为（）

A

CB

45

A.JTB.FC.^TlD.2n

3

解：连接S,如图所示:

VZACB=90°,N5=30°,A5=8,

1

AZA=90°-30°=60°,AC=^AB=4,

由题意得：AC=CD,

•・.△ACD为等边三角形,

ZAC£>=60°,

一，…,607rx44

.../O的长为：------=-7T,

1803

答案：B.

43.（2022•广西中考）如图，在△ABC中，CA=CB=4fZBAC=a,将△ABC绕点A逆时针旋转2a,得到△A3,

C,连接夕。并延长交AB于点。，当夕OLA8时，缩，的长是（)

B'

解：'：CA=CB,CDLAB,

：.AD=DB=^AB'.

：.ZAB'D=30°,

/.a=30o,

'：AC=4,

F5

.,.AZ)=AC»cos30°=4x今=2痔

：.AB=2AD=4A/3,

44.（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩

形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2日相，则改建后门洞的圆弧长是（）

5718TT107T571

A.—mB.—mC.-----mD.(—+2)m

3333

解：连接AC,BD,AC和相交于点。则。为圆心，如图所示,

AB

由题意可得，CD=2m,AD=2^m,ZADC=90°,

.•・tanN£)CA==V5,AC=y/CD2+AD2=4(m),

AZACD=60°,OA=OC=2m,

・・・NACB=30°,

・・・NAO8=6(r,

・・・优弧ADC3所对的圆心角为300°,

工,3007TX210TT

工改建后门洞的圆弧长是：-------=----(m),

1803

答案：C.

45.（2022・资阳中考）如图.将扇形AOB翻折，使点A与圆心。重合，展开后折痕所在直线/与屈交于点C,连

接AC.若。4=2,则图中阴影部分的面积是（）

71V371

C.———D.

323

解：连接CO,直线/与AO交于点。，如图所示,

・・•扇形A05中，04=2,

OC=OA=2,

・・,点A与圆心O重合，

：.AD=OD=lfCDLAO,

：.OC=AC,

：.OA=OC=AC=2,

...△04C是等边三角形,

：.ZCOD=60°,

'：CD1OA,

：.CD=y/OC2-OD2=V22-l2=V3,

AOTTX222xV32兀

•••阴影部分的面积为：-

2~3

答案:B.

46.（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所

示，它是以。为圆心，OA,。8长分别为半径，圆心角/。=120°形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,则阴

影部分的面积为（）

o

图1图2

A.4.25nm2B.3.25Trm2C.3irm2D.2.25TOM2

解：S阴=S扇形004-S扇形30。

Q

_1207X9120TTX?

=-360360-

=2.25m/.

答案：D.

47.（2022•泰安中考）如图，四边形4BCD中，ZA=60°,AB//CD,OE_LA£＞交A8于点E,以点E为圆心，DE

为半径，且。E=6的圆交CO于点R则阴影部分的面积为（）

C.6it-竽

A.6n-9V3B.12it-9V3D.3一竽

解：过点E作EG，。尸交D尸于点G,

VZA=60°,AB//CD,。瓦LAO交A3于点E,

：.ZGDE=ZDEA=30°,

■:DE=EF,

；・NEDF=NEFD=30°,

：.ZDEF=nO°,

VZG£>E=30°,DE=6,

・・・GE=3,