初中七年级下册数学讲义第14讲-等边三角形(上体馆)46RJ404N4NDR

PAGE111/11学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A/B/C/D/E/F段主题第14讲——等边三角形学习目标1．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形；2．掌握等边三角形的性质，能够较熟练地利用“等边对等角”及有关特征解决相关问题；3．等边三角形每一个内角都是教学内容你来分一分一个等边三角形，如何分成两个完全一样的三角形呢？你有几种分法呢？通过这些分法，你能发现等边三角形的什么性质呢？你来画一画一个圆规，一把直尺，你能作出一个等边三角形吗？你来总结规律1.等边三角形性质有哪些？2.等边三角形的判定：参考答案：问题三：1、（1）具备等腰三角形的所有性质（2）等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60°2、（1）三条边相等的三角形是等边三角形（2）三个内角相等的三角形是等边三角形（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形知识点一：利用等边三角形性质找出全等三角形例题1：如图，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，联结AE，CD,试说明AE=CD的理由。教法指导：利用等边三角形性质，找出相等线段以及相等角，从而证明三角形全等。参考答案：为等边三角形，，同理为等边三角形,，即试一试：1.如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，当A、B、C不在一条直线上时，求证：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.2.如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，使E落在边BD上，求证：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.3.如图，在同一直线上作等边ΔABD和等边ΔBCE中，联结AE，CD,把△BCE绕点B顺时针旋转，使C落在边AB上，求证：AE=CD.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD.4．如下图，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，联结AE，CD，MN，判定△MBN的形状以及MN和AC的位置关系.∵ΔABD∵ΔABD和ΔBCE都为等边三角形，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，又∵A、B、C三点共线，∴∠DBN=60°=∠ABM，又∵AB=DB，∴ΔABM≌ΔDBN，∴BM=BN，又∵∠DBN=60°，∴△MBN为等边三角形，∴∠BMN=60°=∠MBN，∴MN∥AC.知识点二、利用等边三角形性质判定另外三角形为等边三角形例题2：如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B．（1）求证△BFD≌△CDE．（2）如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由．教法指导：利用等边三角形性质找出等量关系，再对照等边三角形判定方法判定三角形为等边。参考答案：（1）记，．因为（外角性质），即．又因为（已知），所以（等式性质）．因为（已知），所以（等边对等角）．在△和△中，所以△≌△（AAS），（2）因为△≌△，所以（全等三角形的对应边相等）．因为△是等边三角形（已知），所以（等边三角形的每个内角等于60°）．因为（已知），所以（等量代换）．所以△是等边三角形（等边三角形判定定理）．试一试：已知△ABC为等边三角形，其中D、E、F分别为AB，AC，BC中点，判定△DEF的形状.参考答案：证明，为等边三角形知识点三、利用等边三角形性质求角度例题3：如图，D为等边ΔABC内一点，DB=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，求∠BED的度.联结DC联结DC，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC,又∵DB=DA，BE=AB，∴△ACD≌△BCD，∴∠ACD=∠BCD=30°，又∵BE=AB=BC，∠DBE=∠DBC，∴ΔEBD≌ΔCBD，∴∠BED=∠BCD=30°试一试：1．如图，已知△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为边作等边△ABE、等边△ACD，且∠DAE=∠BCD，求∠BAC的度数．参考答案：∠BAC=20°1．如图，在等边△ABC边AC上取一点D，使BD=CE，∠ABD=∠ACE，

求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°，AB=AC，又∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠CAB=60°，∴△ADE是等边三角形.2．如图，在等边ΔABC的AC、BC边上各取一点E、F，使AE=CF，AF与BE交于点O，求∠BOF的度数.解：∵△ABC解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF，∴∠ABE=∠CAF，∴∠BOF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°.3．如图，等边△ABC中，点D在边AC上，CE∥AB，且CE＝AD，（1）△DBE是什么特殊三角形，请说明理由．（2）如果点D在边AC的中点处，那么线段BC与DE有怎样的位置关系，请说明理由．参考答案：1、ΔABD≌ΔACE（SAS）即可；2、∠BOF=60°，证明ΔABE≌ΔACF（SAS）3、（1）△是等边三角形．说理如下：记，，因为△是等边三角形（已知），所以（等边三角形的三边都相等），（等边三角形的每个内角都等于）．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等）．所以（等量代换）在△和△中，所以△≌△（SAS），得（全等三角形的对应角相等），（全等三角形的对应边相等）又因为所以即所以△是等边三角形（等边三角形判定）（2）线段与的位置关系是：说理如下：因为，所以（等腰三角形的三线合一）因为所以又因为所以（等腰三角形的三线合一）1、等边三角形的性质：三边都相等；三个内角均为60°2、等边三角形的判定：（1）三条边相等的三角形是等边三角形（2）三个内角相等的三角形是等边三角形（3）有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形3、等边三角形与全等三角形综合如图，ΔABC和ΔDEC均为等边三角形，∠EAB=40°，∠ACE=25°，求∠BDC的度数1.解：∵ΔABC和ΔDEC均为等边三角形，∴∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD，∴∠ACE=∠DCB=25°，∠CAE=∠BAC=∠EAB=20°，∴△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE=20°，∴∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=180°-20°-25°=135°.2．如图，D是等边ΔABC的边AB上的一点，以CD为边作等边ΔCDE，联结AE，求证：AE∥BC.2.证明：∵△ABC、△CDE为等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠B=60°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE∥BC.3．如图，在△ABC三边作三个等边三角形△ACD、△ABE、△BCF．证明：AE=D