2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市高三（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x||x|≤1}，B={x|x<5,x∈N}，则A∩B=(

)A.{0,1} B.{1} C.[0,1] D.(0,1]2.已知2z=1−i，则z2A.2i B.2+2i C.2+3i D.3i3.已知|a|=23|b|，且满足〈aA.3b B.−3b 4.已知cos(π4+α)=A.−56 B.−23 C.5.已知(ax−1)(1+x)6展开式各项系数之和为64，则展开式中xA.31 B.30 C.29 D.286.若函数f(x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f(1+x)=f(3−x)，则不等式f(3x−2)>f(4)的解集是(

)A.(−∞,23)∪(2,+∞) B.(−∞,23)7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[−πA.(−2,2]

B.(−2,−3]

C.[8.已知在平面直角坐标系xOy中，M(−4,0)，N(−1,0)，点P满足|PM|=2|PN|.设点P的轨迹为曲线W，直线l：x+y−k=0(k>0)若直线l与曲线W交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OB−OA|≤3A.(3,6) B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}满足a1+3a2+⋯⋯+(2n−1)an=2n，其中A.a1=2 B.数列{an}的通项公式为：an=22n+1

C.数列{10.设函数f(x)=ax3−2xA.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

B.当a>2时，f(x)有三个零点

C.若f(x)满足f(x)+f(2−x)=−23，则a=23

D.当a=1时，若f(x)11.如图所示，四面体ABCD的底面是以BD为斜边的直角三角形，ABCD体积为V1，AB⊥平面BCD，AB=BD，P为线段AC上一动点，O1为AD中点，则下列说法正确的是(

)

A.三棱锥P−BO1D的体积和三棱锥P−BO1A的体积相等

B.当PO1⊥BC时，PO1⊥AB

C.当BP⊥PD时，BP⊥DA三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P是椭圆x25+y24=1上的一点，且以点P及焦点F1，13.已知函数f(x)=ln(2x+1)−mx，若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为−5，则实数m的值为______．14.在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为______；第n次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2acosA=ccosB+bcosC．

(1)求A；

(2)若a=6，b=2，设D为CA延长线上一点，且BD⊥BC，求线段AD的长．16.(本小题12分)

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，四边形CDEF为菱形且∠FCD=60°，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，点G为线段BE的中点．

(1)求证：AG//平面CDEF；

(2)若AD=1，CD=2，求二面角E−DG−F的正弦值．17.(本小题12分)

设动点M到定点F(3,0)的距离与它到定直线l：x=43的距离之比为32．

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为A、B，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k218.(本小题12分)

已知函数f(x)=log2(x2−2x+2)．

(1)证明：曲线y=f(x)是轴对称图形；

(2)若函数g(x)=219.(本小题12分)

对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为an；若n为奇数，则对3n+1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为an.若an=1，则称正整数n为“理想数”．

(1)求20以内的质数“理想数”；

(2)已知am=m−9.求m的值；

(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{bn}，记参考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.C

6.D

7.B

8.C

9.ACD

10.AC

11.ABD

12.(0,±2)

13.17314.12

115.解：(1)由2acosA=ccosB+bcosC，

结合正弦定理得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin(C+B)=sinA，

因为A∈(0,π)，所以sinA>0，可得cosA=12，即A=π3；

(2)在△ABC中，由正弦定理asin∠BAC=bsin∠ABC，得6sinπ3=2sin∠ABC

所以sin∠ABC=22，结合b<a，得∠ABC=π4，

所以16.解：证明：(1)因为四边形CDEF为菱形，所以H是CE中点，

连接GH，如下图所示：

又G为线段BE的中点，则GH/​/BC，且GH=12BC．

又AD//BC且AD=12BC，所以GH/​/AD，GH=AD，

所以四边形ADHG是平行四边形，所以AG/​/DH．

又AG⊄平面CDEF，DH⊂平面CDEF，

所以AG/​/平面CDEF．

(2)以C为坐标原点，CB、CD所在直线分别为x、y轴，过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则有D(0,2,0),B(2,0,0),E(0,3,3),F(0,1,3),A(1,2,0),H(0,32,32)，

G(1,32,32)，

则DG=(1,−12,32),DE=(0,1,3),DF=(0,−1,3)，

设平面EDG的一个法向量为m=(x1,17.解：(1)设M(x,y)，由题意可得|MF|d=32(d为M到定直线l的距离)，

即有(x−3)2+y2=32|x−43|，

两边平方，化简可得x24−y25=1，

即点M的轨迹E的方程为x24−y25=1；

(2)由双曲线的方程可得A(−2,0)，B(2,0)，又F(3,0)，

设直线PQ的方程为x=my+3，

与双曲线的方程518.(1)证明：由函数f(x)=log2(x2−2x+2)，定义域为R，

则f(2−x)=log2[(2−x)2−2(2−x)+2]=log2(x2−2x+2)，

因此可得f(x)=f(2−x)，

故函数y=f(x)的图象关于x=1，即曲线y=f(x)是轴对称图形．

(2)解：由g(x)=2f(x)+23x3−2x+a=x2−2x+2+23x3−2x+a=23x3+x2−4x+2+a，

若函数g(x)=2f(x)+23x3−2x+a在[−3,3]上有三个零点，

则方程g(x)=23x3+x2−4x+2+a=0在[−3,3]上有三个实根，

即a=−23x3−x2+4x−2在[−3,3]上有三个实根，

令ℎ(x)=−23x319.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，⋯(后续直到20都不满足条件)，

∴2和5为两个质数“理想数”；

(2)由题设可知am=m−9必为奇数，∴m必为偶数，

∴存在正整数p，使得m2p=m−9，即m=92p−1+9：

∵92p−1∈Z，且2p−1≥1，

∴2p−1=1