2024-2025学年广东省广州五中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州五中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|log2(x−1)<0}，B={x|2A.∁UA=[2,+∞) B.B⊆A

C.A∩(∁2.已知i5=a+bi(a,b∈R)，则a+b的值为(

)A.−1 B.0 C.1 D.23.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，有下列四个命题：

甲：P(X>m+1)>P(X<m−2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(X≤m)=0.5；

丁：P(m−1<X<m)<P(m+1<X<m+2)．

如果只有一个假命题，则该命题为A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.若函数f(x)=sin(2x+π6)在区间[−t,t]上是单调递增函数，则实数A.[π6,π2] B.(0,5.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．

(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；

(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主、客场交叉淘汰赛(每两队主、客场各赛一场)决出胜者；

(3)决赛：两个胜队参加，比赛一场，决出胜负.则全部赛程共需比赛3位(

)A.15 B.16 C.17 D.186.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x+1)为偶函数，f(x)=f(x+1)−f(x+2)，若f(1)=2，则f(18)=(

)A.1 B.2 C.−1 D.−27.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆O：x2+y2=94(a2A.54 B.85 C.58.在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：

甲：ln3<3ln2；

乙：lnπ<πe；

丙：212<12；A.甲和乙 B.甲和丙 C.丙和丁 D.甲和丁二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2n−13,1≤n≤6(−3A.4 B.8 C.9 D.1210.已知向量a=(−1,3),b=(x,2)，且(aA.b=(1,2)

B.|3a−b|=25

C.向量a与向量b的夹角是45°

D.向量11.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角(其中M对应钟上数字3，N对应钟上数字9).设MN的中点为O，|MN|=43，已知长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针OC(安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细)，则下列说法正确的是(

)

A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OA⊥BC

B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBC

C.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值为147

D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(1−2x)5(x+2)=a0+a113.已知圆O：x2+y2=r2(r>0)，设直线x+3y−3=0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数σ(n)：∀n∈N∗，σ(n)为n的所有正因数之和，如σ(6)=1+2+3+6=12，则σ(20)=______；σ(6n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB−2acosC=(2c−b)cosA．

(1)若c=3a，求cosB的值；

(2)若b=1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求16.(本小题15分)

在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆F：x2+y2=a2+b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(1,22)，17.(本小题15分)

第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大.假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1=1，p2=0．

①证明：{pn−13}为等比数列；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=xaex−1和g(x)=a+lnxx有相同的最大值．

(1)求实数a；

(2)设直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，19.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体M

参考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.C

6.A

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.ACD

12.−120

13.1214.42

1215.解：(1)∵acosB−2acosC=(2c−b)cosA，

∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB−2sinAcosC=(2sinC−sinB)cosA，

∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sin(A+B)=2sin(A+C)，

∴sinC=2sinB，即c=2b,c=3a，

∴b=3a2，

∴cosB=a2+c2−b22ac=a2+3a2−34a22a⋅16.解：(1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1，代入P(1,22)，Q(−62,12).

可得m+12n=132m+14n=1，解得m=12n=1，

∴椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)证明：由题意可知，蒙日圆方程为x2+y2=3，

(i)当MN的斜率不存在时，则直线MN的方程为：x=2或x=−2，

不妨取x=2，易得M(2,1)，N(2,−1)，kOM=12，kON=−1217.解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，

在一次扑球中，扑到点球的概率P=13×13×13×3=19，

所以P(X=0)=CX0123P512192241E(X)=192729×1+24729×2+1729×3=13．

(2)证明：①第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，

则当n≥2时，第n−1次传球之前球在甲脚下的概率为pn−1，

第n−1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−pn−1，

则pn=pn−1×0+(1−pn−1)×12=−12pn−1+1218.解：(1)f′(x)=1a⋅ex−1−ex−1⋅x(ex−1)2=1a⋅1−xex−1，令f′(x)=0⇒x=1．

∵f(x)有最大值，

∴a>0且f(x)在(0,1)上单调递增；(1,+∞)上单调递减，

∴f(x)max=f(1)=1a.a=1时，g′(x)=1−a−lnxx2=−lnxx2，

当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

∴g(x)max=g(1)=a，

∴1a=a，即a=1；

(2)由f(x)=b⇒xex−1−b=0，由g(x)=b⇒1+lnxx−b=0，

令F(x)=xex−1−b,F′(x)=1−xex−1，

当0<x<1时，F′(x)>0，当x>1时，F′(x)<0，

所以F(x)在(0,1)上单调递增；(1,+∞)上单调递减，∴F(x)至多两个零点，

令G(x)=1+lnxx−b,G′(x)=−lnxx2，

当0<x<1时，G′(x)>0，当x>1时，G′(x)<0，

所以G(x)在(0,1)上单调递增；(1,+∞)上单调递减；∴G(x)至多两个零点．

令F(x)=G(x)⇒xex−1−1+lnxx=0，

当x∈(0,1e]时，lnx≤−1，所以xex−1−1+lnxx>0；

当x∈(1,+∞)时，由xex=lnexex=lnexelnex，

设m(x)=x−lnex，m′(x)=1−1x=x−1x，

所以当x∈(1,+∞)时，m′(x)=1−1x=x−1x>0，

所以m(x)=x−lnex在x∈(1,+∞)单调递增，所以m(x)>m(1)=0，

所以x>lnex，且lnex>lne=1，所以x>lnex>1，

设φ(x)=xex,φ′(x)=1−xex，

当0<x<1时，φ′(x)>0，当x>1时，φ′(x)<0，

所以φ(x)在(1,+∞)上单调递减，

∴φ(x)<φ(lnex)方程无解，

当x∈(1e,1]时，由1≥x≥lnex,φ(x)=xex在(0,1]上单调递增，

∴φ(x)≥φ(lnex)方程有唯一解x=1，

当0<b<1时，注意到F(0)=−b<0，F(1)=1−b>0，

设n(x)=x−2lnx(x>2)，n′(x)=1−2x=x−2x>0对x>2恒成立，

所以n(x)>n(2)=2−2ln2>0，

所以当x>2时，x>2lnx，即ex>x219.解：(1)由离散曲率的定义得：ΦP=1−12π(∠APB+∠BPC+∠CPA)，

ΦA=1−12π(∠BAP+∠BAC+∠CAP)，

ΦB=1−12π(∠ABP+∠CBP+∠ABC)，

ΦC=1−12π(∠ACB+∠BCP+∠ACP)，

四个式子相加得：ΦP+ΦA+ΦB+ΦC=4−12π×4π=2．

(2)①如图，分别取AC，BC，AP的中点D，E，F，连接AE，DE，DF，EF，显然有AB//DE，PC//DF，

所以∠FDE为异面直线AB与PC的夹角或其补角，

设AC=BC=2，

因为∠ACB=90°，所以AB=22，AE=5，

因为PA⊥平面ABC，AB，AC，AE，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AE，PA⊥BC，

因为AC⊥BC，