人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 5 　正态分布

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.5正态分布课标要求素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.理解正态曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响.通过本节的学习，使学生了解正态分布的特征，能够利用正态曲线分析实际问题，提升数学抽象、数学建模及数据分析素养.自主梳理1.正态曲线函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数.显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))无限增大时，曲线无限接近x轴.3.正态分布的期望与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4.正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取〖μ－3σ，μ＋3σ〗中的值，这在统计学中称为3σ原则.(1)正态曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；(2)正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形面积为1；(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)函数f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)(x∈R)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.(×)〖提示〗函数中σ的意义为标准差.(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(×)〖提示〗正态曲线与x轴围成的面积为定值1.(3)正态曲线可以关于y轴对称.(√)(4)正态分布定义中的式子实际上是指随机变量X的取值在区间〖a，b〗上的概率等于正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(√)2.若X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Y＝6X，则E(Y)等于()A.1 B.eq\f(3,2)C.6 D.36〖答案〗C〖解析〗由X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.3.设随机变量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),则c等于()A.0 B.σC.－μ D.μ〖答案〗D〖解析〗由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.4.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于__________.〖答案〗2〖解析〗∵X～N(2，9)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，∴eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.题型一正态曲线的应用〖例1〗如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态密度函数的〖解析〗式，求出随机变量总体的均值和方差.解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是该正态密度函数的〖解析〗式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\f(－（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.思维升华利用图象求正态密度函数的〖解析〗式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为eq\f(1,σ\r(2π))，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的〖解析〗式.〖训练1〗若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π))，求该正态密度函数的〖解析〗式.解由于该正态密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，又该函数的最大值是eq\f(1,4\r(2π))，所以eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,4\r(2π))，解得σ＝4.故所求正态密度函数的〖解析〗式为f(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞).题型二利用正态分布的对称性求概率〖例2〗设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5).解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，∴P(3≤X≤5)＝eq\f(1,2)〖P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.〖迁移1〗(变换所求)例2条件不变，求P(X≥5).解P(X≥5)＝P(X≤－3)＝eq\f(1,2)〖1－P(－3＜X≤5)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(1－4＜X≤1＋4)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.〖迁移2〗(变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝()A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2〖答案〗C〖解析〗∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.思维升华利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间〖μ－σ，μ＋σ〗，〖μ－2σ，μ＋2σ〗，〖μ－3σ，μ＋3σ〗内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解.〖训练2〗设X～N(1，1)，试求：(1)P(0<X≤2)；(2)P(2<X≤3)；(3)P(X≥3).解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.(1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，∴P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2<X≤1＋2)－P(1－1<X≤1＋1)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，∴P(X≥3)＝eq\f(1,2)〖1－P(1－2<X≤1＋2)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.题型三正态分布的实际应用〖例3〗某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？解由于外直径X～N(4，0.52)，则X在〖4－3×0.5，4＋3×0.5〗，即〖2.5，5.5〗之内取值的概率为0.9973，在〖2.5，5.5〗之外取值的概率为0.0027，而5.7∉〖2.5，5.5〗，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的.思维升华解题时，应当注意零件尺寸应落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.〖训练3〗在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，则该班成绩在90分以上的同学有多少人？解∵成绩服从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成绩在〖75，85〗内的同学占全班同学的68.27%，成绩在〖80，85〗内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在〖70，90〗内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的eq\f(1,2)(1－95.45%)＝2.275%，即有50×2.275%≈1(人