人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 3 1　离散型随机变量的均值

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及均值，进一步提升数学抽象及数据分析素养.自主梳理1.离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.2.两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.3.离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b.1.均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数.2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即两个随机变量和的均值等于均值的和.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(×)〖提示〗随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化.(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(×)〖提示〗随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价.(3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(√)(4)对于结论E(aX＋b)＝aE(X)＋b，当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身.(√)2.已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq\f(2,13)eq\f(5,13)eq\f(6,13)则X的数学期望E(X)＝()A.eq\f(30,13) B.eq\f(27,13)C.2 D.eq\f(25,13)〖答案〗A〖解析〗E(X)＝1×eq\f(2,13)＋2×eq\f(5,13)＋3×eq\f(6,13)＝eq\f(30,13).3.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于()A.2 B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,5)〖答案〗D〖解析〗由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(1,10)，P(X＝2)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(3,10).∴E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(7,5).4.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________.〖答案〗eq\f(8,3)〖解析〗X＝2，3.P(X＝2)＝eq\f(1,Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).题型一利用定义求离散型随机变量的均值〖例1〗袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，故X的分布列如下：X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7)(分).思维升华求离散型随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).〖训练1〗某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6.∴P(X＝－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝6)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).∴X的分布列为X－4136Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(7,18)eq\f(1,9)∴E(X)＝(－4)×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋3×eq\f(7,18)＋6×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9)(分).题型二离散型随机变量均值的性质〖例2〗已知随机变量X的分布列为：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)若Y＝－2X，则E(Y)＝__________.〖答案〗eq\f(17,15)〖解析〗由随机变量分布列的性质，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1,解得m＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq\f(17,15).〖迁移1〗(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y).解由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b及E(X)＝－eq\f(17,30)得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).〖迁移2〗(变条件，变设问)本例条件不变，若Y＝aX＋3,且E(Y)＝－eq\f(11,2)，求a的值.解∵E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq\f(17,30)a＋3＝－eq\f(11,2)，∴a＝15.思维升华离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y).〖训练2〗已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为()X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)〖答案〗A〖解析〗因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，即E(Y)＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2·m＋3·n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq\f(5,3)，①又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq\f(2,3)，②由①②可解得m＝eq\f(1,3).题型三离散型随机变量均值的应用〖例3〗某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.解记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”.由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且事件E与F，E与eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))与F，eq\o(E,\s\up6(－))与eq\o(F,\s\up6(－))都相互独立.(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\a\vs4\al(\o(E,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(F,\s\up6(－)))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(E,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(F,\s\up6(－))))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，故X的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)均值为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(1,5)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(2,5)＝140(万元).思维升华解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.〖训练3〗某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是eq\f(1,2).若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助.令X表示该公司的资助总额.(1)写出X的分布列；(2)求均值E(X).解(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.P(X＝0)＝eq\f(