人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 3　组合

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3组合课标要求素养要求1.通过实例理解组合的概念.2.会解决简单的组合问题.通过学习组合的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.自主梳理1.组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.排列与组合之间的联系与区别从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，这个是共同点，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个.(×)〖提示〗从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3个.(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得6个积.(√)(3)1，2，3与3，2，1是同一个组合.(√)(4)“10人相互通一次电话，共通多少次电话”是组合问题.(√)2.以下四个问题，属于组合问题的是()A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地〖答案〗C〖解析〗只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题.3.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有()A.60种 B.36种C.10种 D.6种〖答案〗D〖解析〗甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有6种不同的选法.4.甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数是____(假设票价只与距离有关).〖答案〗3题型一组合概念的理解〖例1〗判断下列问题是排列问题还是组合问题.(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题.(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.思维升华区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标准是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.〖训练1〗判断下列问题是排列问题还是组合问题.(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解(1)由于集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题.(2)选正、副班长时要考虑顺序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题.题型二简单的组合问题〖例2〗有5名教师，其中3名男教师，2名女教师.(1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法.〖答案〗(1)10(2)4(3)3〖解析〗(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；第2类，选出的2名是女教师，有1种方法.根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法.(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种).思维升华(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.〖训练2〗一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.题型三双重元素的组合问题〖例3〗某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A.25种 B.35种C.820种 D.840种〖答案〗A〖解析〗分三类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法.由分类加法计数原理共有10＋10＋5＝25(种)不同的选派方案.思维升华本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：分类加法计数原理每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.〖训练3〗某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门.若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有()A.15种 B.30种C.45种 D.90种〖答案〗C〖解析〗分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类