2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积学案新人教版

PAGE其次讲空间几何体的表面积与体积学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝_S底·h__＝πr2h圆锥S侧＝_πrl__V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))·h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝_ch__V＝_S底h__正棱锥S侧＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f(1,3)S底h正棱台S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S球面＝_4πR2V＝eq\f(4,3)πR3学问点二几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r＝_eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)__(a，b，c为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝_eq\f(\r(3),2)a__(a为正方体的棱长)；(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝_eq\f(a,2)__(a为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝_eq\f(\r(2),2)a__(a为正方体的棱长)．3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝_eq\f(\r(6),4)a__(a为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝_eq\f(\r(6),12)a__(a为正四面体的棱长)．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)(3)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(5)圆柱的一个底面积为S，侧面绽开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)题组二走进教材2．(必修2P27T1)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面绽开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B)A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cm[解析]由条件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＋πr2＝12π,\f(2πr,l)＝π))，∴3r2＝12，∴r＝2.题组三走向高考3．(2024·天津卷)若棱长为2eq\r(3)的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(C)A．12π B．24πC．36π D．144π[解析]这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半，即R＝eq\f(\r(2\r(3)2＋2\r(3)2＋2\r(3)2),2)＝3，所以，这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选：C．4．(2024·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]设圆柱底面半径为r，则4r2＝8，即r2＝2.∴S圆柱表面积＝2πr2＋4πr2＝12π.5．(2024·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A．eq\f(7,3) B．eq\f(14,3)C．3 D．6[解析]由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝eq\f(1,3)＋2＝eq\f(7,3).故选：A．考点突破·互动探究考点一几何体的表面积——自主练透例1(1)(2024·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(C)A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5(2)(2024·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为(B)A．78－eq\f(9π,2) B．78－eq\f(9π,4)C．78－π D．45－eq\f(9π,2)(3)(多选题)(2024·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(AB)A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π[解析](1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△SAC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SAB＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，所以S表面积＝2＋2eq\r(5).故选C．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个eq\f(1,8)球，如图所示．∴S＝3×3×2＋3×5×4－eq\f(27π,4)＋eq\f(9π,2)＝78－eq\f(9,4)π.故选B．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋eq\r(2)π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为eq\r(2)π，故选A、B．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题留意其轴截面及侧面绽开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积留意连接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先依据三视图推断空间几何体的形态，再依据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2024·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，依据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是(C)A．6 B．8＋4eq\r(6)C．4＋2eq\r(6) D．4＋eq\r(6)[解析]由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC＝AB＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，底边AD长为2eq\r(2)的等腰三角形，其高为eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝eq\r(3)，故其表面积为S＝2×eq\f(1,2)×22＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝4＋2eq\r(6).故选C．考点二几何体的体积——师生共研例2(1)(2024·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为()cm3.(A)A．eq\f(π,6)＋eq\f(1,3) B．eq\f(π,3)＋eq\f(1,6)C．eq\f(π,6)＋eq\f(1,6) D．eq\f(π,3)＋eq\f(1,3)(2)(2024·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是(D)A．eq\f(5,6) B．eq\f(8,3)C．1 D．eq\f(16,3)(3)(2024·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面绽开图为半圆面，则该圆锥体积为_eq\f(8\r(3)π,3)__.(4)(2024·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P＝2PC．设三棱锥P－D1DB的体积为V1，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V，则eq\f(V1,V)的值为_eq\f(1,6)__.[解析](1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm，高为1cm的半个圆锥和三棱锥S－ABC组成的，如图，三棱锥的高为SO＝1cm，底面△ABC中，AB＝2cm，AC＝1cm，AB⊥AC．故其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(1,3)))cm3.故选A．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V＝23－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(16,3)，故选D．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为2eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)×π×22×2eq\r(3)＝eq\f(8\r(3)π,3).(4)设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长AB＝BC＝a，高AA1＝b则VABCD－A1B1C1D1＝S四边形ABCD×AA1＝a2bVP－D1DB＝VB－D1DP＝eq\f(1,3)S△D1DP·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab·a＝eq\f(1,6)a2b，∴eq\f(VP－D1DB,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,6)，即eq\f(V1,V)＝eq\f(1,6).[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_eq\f(8,3)__，表面积为_8eq\r(3)__.[解析]几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为2eq\r(2))．∴V＝8－4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，S＝4×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝8eq\r(3).名师点拨求体积的常用方法干脆法对于规则的几何体，利用相关公式干脆计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟识的几何体补成熟识的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解．〔变式训练2〕(1)(2024·海南)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A－NMD1的体积为_eq\f(1,3)__.(2)(2024·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(C)A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)(3)(2024·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1(4)(2024·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(B)A．8 B．8πC．16 D．16π[解析](1)如图，∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB∴S△ANM＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴VA－NMD1＝VD1－AMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3)，故答案为：eq\f(1,3).(2)如题图，在正△ABC中，D为BC的中点，则有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，所以V三棱锥A－B1DC1＝eq\f(1,3)·S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故选C．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).故选A．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：eq\f(1,2)×22π×4＝8π.故选B．考点三球与几何体的切、接问题——多维探究角度1几何体的外接球例3(1)(2024·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P－ABC的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA＝_2eq\r(3)或2__.(2)(2024·新课标Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(A)A．64π B．48πC．36π D．32π(3)(2024·全国)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA，PB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(D)A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π[解析](1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC的中心为O1，则外接球的球心肯定在PO1上，由正三棱锥P－ABC的底面边长为3，得AO1＝eq\r(3)，在Rt△AOO1中，由勾股定理可得(PO1－2)2＋(eq\r(3))2＝22，解得PO1＝3或PO1＝1，又PA2＝POeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)，故PA＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3)或PA＝eq\r(1＋3)＝2，故答案为：2eq\r(3)或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A则eq\f(AB,sin60°)＝2O1A＝4，∴AB＝4sin60°＝2eq\r(3)，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2eq\r(3)，外接球的半径为：R＝eq\r(AO\o\al(2,1)＋OO\o\al(2,1))＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，即R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特别三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．留意：不共面的四点确定一个球面．角度2几何体的内切球例4(1)(2024·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_eq\f(\r(2),3)π__.(2)(2024·安徽蚌埠质检)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P－CEF(A，B，D重合于P点)，则三棱锥P－CEF的外接球与内切球的半径之比是_2eq\r(6)__.[解析](1)因为圆锥内半径最大的球应当为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS＝3，底面半径BC＝1，则其高SC＝eq\r(BS2－BC2)＝2eq\r(2)，不妨设该内切球与母线BS切于点D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，则eq\f(OD,OS)＝eq\f(BC,BS)，即eq\f(r,2\r(2)－r)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(2),3)π，故答案为：eq\f(\r(2),3)π.(2)不妨设正方形的边长为2a，由题意知三棱锥P－CEF中PC、PF、PE两两垂直，∴其外接球半径R＝eq\f(\r(PC2＋PF2＋PE2),2)＝eq\f(\r(6),2)a，下面求内切球的半径r，解法一(干脆法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H为EF的中点)内，M、N、R、S为球与各面的切点，又2eq\r(2)＝tan∠CHP＝tan2∠OHN，∴tan∠OHN＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(r,NH)，∴NH＝eq\r(2)r，又PN＝eq\r(2)r，∴2eq\r(2)r＝PH＝eq\f(\r(2),2)a，∴r＝eq\f(a,4).解法二(体积法)：VC－PEF＝eq\f(1,3)r·(S△PEF＋S△PCE＋S△PCF＋S△CEF)，∴a3＝r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)＋a2＋a2＋\f(\r(2)a,2)×\f(3\r(2)a,2)))，∴r＝eq\f(a,4)，故eq\f(R,r)＝eq\f(\r(6)a,2)·eq\f(4,a)＝2eq\r(6).名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径．〔变式训练3〕(1)(角度1)(2024·南宁摸底)三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体积为(B)A．eq\f(27π,2) B．eq\f(27\r(3)π,2)C．27eq\r(3)π D．27π(2)(角度1)(2024·山西运城调研)在四面体ABCD中，AB＝AC＝2eq\r(3)，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为eq\r(3).若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是(B)A．eq\f(49π,4) B．49πC．eq\f(49π,2) D．4π(3)(角度2)棱长为a的正四面体的体积与其内切球体积之比为_eq\f(6\r(3),π)__.[解析](1)因为三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P－ABC的外接球．因为正方体的体对角线长为eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，所以其外接球半径R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱锥P－ABC的外接球的体积V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))3＝eq\f(27\r(3)π,2).故选B．(2)如图，H为BC的中点，由题意易知AH＝eq\r(3)，设△ABC外接圆圆心为O1，则|O1C|2＝32＋(eq\r(3)－|O1C|)2，∴|O1C|＝2eq\r(3)，又eq\f(1,2)×6×eq\r(3)×eq\f(|AD|,3)＝eq\r(3)，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O1C|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(49,4)，∴S球O＝4πR2＝49π，故选B．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，明显正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a，则|AO|＝eq\f(\r(6),4)a，又|O1A|＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(\r(6),3)a，∴内切球半径|OO1|＝eq\f(\r(6),12)a，∴eq\f(V正四面体,V内切球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(\r(3),4)a2×\f(\r(6),3)a,\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),12)a))3)＝eq\f(6\r(3),π).名师讲坛·素养提升最值问题、开放性问题例5(1)(最值问题)(2024·课标全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(B)A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)(2024·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝12，AB＝2，若四面体A－B1CD1的外接球的表面积为S，则SA．8π B．9πC．16π D．32π