2024-2025学年新教材高中数学2直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程课后素养落实含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十八)圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25D[圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(5－12＋5－22)＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.]2．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)的位置关系是()A．点在圆上 B．点在圆内C．点在圆外 D．不能确定C[因为sin230°＋cos230°＝1>eq\f(1,2)，所以点在圆外，故选C．]3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为()A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1C．(x－3)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1A[设圆心坐标为(0，a)，∵圆的半径为1，且过点(1,3)，∴(0－1)2＋(a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圆的方程为x2＋(y－3)2＝1.]4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B．{－1,1}C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1<a<1.故选C．]5．圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3,0)和B(1,0)的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5B．(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\r(5)C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋1)2＋(y－1)2＝eq\r(5)A[由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1,1)．又A(－3,0)，半径r＝|AM|＝eq\r(－1＋32＋1－02)＝eq\r(5).则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.]二、填空题6．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则eq\r(x－12＋y－12)的最大值为________．1＋eq\r(2)[eq\r(x－12＋y－12)的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为eq\r(2)＋1.]7．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________．(x－2)2＋(y＋3)2＝13[易知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得圆的半径为eq\r(13)，因为圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]8．圆(x＋1)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的标准方程为________．x2＋(y＋1)2＝5[圆(x＋1)2＋y2＝5的圆心坐标为(－1,0)，它关于直线y＝x的对称点坐标为(0，－1)，即所求圆的圆心坐标为(0，－1)，所以所求圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝5.]三、解答题9．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1)，AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，点T(－1,0)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．[解](1)因为AB边所在直线的方程为x－2y－4＝0，且直线AD与直线AB垂直，所以直线AD的斜率为－2.又因为点T(－1,0)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－0＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2，))所以点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1)，所以M为矩形外接圆的圆心．又|AM|＝eq\r(2－02＋1＋22)＝eq\r(13)，从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13.10．已知A(0,1)，B(2,1)，C(－1,2)，能否确定一个圆？若能，推断D(3,4)与该圆的位置关系．[解]由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆．设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,－1－a2＋2－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5，))所以经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.把点D的坐标(3,4)代入圆的方程的左边，得(3－1)2＋(4－3)2＝5.所以点D在经过A，B，C三点的圆上．所以A，B，C，D四点在同一个圆上，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.1．(多选题)若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,13)C．－eq\f(1,13) D．－eq\f(1,2)AD[过P可作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>eq\f(1,13)或m<－eq\f(1,13)，可知AD可能．]2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1A[由题意可知圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(－2,1)，半径为1，所以其关于原点对称的圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为1，所以所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.]3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m改变时，圆C上的点到原点的最短距离是________．1[由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝eq\r(22＋4－m2)－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.]4．已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点P(1,2)对称，则直线AB的方程为________．3x＋y－3＝0[圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0,1)，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则直线经过圆心(0,1)，∴a＝3.又若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)中心对称，则CP⊥AB，P为AB的中点，∵kCP＝eq\f(2－1,1－0)＝1，∴kAB＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2