2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制2教案新人教A版必修第一册

PAGE5.1.1随意角本节课选自《一般中学课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第五章《三角函数》，本节课是第1课时，本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示法。树立运动改变的观点,并由此进一步理解推广后的角的概念。教学方法可以选用探讨法,通过实际问题，如时针与分针、体操等等都能形成角的流念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确规定角的概念，通过详细问题让学生从不同角度理解终边相同的角,从特别到一般归纳出终边相同的角的表示方法。课程目标学科素养A.了解随意角的概念；B.驾驭正角、负角、零角及象限角的定义，理解随意角的概念；C.驾驭终边相同的角的表示方法；D.会推断角所在的象限。1.数学抽象：角的概念；2.逻辑推理：象限角的表示；3.数学运算：推断角所在象限；4.直观想象：从特别到一般的数学思想方法；1.教学重点：随意角的概念，象限角的表示；2.教学难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，温故知新1.初中学过角的概念，范围是多大?【答案】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。探究新知（一）角的概念1.思索：（1）.体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？（2）.经过1小时，秒针、分针各转了多少度？（3）.在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？2.角的概念：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.3.角的构成要素：终边、始边、顶点。4.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；假如一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.这样，我们就把角的概念推广到了随意角.【解析】6.7、把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反数。。（二）、象限角思索1：为了进一步探讨角的须要，我们常在直角坐标系内探讨角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个随意角，角的终边可能落在哪些位置？思索2:假如角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限的角？【解析】第四象限角第一象限角第三象限角其次象限角轴线角思索3：其次象限的角肯定比第一象限的角大吗？【解析】象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.（三）、终边相同的角思索1：-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？【解析】都是第四象限角，这些角相差3600的整数倍数。思索２：全部与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？【解析】思索3：一般地，全部与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？【解析】S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例1.在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.【解析】所以在范围内，与所以它是其次象限角。思索4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？【解析】x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z。例2.写出终边在y轴上的角的集合.解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，全部与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.而全部与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来.【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有：-315°，-135°,45°,225°,405°,585°.通过复习初中角的概念，引入本节新课。建立学问间的联系，提高学生概括、类比推理的实力。通过思索引入角的概念，提高学生的解决问题、分析问题的实力。通过画正角、负角，让学生进一步理解随意角的概念，提高学生分析问题、概括实力。通过思索，让学生理解象限角的概念，提高学生解决问题的实力。通过思索，进一步理解象限角的概念，提高学生解决问题的实力。通过思索，让学生视察终边相同的角之间的关系，提高学生的视察、概括实力。通过例题的讲解让学生进一步理解终边相同的角，提高学生解决与分析问题的实力。三、达标检测1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．2．下列各个角中与2019°终边相同的是()A．－149° B．679°C．319° D．219°【答案】D【解析】因为2019°＝360°×5＋219°，所以与2019°终边相同的角是219°.3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【解析】视察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并推断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【解析】(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．通过练习巩固本节所学学问，提高学生解决问题的实力，感悟其中蕴含的数学思想，增加学生的应用意识。四、小结1.角的定义；2.角的分类：正角、零角、负角；3.象限角;4.终边相同的角的表示法。五、作业习题5.11.（3）,2.（4）（7）,3题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括实力,提高学