考点46磁场对运动电荷的作用（核心考点精讲分层精练）

考点46磁场对运动电荷的作用

1.3年真题考点分布

题型选择题、解答题

1.对洛伦兹力的理解；带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；带电粒子在有界

高考考点

边界磁场中的运动；带电粒子在圆形有界磁场中的运动

全国乙卷24题、天津卷13题、北京卷13题、山东卷17题、上海卷13

2023题、海南卷13题、浙江卷22题、湖北卷15题、辽宁卷14题、全国甲卷20

题、浙江春招卷22题

北京卷14题、北京卷7题、天津卷12题、辽宁卷8题、浙江卷22题、广

新高考2022

东卷8题、全国甲卷18题、全国乙卷21题、湖北卷8题

辽宁卷15题、湖北卷9题、海南卷13题、广东卷14题、全国乙卷16题、

2021全国甲卷25题、海南卷13题、河北卷14题、北京卷12题、山东卷17

题、

2.命题规律及备考策略

【命题规律】近3年新高考卷对于本节内容考查共计30次，主要考查：

I.对洛伦兹力的理解；

2.带电粒子在匀强磁场中的圆周运动；

3.带电粒子在有界边界磁场口的运动；

4.带电粒子在圆形有界磁场e的运动

【备考策略】理解电容器的充放电现象，并能根据充放电现象判断电容器的动态变化情况；掌握带电粒子在

电场中的受力分析方法，判断带电粒子在电场中的偏转情况和运动情况；熟练掌握平抛运动的

特点和规律，正确应用牛顿第二定律解决类平抛问题。

【命题预测】本节内容较多，难度偏大，在高考题中主要以亚洲提到额形式出现，主要考察洛伦兹力在有界

和无界磁场中的的应用问题。要求2024年考生必须掌握左手定则，构建圆周运动模型，培养科

学的物理观点和学科素养，激发对科技的求知探索精神。

考法1对洛伦兹力的理解

1.洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力.

2.洛伦兹力的方向

(1)判定方法

左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；

四指---指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向;

拇指——指向洛伦兹力的方向.

（2）方向特点：FYB,F±v,即F垂直于B和」决定的平面（注意:洛伦兹力不做功）.

3.洛伦兹力的大小

（1）y〃B时，洛伦兹力尸=0.（。=0。或180。）

（2）y_L8时，洛伦兹力尸="8.（。=90。）

（3）u=0时，洛伦兹力尸=0.

4.洛伦兹力的特点

（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速

度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功.

（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.

（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向.

5.洛伦兹力与安培力的联系及区别

（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力.

（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.

【典例1】（2023•海南•统考高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，

关于小球运动和受力说法正确的是（）

A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右B.小球运动过程中的速度不变

C.小球运动过程的加速度保持不变D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功

【答案】A

【详解】A.根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；

BC.小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC错误；

D.洛仑兹力永不做功，D错误。

故选Ao

磁场的理解

I.磁感应强度是矢量，其方向与导线所受力的方向垂宜；

2.电流元必须垂直于磁场方向放置，公式8=9才成立；

3.磁场中某点的磁感应强度是由磁场本身决定的，与通电导线受力的大小及方向都无关.

【变式1】（2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考一模）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场

方向垂直纸面向里。〃、b、c三个带电粒子，它们在纸面内从尸。边的中点垂直于PQ边射入磁场，图中画

出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（）

A.粒子°带负电，粒子6、c带正电

B.若三个粒子比荷相同，则粒子。在磁场中的加速度最大

C.若二个粒子入射的速度相同,则粒子。在磁场中的加速度最大

D.若三个粒子入射的动量相同，则粒子b的带电量最大

【答案】C

【详解】AB.由左手定则可知。带正电，b、c带负电，由图可知凡＞此＞（，由粒子在磁场中的运动时

洛伦兹力提供加速度有4田二”（二加。，解得，R宁,。=噜

若三个粒子比荷相同，则粒子c在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故AB错误；

C.若三个粒子入射的速度相同，则粒子c的比荷最大，粒子。在磁场中的加速度最大，故C正确；

D.若三个粒子入射的动量相同，则粒子c的带电量最大，故D错误。

故选Co

【变式2］（2023•辽宁大连•大连八中校考模拟预测）如图甲所示，一带电物块无初速度地放上与水平

面成。角的传送带底端，传送带以恒定大小的速率沿顺时针方向传动，该装置处于垂直纸面向里的匀强磁

场中，物块由传送带底端E运动至顶端厂的过程中，其M图像如图乙所示，物块全程运动的时间为

4.5s,关于带电物块及该运动过程的说法中正确的是（）

A.该物块带正电

B.传送带的传动速度大小一定为lm/s

C.物块与传送带间的动摩擦因数〃可能等于tan。

D.在2s〜4.5s内，物块与传送带可能有相对运动

【答案】AD

【详解】A.由图乙可知，物块做加速度逐渐减小的加速运动。对物块进行受力分析可知，开始时物块受

到重力、支持力和摩擦力的作用，设动摩擦因数为〃，沿斜面的方向，-mgsinAm.

物块运动后，又受到洛伦兹力的作用，加速度逐渐减小，物块的加速度逐渐减小，一定是心逐渐减小，

而开始时，&=wgcos。，后来，&=〃?gcose-e

洛伦兹力垂直传送带向上，由左手定则判断物块带正电，故A正确；

C.物块加速运动时，mgsin0=nui

所以可知，故C错误；

BD.对物块受力分析如图

加速度为零时，有，sin^=//（mgcos＜9-qvB）

umgcos0-mgsin0,.

解得，了=匕力----二芭——=lm/s

只要传送带的速度与之lm/s,物块就能匀速运动，物块相对于传送带可能静止也可能不静止，故B错

误，D正确。

故选ADo

考法2带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1.匀速圆周运动的规律

若^_18,带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度u做匀速圆周运动.

（1）基本公式：qvB=nr^

⑵半径“蜀

周期7=当27tm

(3)

2.圆心的确定

（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射

方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆山（如图I甲所示，尸为入射点，M为出射点）.

（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，

作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图乙所示，P为入射点，M为出射点）.

3.半径的确定

可利用物理学公式或几何知识（勾股定理、三角函数等）求出半径大小.

4.运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为0时,其运动时间表示为或

产.

v‘

5.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路

【典例2】（2023♦天津•统考高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1,其可以通过在

相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电

子质量机，带电量6。

（1）如图2,在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为&方向平行Z轴。极板间电压U极

小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2个电子。和从其初速度方向分别在xOy与zOy

平面内，且与y轴正方向成。角，则：

（i）判断8的方向；

（ii）a、力两个电子运动到下一个极板的时间乙和L;

（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出b个电子，且SocU,阳极

处接收电子产生的电流为/,在答题纸给出坐标系里画出表示U和，关系的图像并说出这样画的理由。

【答案】⑴5）沿z轴反方向；（团）公文二学竺，（2）见解析

eB~eB

【详解】（1）（团）。电子，初速度方向在my平面内，与y轴正方向成〃角；若磁场方向沿z轴正方向，

。电子在洛伦兹力作用下向k轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力

作用下向x轴正方向偏转，符合题意；

。电子，初速度方向在切丁平面内，与），轴正方向成。角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度

与磁感线平行不受力，沿），轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可

知，磁场方向沿z轴反方向。符合题意；

综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。

（囿）。电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间，

2（--0（--6＞）（叼

20兀m（乃-20）m

t.=---2----1.=--2---------=---------

2TTTTeBeB

b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电

子向右偏转，电子运动半个圆周到下•个极板的时间，r,二g『二W

（2）设b=单位时间内阴极逸出的电子数量No不变，每个电子打到极板上可以激发3个电子，经过

〃次激发阳极处接收电子数量，N=N0”=N.（kUy=N°kU

nnnn

对应的电流，I=N，=e.NokU=（eNok"）I!=AU

可得AU图像如图

【变式】（2023•湖南永州♦湖南省道县第一中学校考模拟预测）利用电磁场改变电荷运动的路径，与光

的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在坐标平面上，第三象限存在着方向沿），轴正

方向的匀强电场，电场强度大小为反在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第

四象限向里，磁感应强度大小均为8（未知）。在坐标点（0,-y）处有一质量为机、电荷量为4的正电

粒子，以初速度出噜沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重

力。求：

（1）粒子第一次进入磁场时的速度也

（2）磁感应强度8的大小。

【答案】（1）丫=2芈^,与x轴负方向夹角呈30；（2）8=/普

【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向有=g=#,vy=at

末速度为，7*+*，联立得，v=2樗

设丫与X轴负方向夹角氏则有，tan”上

%

解得，6=30。

（2）平抛过程水平方向位移，x=vQt

粒子进入磁场后轨迹如下图，由几何关系可得，R=

sin。

洛伦兹力提供向心力，qvB=m[

解得，B假

考法3带电粒子在有界磁场中的运动

处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧

从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”"最大至少''"不脱离'’等词语，挖掘其隐藏的规

律.

1.刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、

轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值.

2.当速度v一定时，弧长（或弦长）越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长（前提条件

是弧是劣弧）.

3.当速率变化时，圆心角大的，运动时间长.

4.在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端

点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦长中直径最长）.

角度1：直线边界磁场

【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性（如图所示）

图a中粒子在磁场中运动的时间.=,=啜

图b中粒子在磁场中运动的时间鬻=2%。）

图C中粒子在磁场中运动的时间需

【典例3】（2023•浙江•统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，

。孙平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域团和团，其中区域存在磁感

应强度大小为3」的匀强磁场，区域也存在磁感应强度大小为&的磁场，方向均垂直纸面向里，区域国的下

边界与x轴重合。位于（0,3L）处的离子源能释放出质量为用、电荷量为外速度方向与x轴夹角为60。的正

离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。

（1）求离子不进入区域团的最大速度口及其在磁场中的运动时间t；

（2）若与=2与，求能到达》二^处的离子的最小速度以；

（3）若与=§），，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在酗~酗范围，求进入第四象限

Lmm

的离子数与总离子数之比小

.不d、/、2B.qL,2兀mAB.qL/、

【答案】（1）v,=—些一；（2）v,=—（3）60%

tn5qb\in

【详解】（1）当离子不进入磁场（2速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系，/；cos60=rx-L

解得，r/=2L

根据，伏蜴”工，解得匕=竺此

（m

在磁场中运动的周期丁=爷

qB、

、-+2x602mn

运动时间，f=T=^~T

3603qB1

mv

（2）若&=24/,根据，^,=—»可知（=20

qB

粒子在磁场中运动轨迹如图，设。。2与磁场边界夹角为a,由几何关系qsina-/;sin30=L,

L

r2-r2s\na=-

3

解得，r2=2L,sina=—

4

根据农2员=〃?*■

r2

解得，“典

m

（3）当最终进入区域团的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理，修吗加=欣^

即~wAy—mAvx

求和可得

粒子从区域回到区域团最终到X轴上的过程中，讯吁UCOS60）=瓦班+?•殍•亚

解得丫=四无，则速度在阴眩~竺必:之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在

tntnm

驯~竺匹，乂粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的

mm

比例为

/7=60%

角度2：平行边界磁场

【运动模型】

平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间九=望，，2=§=常

图b中粒子在磁场中运动的时间1=

图C中粒子在磁场中运动的时间

…-5=（7卷=呻

图d中粒子在磁场中运动的时间1=57=密

【典例4】（2023•全国•统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy

平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由。点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射

出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点：SP=l,S与屏的距离为与x轴

的距离为或如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则

会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（）

EEBB

A.B.—7C.rD.—y

2aB2uB22aE2（iE2

【答案】A

【详解】由题知，一带电粒子由。点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一•侧的S点射出，

则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30。，贝iJsin30=—

r

解得粒子做圆周运动的半径，r=2a

2

则粒子做圆周运动有，qvB=m—

r

则有，旦=7彳

tn2a-B

如果俣持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达

接收屏，则有，Eq=qvB

联立有，-=T^

m2aB

故选Ao

角度3：三角形边界磁场

【典例5】（2023・湖南•统考高考真题）如图，真空中有区域团和团区域田中存在匀强电场和匀强磁场，电

场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CG产区域（区域田）内存在匀

强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与G尸垂直，且与电场和磁场方

向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域由中，只有沿直线AC运动的粒子才

能进入区域机若区域团中电场强度大小为七、磁感应强度大小为区域（3中磁感应强度大小为则粒

子从C尸的中点射出，它们在区域团中运动的时间为如若改变电场或磁场强弱，能进入区域团中的粒子在

区域（3中运动的时间为不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（）

A.若仅将区域回中磁感应强度大小变为2B/,则/＞打

若仅将区域回中电场强度大小变为2E,则t＞to

若仅将区域团中磁感应强度大小变为包反，贝打=白

D.若仅将区域团中磁感应强度大小变为当与，贝卜=夜1。

【答案】D

【详解】由题知粒子在AC做直线运动，则有，qvoBkqE

区域团中磁感应强度大小为%,则粒子从C尸的中点射出，则粒子转过的圆心角为90。，根据

A.若仅将区域田中磁感应强度大小变为2M则粒子在AC做直线运动的速度，有qvA-2B尸qE

贝山吟

再根据4田=相匕，可知粒子半径减小，则粒子仍然从C尸边射出，粒子转过的圆心角仍为90。，则l=

r

A错误；

B.若仅将区域团中电场强度大小变为2£则粒子在4C做直线运动的速度，有qvBBkq,2E

则vB=2vo

2

再根据4话=〃7匕，可知粒子半径变为原来的2倍，则粒子尸点射出，粒子转过的圆心角仍为90。，则/=

r

totB错误;

C.若仅将区域田中磁感应强度大小变为造鸟，则粒子在AC做直线运动的速度仍为四，再根据

v24

qvB=my,可知粒子半径变为原来的方＞2,则粒子从。尸边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图

可知转过的圆心角9=60。，根据=m4―，有等，则/=%，C错误；

T29祖9

D.若仅将区域反中磁感应强度大小变为也与，则粒子在AC做直线运动的速度仍为孙再根据

24

4VB=m亍v，可知粒子半径变为原来的耳＞2,则粒子0b边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图

可知转过的圆心角为a=45。，根据0归=/〃竽r,

则，=及%,D正确。

故选Do

角度4：矩形边界磁场

【典例6】（2023•四川内江•四川省资中县第二中学校考模拟预测）如图所示，边长为L的正方形区域

ABC。内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为瓦一带电粒子以速度V从。点射入磁场，速度

方向与8边夹角为60。，垂直边射出磁场，则下列说法正确的是（）

A.粒子一定带正电B.粒子的比荷为叵

BL

C.粒子在磁场中的运动时间为名酶D.减小粒子的速度，粒子不可能从CD边射出

9v

【答案】C

【详解】A.由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带负电，故A错

误；

B.如图所示

根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径，r=—^=^L

cos303

根据洛伦兹力提供向心力q阳二加二

r

联立解得粒子的比荷幺=叵，故B错误;

tn2BL

C.由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为60。，粒子在磁场中的运动时间

271r60°2丛冗L尸

t=——x——=-------,故C正确；

v3609v

D.根据9/8=可得r二f

rqB

可知速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，由作图法可知当速度减小到一定值时，粒子可以从

8边射出，故D错误。

故选C。

【变式1】（2022•河南商丘•统考模拟预测）如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1

从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经〃时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图

示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经12时间从a、6连线的中点c离开磁场，则?为（）

<2

32

A.3B.2C.D.

23

【答案】A

【详解】粒子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示

电子1垂直射进磁场，从8点离开，则运动了半个圆周，〃〃即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂

直磁场方向射入磁场，经/2时间从。、b连线的中点C离开磁场，根据4田=丝1

r

mv

得，轨迹半径—二下

qB

可知粒子1和2的半径相等，根据几何关系可知，川久为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60。，所

以粒子1运动的时间4=彳=W

2qB

粒子2运动的时间％=1=篝

osqts

所以，=3

故选A。

【变式2】（2023•甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为心磁感应强度大小为8的

有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界。处有一个粒子源，沿与边界成60。

角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度-射入

的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的《。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，

则下列判断正确的是（）

V

A粒子的比荷为叩瓦

4/rI

B.粒子在磁场中运动的周期为三

V

C.在下边界有粒子飞出的长度为6L

D.从上边界飞出的粒子速度大小范围为（G-lW~v

【答案】AD

【详解】AB.速度最大的粒子在磁场中运动的时间为其做圆周运动周期的卷,运动轨迹如图所示

圆心为Oi，其圆弧所对圆心角为30。，由几何关系得，/?sin30°+L=/?cos30°

解得R=（x/5+l）L

2

由洛伦兹力提供向心力有qvB=

R

q一v

解得粒子比荷7=（石+］）也

粒子在磁场中运动的周期丁=型&=2（6+1）吗,故A正确，B错误：

vv

D.当粒子轨迹恰好与上边界相切时，刚好不从上边界飞出，运动轨迹如图，圆心为。2。设这种情况下粒

子速度大小为H，半径为"，由几何关系得，N=L+R1Sin30。

解得，R=2L

由洛伦兹力提供向心力有伏出二加去

解得W=（V5T卜

可知粒子从上边界飞出的粒子速度大小范围为（6-1>~口，故D正确；

C.下边界有粒子飞出的长度为X=2NCOS300=2>/53故C错误。

故选ADo

【变式3】（多选）（2023•湖北荆州•沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形A8C区域内有垂直纸

面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为7,N8为一群比荷为幺的带负电粒子以相同速度从

0m

。点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从A8边射出，已知从8c边垂直射出的粒子在磁场

中运动的时间为5外,在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2乙），则（）

5乃,〃

A.磁感应强度大小为寸-

12g%

B.粒子运动的轨道半径为由/

3

c.粒子射入磁场的速度大小为岁以

42fo

D.粒子在磁场中扫过的面积为+3%）?

49

【答案】AC

【详解】A.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是严由

_2.T/n,1_2jttn16

T=----,得一T=-----x-=-L

被付4qB450

„57rm

解得3=丁;，故A正确;

12%

B.设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为"则有a7=2，。

得

6

R

画出该粒子的运动轨迹如图’设轨道半径为兄由几何知识得诉+R8S3。。:/

可得/?=手/，故B错误;

c.粒子射入磁场的速度大小为了=迎=斐包，故C正确；

m42%

D,射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为s=L；rR2+R.R8s3(r=皎也『，

449

故D错误。

故选AC。

【变式4】(2023•安徽•模拟预测)如图，一个边长为/的正方形MNPQ区域内存在垂直于纸面向外的匀强

磁场，磁感应强度大小为屏现有一质量为相、带电量为4(4＞。)的粒子以某一速度从M点垂直于磁场射

入，粒子恰好从尸。的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与例。的夹角为60。，不计粒子重

力，粒子射入磁场的速度大小为()

A(1073-5)^/B。。6+5)夕切c(6-1)夕加口(G+1)夕回

22m22mmm

【答案】B

【详解】根据题意作出粒子运动轨迹如图

L

由题可知a=30。，根据几何关系有821

tanU=—=-

/2

则初六二尸+(/

-MK

粒子运动的轨迹半径为R=2

cos(a+0)

根据洛伦兹力提供向心力有qvB=吟

联立解得八照陋

22m

故选Bo

考法4带电粒子在圆形有界磁场中的运动

1.沿半径方向入射

(1)若粒子沿半径方向入射，则出射方向方向的反向延长线必过圆心；

(2)对同种粒子，在同一匀强磁场中运动时，圆心角越大，则运动时间越长;

2.一般解题步骤

（1）画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心;

（2）求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径）

（3）确定运动时间（注意多解问题）

角度1：沿半径方向入射

X

xX

fyDD

正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有的二二-3磁偏转半径尸=——,根据半径

tan—

2

mvamcxR

公式尸二8n求解；时间r=—=—,速度V越大与磁偏转半径「越大3圆心角a越小少时间t越短。若

qBqB%

r=R,构成正方形。

【典例7】（多选）（2023•全国•模拟预测）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为。的圆形区域内充满

磁感应强度为8的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，

OM=ON=RR,从圆形磁场最高点P沿尸。方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带

电荷量均为4、质量均为机且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒

子，下列说法正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的最长时间**=呼

4Bq

B.打在收集板上的粒子的最大速率%=幽生

C.整个过程中位移最小的粒子速率叫驯

m

D.整个过程中位移最小的粒子运动的时间”婴+侬

3BqBq

【答案】AD

【详解】A.如图甲所示，设出射点为P'粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为。，根据几何关系有

3

粒子射到M点时，NP。产最小，6最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知emaxMT产

4

因为周期丁二等^

所以,喂T

则Z篇,故A正确;

B.设粒子在磁场中运动的轨迹半径为八根据几何关系有lang/PO产=£

2R

3

粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大40N7

根据洛伦兹力提供向心力有帆，8=生匕

r

联立解得v=——tan—7T,故B错误;

mm8

C.整个过程中粒子位移大小为尸到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙所示，设位移最

短时打在。点，P31MM根据儿何关系有。0=6/?，O'Q=R，/POQ=g,r0=Rian-=^-R

3Q63

位移最小的粒子的速率为=」警，又QQ=2R-R=R

故位移最小的粒子运动的时皿=篝+色篝+需故C错误，D正确。

故选ADo

【典例8】（2023•山东•统考二模）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未

画出），磁感应强度B,一比荷为"的带正电粒子，从圆形磁场边界上的4点以%=色电的速度垂直直径

mm

MN射入磁场，恰好从N点射出，且NAQV=120°,下列选项正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的时间为，=端

B.粒子从N点射出方向竖直向下

C.若粒子改为从圆形磁场边界上的。点以相同的速度入射，一定从N点射出

D.若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为$=叵&

2

【答案】C

【详解】A.粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为了=等

Bq

四边形AONP的圆心角为a=ZAPN=ZAON

粒子在磁场中运动的时间为，=fr=,故A错误：

2乃3Bq

B.粒子在磁场中速度偏转120,从N点射出方向是与竖直方向呈30,故B错误；

C.若粒子改为从圆形磁场边界上的。点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由

几何知识可知一定从N点射出，故C正确；

D.若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为

Sjz卫

故D错误。

24

故选Co

角度3:带电粒子沿不同方向入射

【典例9】（多选）（2022•全国•模拟预测）如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板的上方d处，能

够在纸面内向各个方向发射速率为丫、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑

粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d,则（）

A.磁感应强度的大小为:

B.磁感应强度的大小为白

kd

C.同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为等

6v

D.同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为警

6v

【答案】BC

【详解】AB.根据牛顿第二定律，=1nl

d

根据题意”=?解得六巳,A错误’B正确；

CD.同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示

粒了,运动的周期为，T=----

最大时间差为4='x-gn，解得，^=—，C正确，D错误。

6v

故选BCo

⑴若入射速度沿半径方向，则出射速度反向延长线必过圆心

（2）若粒子做圆周运动的轨道半径与圆形磁场的半径相等，则从同一点沿不同方向入射的粒子出射方向相同.

（3）同种粒子在圆形有界磁场中运动的时间与轨迹长短无关，由圆弧所对的圆心角决定；

【变式1】（2023•贵州毕节•统考三模）圆形区域内有垂直圆面的匀强磁场，质量为加、电荷量为q的带电

粒子从圆周上的某点以不同速度沿直径方向射入磁场。第一次离开磁场时速度方向偏转90。，第二次离开

磁场时速度方向偏转60。，不计重力。则第一次与第二次的入射速度大小之比为（）

A.）B.—C.—D.73

232

【答案】B

【详解】设圆形区域磁场半径为R,磁感应强度为带电粒子射入磁场的速度为人带电粒子在磁场中

的轨道半径为，第一次离开磁场时速度方向偏转角度为0;由洛伦兹力提供向心力可得q田=加匕

r

可得「也

m

nR

由几何关系可得tan：=2

2r

qBRI

联立可得

mtan—tan—

22

60°

tan—苗

则第一次与第二次的入射速度大小之比为」=—需=咚

为tan组3

2

故选Bo

【变式2】（2023•山东•模拟预测）如图所示，圆形匀强磁场区域的半径为R,磁感应强度大小为民方向

垂直于纸面向里。一带电荷量为一e、质量为用的电子在纸面内从。处沿与半径。。成6=30。角的方向射入

磁场区域，电子射出磁场时的速度方向与射入磁场时的垂直，下列说法正确的是（）

A.电子在磁场中运动的时间为转

2eB

B.电子的速度大小为且空

2m

C.电子在磁场中的运动轨迹长度为叵IR

4

D.若只增大电子的入射速度，则电子在磁场中运动的时间一定减小

【答案】ACD

【详解】A.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为

qB

电子在磁场中的运动时间为/=巴，A正确；

3602eB

B.电子做圆周运动的轨迹圆圆心为C,如图所示（连接0、C）

由对称性可知，。+。=90-6,可得，。=90-26=30

设电子做圆周运动的轨迹半径为r,由几何关系有Rsina+rsinO=nos0

可得「=Rsina=3里R

cosO-sin。2

由64二也《，得八绝二曲山叫B错误；

rm2m

C.轨迹长度s=90.2—=♦+1兀犬，C正确；

3604

D.若只增大电子的入射速度.轨迹半杼r增大.出射点〃向左移,弦时与初速度v方向间的夹角减小.

轨迹对应的圆心角减小，电子在磁场中运动的时间减小，D正确。

故