解析2021届福建省三明市普通高中高三毕业班三模数学试卷

2021届福建省三明市普通高中高三毕业

班三模数学试题

一、单选题

1.已知集合人={,—l<x<3},B={x|2x-l<0},则406=（）

A.sx|—l<x<——?B.<x|—l<x<—z

^x|——<x<3

C.

答案：B

【分析】化简集合3,根据交集的概念运算可得结果.

解：B={x|2x-l<0}={x|x<1},

A^\B={x|一1<x<g}.

故选：B

2.已知i为虚数单位，若复数z满足目-z=2+4i,则z在复平面内对应的点的坐标

为（）

A.（3,4）B.（-3,4）C.（3,T）D.（―3,T）

答案：C

【分析】设2=。+初（a力eR）,则由已知可得（而行"一a）—4=2+4"从而得

"2,可求出。泊的值，进而可得答案

-b=4

解：解：设2=。+初（a/eR）,则由|z|—z=2+4"得

J/+/一（^+4）=2+4,，即（J/+/一a）一次=2+4z-

y/a2+b2-a=2a—3

所以<解得

—b=4b=Y

所以z=3—4，，所以z在复平面内对应的点的坐标为（3,T）,

故选：C

3.某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.

统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍,且高收入市民中每年

有40%会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比

是（）

A.60%B.70%C.80%D.90%

答案：C

【分析】设原来低收入市民人口为。，则高收入市民人口为2a,设该市每年低收入市

民中转变为高收入市民的百分比为X%,然后由题意列方程可求得结果

解：解：设原来低收入市民人口为。，则高收入市民人口为2a,设该市每年低收入市

民中转变为高收入市民的百分比为％%，

则由题意可得2a-2a-40%+a-x°/o=2（a-a-x°/o+2a-40%）,

解得x=80,

故选：C

4.（1+2矶必一2『展开式中V的系数为（）

A.-160B.-80C.80D.160

答案：A

【分析】由于（公-2）5展开式中x的次数均为偶次，所以（l+2x）（》2—2『展开式中V

的系数为（x2-2）5展开式中一系数的2倍，从而可求出答案

解：解：因为（必-2）5展开式中x的次数均为偶次，

所以（1+2x）（x2-2『展开式中x5的系数为（%2-2）5展开式中x4系数的2倍,

（犬_2）5展开式的通项公式为心严（_2），=G（—2）Y°-2"令10—2r=4,

得厂=3,

所以（l+2x）H-2）5展开式中V的系数为2C；（-2）3=-160,

故选：A

5.若函数y=/（x）的大致图象如图所示，则/（无）的解析式可能是（）

A./卜）=后B./（》）=而

C-"常小）=二

答案：C

【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案

解:解:由图可知，当xe（O,l）时，f（x）＜0,

1

所以排除B,对于D,

1

/'(g)=3~=g〉0,所以排除D,

Y11

当x＞0时，对于A,/（%）=^=1+——，此函数是由尸—向右平移1个单位,

x-1X-1尤

再向上平移1个单位，所以尤＞1时，恒成立，而图中，当时，f（x）可

以小于1，所以排除A,

故选：C

6.“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法.甲，乙，丙，T,戊，己，庚，辛，壬,

癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥被称为“十二

地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序

为：甲子，乙丑，……，癸酉，甲戌，乙亥，……壬戌，癸亥，甲子，……，周而复始,

循环记录，此为干支纪年法.十三届全国人大四次会议审查的《国民经济和社会发展第

十四个五年规划和2035年远景目标纲要（草案）》提出，展望2035年，中国将基本实

现社会主义现代化.已知1901年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支纪年

法”中的（）

A.甲寅年B.乙卯年C.丙辰年D.丁巳年

答案：B

【分析】根据干支纪年法，知60年为一循环，然后由1901年至2035年，利用周期求

解.

解：由题意得干支纪年法，60年为一循环，

因为2035-1901=134,

所以经历了2个60年循环，又经历了14年，

则“十天干”中的“辛”过了14年后为“乙”，

“十二地支”中的“丑”过了14年后为“卯”，

故选：B

7.某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间，并进

行初步处理，得到频率分布表如下（T表示通行时间，单位为分钟）：

通行时间15<T<2020<T<2525<r<3030<T<3535<T<40

频率0.10.30.30.20.1

该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响

应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生

选择骑自行车，当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率，根据样本估计总体的

思想，对唐先生上班通行时间的判断，以下正确的是（）

A.开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟

B.开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01

C.选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟

D.若选择骑自行车和开小车的概率相等，则平均通行时间为28.5分钟

答案：D

【分析】对于A,由频率分布表可知中位数在［25,30）内，若设中位数为则有

03

0.1+0.3+—（a-25）=0.5,从而可求出中位数进行判断；对于B,由频率分布表可

知开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为1；对于C,由频率分布表求出开

小车平均通行时间，然后再比较即可；对于D,直接求解平均时间即可

解：解：对于A,由频率分布表可知中位数在［25,30）内，若设中位数为则有

Q3Q0

0.1+0.3+—（«-25）=0.5,解得a=？-w27.5,所以A错误；

对于B,由频率分布表可知开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为1,所以

B错误；

对于C,由频率分布表可得开小车平均通行时间为

0.1X17.5+0.3X22.5+0.3X27.5+0.2x32.5+0.1x37.5=27,所以选择骑自行车比

开小车平均通行时间至少会多耗费3分钟，所以C错误；

27+30

对于D,由上面的计算可知平均通行时间为———=28.5,所以D正确，

2

故选：D

8.在三棱锥S—ABC中，侧棱&4,SB,SC两两垂直，且5A+SB=SC=2.设

=该三棱锥的表面积为函数y=/(x),以下判断正确的是()

A./(尤)为常数B./(九)有极小值

C./(%)有极大值D./(%)是单调函数

答案：A

【分析】根据位置和长度关系先写出△出LB/S4cAs5C的面积，再根据三角形的面积

公式S=ACsin/BAC求解出S^ABC,由此可计算出/(%)的解析式并进行判

断.

解：由已知条件可知：xe(O,2),

17Y—Y21

CX

因为5SAB=--x-（2-x）=——，%=5-2=

22乙

S^sbc=/，（2-X），2=2-x,

AB=7&42+SB2=V2x2-4x+4，AC=\ls^+SC2=7x2+4

BC=y/SB2+SC2=J（2-H+4=V^2-4X+8，

研+3—叱

所以cosABAC-

2ABAC

J（九2+4）（2x2-4%+4）—九4

所以sin/BAC

J九2+4♦,2尤2—4%+4

所以

+4（X-2）2+X2（X-2）2

sinABAC-

yjx2+4-V2x2-4x+4^x2+4-V2x2-4x+4

所以sm/BAC=/6萼12)+加一尤=-2x+4，

VX2+4-V2X2-4X+4VX2+4-A/2X2-4X+4

1元2—9Y+4

所以，

s△ADRCC=2-ABACsinZBAC=-------2------

CCI1.j.(\2x—x-与x~-2x+4

所以/(x)=——Fx+2—xH-------------=4,

所以/(九)为常数函数，

故选：A.

关键点点睛：解答本题的关键在于I"。的求解，通过借助勾股定理、三角形的面积公

式以及同角的三角函数的基本关系，求解出S-BC关于》的表示，本例对于计算能力要

求很高.

二、多选题

9.设P是钻内部(不含边界)的一点，以下可能成立的是()

A.OP=-OA+-OBB.OP=-OA+-OB

5555

C.OP=-OA+-ABD.OP=-OA+-AB

5555

答案：AC

【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.

解：对于A：如下图所示，可知尸在△Q45内部，故成立；

对于B：如下图所示，可知P在AOAB外部，故不成立;

如下图所示，可知P在△。钻内部，故成立;

如下图所示，可知P在△。钻外部，故不成立;

故选：AC.

关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中

CD选项中的向量关系式要根据AB=AO+OB进行化简.

10.对于给定的异面直线加、"，以下判断正确的是（）

A.存在平面々，使得nLa

B.存在直线/,使得/同时与加、〃垂直且相交

C.存在平面e、0,使得根ua,〃u，，且。〃分

D.对于任意点A,总存在过A且与〃2、〃都相交的直线

答案：BC

【分析】利用反证法可判断A选项的正误；利用两异面直线存在公垂线可判断B选项

的正误；利用面面平行的性质可判断C选项的正误；假设点A既不在直线m上，也不

在直线”上，则点A与直线加可确定平面a,结合图形可判断D选项的正误.

解：对于A选项，若存在平面a,使得则相/小，与题设条件矛盾，

假设不成立，A选项错误；

对于B选项，作直线。，使得a〃八且。门7〃=A,则直线。、加确定平面戊，如下图

所示：

过点A作直线〃，使得b_La.

①若力与九相交，则直线b即为所求作的直线/,

•raua,mua,所以，b±a,b±m,•：n//a,所以，bl.n,

即直线/同时与切、”垂直且相交；

②若直线〃与〃异面，过直线“作平面夕，使得初/尸,

设直线b与加确定的平面为7,且夕n7=/,由线面平行的性质定理可得

•：bA-a,贝"_La,〈aua,：.l_La,,/alIn,:.lLn,同理可知，l上m,

由图可知，mCy=B,,；luB,Iuy,贝1]/。772=3,同理可知，直线/与〃也相

交.

此时，存在直线I,使得/同时与m、n垂直且相交.

综上所述，存在直线/,使得/同时与加、〃垂直且相交，B选项正确；

对于C选项，作直线加，使得直线而与“相交且加〃H7,直线加与“确定平面少，

作直线n,,使得直线n'与m相交且“〃/，直线m与n'确定平面«,

mlM,mU。，m'u0,所以，〃〃/，,同理可得力〃，，

因为直线加与〃'相交，且直线加与"'确定平面a,所以，al1/3,

因此，存在平面a、夕，使得根ua,nu/3,且。〃,，C选项正确;

对于D选项，若点A既不在直线加上，也不在直线〃上，则点A与直线加可确定平面

当nila时，无法找到过点A的直线同时与加、”相交，D选项错误.

故选：BC.

方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”,

即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举

出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模

型进行推理或者反驳.

-x+1

11.已知%>0,y〉0,且2%+y=l,则——可能取的值有（）

孙

A.9B.10C.11D.12

答案：BCD

x+1x+2x+y31/31、

【分析】由题意可知——=--------=—+—=—+—（2x+y）,化简后利用基本

町xyyxxj

不等式可求得其最小值，从而可得答案

解：解：因为尤>0,y>0,且2x+y=l,

x+1x+2x+y31

所以——=--------二—+—

xyxyyx

(3i)

(2x+y)

bx)

6xy.

=——+—+5

y%

忖.*2碍5,当且仅当曾

即丫=应取等号,

故选：BCD

12.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同

一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉

22

线”.直线1与y轴及双曲线一-方=1（。〉0/〉o）的两条渐近线的三个不同交点构

成集合且〃恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若/的斜率为1,则该双

曲线的离心率可以是（）

A.叵B.立C.V2D.V10

52、v

答案：ABD

【分析】设/：y=x+m,分别与两条渐近线和y轴联立求出的坐标，求出

|AB|、|AP|、|再分类讨论重心、垂心和外心，并根据重心到外心的距离是重

心到垂心距离的一半列式求出。泊的关系，再根据离心率公式可求出结果.

解：设/：y=x+m,

am

y=x+mx=--

b-a/日“ambm

由＜b，得＜,，得），

y=­xbmb-ab-a

ay~~

b-a

am

y—x+mx----------

ambm

由＜b，得＜小，得B(—），

y=——xbmb+ab+Q

ay~

b+a

y=x+mx=0

由＜,得，得P(0,加)，

x=Qy-m

amam2bmbm2_242ab|m\

|AB|=J(----+------)+c)=\b2-a2\

b-ab-\-ab-ab+a

Vb-ab-a\b-a\

|BP1=/—士+(2——)2=邑-

Vb+ab+ab+a

若A为重心、6为外心、P为垂心，贝ij|AB|=!|AP|,

2

”…2^2ab\m\1y/2a\m\,,科/口…皿小山一、生

所以一z~~^=------------L，化简得a=3b，此时双曲线的曷心率

\b2-a2\2\b-a\

若A为重心、3为垂心、尸为外心，贝。|AP|=」|AB|,

2

yj2a\m\12^2ab\m\"〜口八十为一

所以2_L=-x—4~~化简得〃=0不成立；

\b-a\2|Z?2-tz2|

若3为重心、A为垂心、尸为外心，则|BP|=L|AB|,

2

士,^2a\m\12yj2ab\m\号/口〜fa小生―、.

所以-------L=-x―-~1，化n简得a=2b，此时双曲线的禺心率

b+a2厉―昌

T_Vs

厂三'

若3为重心，P为垂心、A为外心，则|R4|=」|3P|,

2

2yl2ab\m\1y/2a\m\号/口〃“…不以心生一、.

—-------=—x-----------，化n间倚a—5b,止匕时双曲线的禺心率

厅―2b+a

[~TV26

e=AIT---=-----；

V255

若尸为重心、A为垂心、3为外心，则|BP|=L|AP|,

2

所以立也也21,化简得3=3。或。=3人,

b+a2\b-a\

此时双曲线的离心率e=Ji工§=J而或e=Jg=半

若尸为重心，3为垂心、A为外心，贝!][4尸]=」|3尸|,

2

所以41a\m\=j_*41a\m\，化简得/,=—3。或。=—3b都不成立.

\b-a\2b+a

综上所述：e=警或e=乎或e=M或e=*

故选：ABD

关键点点睛：求双曲线离心率的关键是得到瓦c的等量关系，求出三个交点坐标后,

分类讨论重心、垂心和外心，根据重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半可得所要

的等量关系..

三、填空题

,711

13.已知sin（5■—o），贝！Icos2a=.

_7

答案：——

【分析】先利用诱导公式求得cosa的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos"的值.

7112127

解：解：sin(----a)=cosa=—,，cos2a=2cosa-l=2x(—)—1=——.

2339

7

故答案为：-

本题主要考查诱导公式及二倍角的余弦公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题型.

14.若抛物线丁=。必上的点P(〃2)到焦点的距离为3,则。=.

答案：v

【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距

离，得到方程，解得即可；

解：解：抛物线y=a/,即/二工V，准线方程为y=—'-,点尸(加,2)到焦点的距

a4〃

离为3,所以2—1解得。=工

I4czJ4

故答案为：-

4

15.函数/(力=111%+2%—6零点的一个近似值为.(误差不超过0.25)

备注：自然对数的底数2.72.

答案：2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)

【分析】按照二分法求零点近似值的步骤可求得结果.

解：因为/'(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,/(e)=lne+2e-6=2e—5^。.44>。，

/W(e)<0,

所以/Xx)在(2,e)内有零点，止匕时e—2”2.72—2=0.72>0.25,不满足精确度，

2+e

因为/(^^)«/(2.36)=In2.36+2x2.36-6=In2.36-1.28<0,

/(2.36)/(e)<0,

所以/(x)在(2.36,e)内有零点，此时e—2.36“0.36>0.25,不满足精确度，

因为

以25-7(2-54)=In2.54+2x2.54-6=In2.54-0.92«0.93-0.92=0.01

>0,/(2.36)/(2.54)<0,

所以/(x)在(2.36,2.54)内有零点，止匕时2.54-2.36=0.18<0.25,符合精确度,

所以函数/(x)=lnx+2x—6零点的一个近似值为一^^=2.45,

故答案为：2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)

16.已知数列｛«„｝满足4+1=4+，则4+%021的最大值为.

答案：1+也

2

【分析】由G„+l=\+也”_屋,移项，左右两边平方，可得

(。〃+2-4)(4+2+。“—1)=0,整理即可得。+2=4,数列是周期为2的数列,代入

〃=1,得出4,生的等量关系式，令得到二次不等式，根据二次函数的性

质即可求得最大值

解：解：由题意得;Wa“Wl,由%=；+J4得=4-a：,

2

所以«„+,-«„+i+一4=一；，

a

所以n+2—%+2+4+J—4+1=一；，

两式相减得(。“+2-a“)(a”+2+an-1)=0,

1113

因为所以当%=5时，an+l=1,an+2=-,此时。2+4021=5，

aa

当。〃>5时,n+2~~,n+2+。〃>1，所以〃〃+2+%-1。。，所以。〃+2=，

所以数列｛g｝是以2为周期的周期数列，所以。2+出021=4+%，

所以由凡+:一。〃+1+%/-〃〃=一；，得%2+%2一出一%,

21

(〃2+-(。2+4)-2。]。2=-W，

令4+4=乙则产T+；=2qa2<2x[^^]=2x^,即2/—4+1<0,

解得0<，<2铲=1+等，当且仅当囚=g=-=4=2乎时取等号，

所以q+a2的最大值为1+立，即出+a202i的最大值为1+变，

22

故答案为：1+二

2

关键点点睛：此题考查数列的周期性，二次函数的性质的应用，考查计算能力，解题的

关键是由an+l=—+44-a；,移项，左右两边平方，可得

（%+2—4）（4+2+4—1）=0，从而可得4+2=an,得数列是以2为周期的周期数列，

从而有4+。2021=。1+。2，只要求出6+%的最大值即可，属于中档题

四、解答题

17.在①sin2c=0cosC，②c（2+cos3）=百Z?sinC,③bsinA+百acosB=0这

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面

积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AMC,它的内角A,民。所对的边分别为a,b,c,且力=7,c=5,

?

答案：答案见解析.

【分析】选择①，利用二倍角正弦公式得2sinCcosC=>^cosC，通过边与角的关系知

cosCwO,进而得sinC=』3,再利用正弦定理计算得sin5>l,出现矛盾，故不存

2

在；

27r

选择②，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得5=——，利用余弦定理可得

3

a=3,再利用面积公式得解；

27r

选择③，利用正弦定理结合同角之间的关系得到3=3-,利用余弦定理可得。=3,

再利用面积公式得解；

解：选择①sin2c=6cosC

由sin2C二百cosC，得2$111。85。=百（：05。・

若cosC=0,•「。£（0,乃），C=£,与cvZ?矛盾，cosC0,sinC=-

ch

若这样的△ABC存在，根据正弦定理，由——二——,

sinCsinB

得sin5=2吧色=拽>1,与sinBWl矛盾.

c10

所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在.

选择②c(2+cosB)=CbsinC

在△A4C中，根据正弦定理，得sinC(2+cosR)=百sinBsinC.

vC,则sinC>0,2+cosB=6sinB，即百sin3-cos5=2,整理

为sin(5—看卜1.

cf兀r兀5兀7C71

0<B<71,——<B——<—,B——=—

66662-T

根据余弦定理，a2+c2-2accosB=b2结合Z?=7,c=5,

「•“2+5。-24=0,解得：Q=3或a=—8(舍去).

△ABC的面积为8=L〃csinB="Y^.

24

选择③Z?sinA+gacosB=0

在AABC中，根据正弦定理，得sinBsinA+A/3sinACOSB=0，即

sinA卜inB+班cos5)=0.

vAG(O,^),则sinA>0,，sinB+退COS3=0.

sinB2〃

_Be(0,TT),sinB〉0,cosB/0,=tanB=-------=—s/3，B=—.

cosB3

根据余弦定理，a2+c2-2«ccosB=b~结合Z?=7,c=5,

«2+5«—24=0，解得：。=3或a=-8(舍去).

AABC1的面积为S=4acsinB=

24

方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理

或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

(1)若式子含有sin%的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

(2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

(4)代数变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到A+8+C=〃.

18.设等差数列｛风｝的前几项和为S“，且也｝为等比数列，满足侬］=2,邑=6,

S3=12,4+a=3.

⑴求｛%｝,也｝的通项公式；

（2）设的=的，求数列｛g｝的前〃项和7“.

r\n+l

答案：(1)an=2n，bn=2"-'；(2)Tn=-——1.

【分析】（1）根据题目条件解得数列的首项，公差，公比，即可求得通项公式；

（2）将（1）中求得的通项代入小,化简得到可以裂项的形式，利用裂项求和法求得前

n项和.

解：（1）设｛4｝的公差为d,｛2｝的公比为公

2q+d=6,

由星=6,S=12得：＜

33al+3d=12.

=2,

解得：＜

d=2.

所以4?=2+2(〃-1)=2〃.

24二2,

又由〃6=2,4+a=3得：＜

(1+q)=3.

解得

所以4=2")

(2)由(1)知，S“+i=(〃+1)(〃+2).

(2(n+l)-(n+2))2"

(n+l)(n+2)

n+2n+1

所以，=q+。2+q+…G

r2221(2322、/2〃+i2"、

—+一+…+---

32J14、〃+2

上」

n+2

方法点睛：求得数列通项公式后，若能拆成如题所述形式，可以使用裂项求和的方法求

得前〃项和.

19.如图1,在平面四边形ABC。中，BCMAB,CD=2AD,且△A3。为等边

三角形.设E为A。中点，连结3E,将△ABE沿BE折起，使点A到达平面BCDE上

方的点P,连结PC,PD,设歹是PC的中点，连结5斤，如图2.

（2）若二面角P—鹿—。为60°，设平面P5c与平面。£）£的交线为/,求/与平面

PC。所成角的正弦值.

答案：（1）证明见解析；（2）勺叵.

65

【分析】解法一：（1）设DE,C5的延长线交于点。，由长度关系可确定

由角度关系可确定3为CQ中点，由三角形中位线性质知5B〃PQ,由线面平行的判定

定理可证得结论；

（2）由二面角平面角定义可确定NPEZ>=60°，由此得到图形中的长度关系，以3为

坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；

解法二：（1）取CD的中点为G,由三角形中位线性质得FG〃尸由长度和角度关

系可证得BG//DE,由面面平行判定和性质可证得结论；

（2）由二面角平面角定义可确定NPE£>=60°,由此得到图形中的长度关系，以OE中

点。为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

解：解法一：（1）在平面BCDE内，设DE,CB的延长线交于点Q,连结尸。,

在△BCD中，设应＞=1,则5c=6，CD=2,

:.BD~+BC2=CD~，：.BDLBC,且NBDC=NBDE=60°，

.-.ZBQD=ZBCD=30°,：.DQ=DC,则3为CQ中点，

•.•歹是PC中点，万〃P。，又跖仁平面「DE，PQu平面PDE，

:.BF〃平面PDE.

（2）1•在图1中，E是A。中点，即AE=DE,△A3。为等边三角形，」.BELAE,

,在图2中，DE上BE,PE±BE，DEIPE=E,£）石,「石（=平面「£）石，

..班，平面PDE,又5Eu平面BCDE,

二平面平面。DE,且NPED是二面角P—鹿―£＞的平面角，即

APED=60°，

BD1

PD=PE=DE=——=-.

22

连结PO,则尸OJ_DE,PO=B,

设。为OE中点,且尸0,平面BCDE.

4

过3作B77/OP,则37,平面BCDE.

以3为坐标原点,分别以BC,BD,BT为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系.

则5(0,0,0),C(V3,0,0),0(0,1,0),2(-73,0,0),E

7

op~T，8,

加:字—g3成=而+子,一｝一£

•.•5。口。石=。，•.・平面Men平面P0E=PQ；

设平面尸CD的一个法向量为〃=（Xo，yo，z（）），

n-DC=A/3X-y0=0

nLDC0

由<--得：＜n-DP=-^-x-—y+z=0

nLDP000

8840

令%=1,解得：%=8，Zo=l,."=（1,上,1）；

设尸。与平面PCD所成角为a,

……，吁”—=好

sina

则65

1邛。嗣x

陋小x

2

即/与平面PCD所成角的正弦值为生叵.

65

解法二：（1）取CD的中点为G,连结尸G,BG,

•.•F是PC中点、，：.FG〃PD.

又FG<z平面PDE,?Du平面P£）E,bG〃平面产。£；

设5。=1,则5C=6，CD=2,

:.BD2+BC2^CD2，:.BD±BC,典NBDC=65，：.BG=DG=CG=BD,

则ZDBG=ZBDE=60°，,BGHDE,

又BGa平面PDE,DEu平面PDE,3G〃平面PDE；

■：FG^BG=G,56,尸6<=平面896,二平面96〃平面。£）石,

•••BFc=平面BFG,BFH平面PDE.

(2)•.・在图1中，E是A。中点，即AE=DE,△A3。为等边三角形，BELAE,

,在图2中，DE工BE,PE上BE，DEIPE=E,£)石,「石(=平面。£)石,

:.BE工平面PDE,又5Eu平面BCDE,

二平面平面。DE,且NPED是二面角P—鹿―£＞的平面角，即

ZPED=60°，

BD1

PD=PE=DE=——

22

设。为。E中点，"为6。中点，连结尸0,OM.

则OMLDE,POLDE,则尸0,平面3cDE.

以。为坐标原点，分别以OM,OD,OP为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系.

则力,别,尸卜,0,口V字一：,。；,q@,o],'曰,

DP=,DC=(73,1,0),BF=0，/9.

•­-BF//平面PDE,BFu平面PBC,平面PBCA平面PDE=I.

BF//1，,BF与平面PC。所成角即为l与平面PC。所成角；

设平面PCD的一个法向量为〃=(%,%,z0),

n-DC=6x。+%=0

nLDC

由＜得：<_一16

n±DPn-DP=——yH-----z=0

〔4•°n4n°

令Zo=l,解得:%=#),%=-1,二〃=(一1,6,1);

设5b与平面PC。所成角为a,

而海一叵JL647195

则sma=|cos<‘卜网W音茴

65，

即I与平面PCD所成角的正弦值为生叵.

65

方法点睛：利用空间向量法求解直线A3与平面a所成角的基本步骤为:

（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；

\AB-n\

（2）求得平面a的法向量百，设所求角为。，则sind=一|

IA4H

71

（3）根据Oe0,-可求得线面所成角的大小.

20.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者

只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量

一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行

对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的

选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶

段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两

人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由

胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获

胜的选手（此前从未败过，记为A）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为3）,

若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘

汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场

对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.

（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件加，求M的概率；

2

（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为解决以下问题：

①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；

②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量求J的分布列.

一、4_4_

答案：（1）—；（2）①^―；②答案见解析.

727

【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的

方法数，从而可求得答案；

（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利

用互斥事件的概率公式求解即可

②由题意可得Je{3,4,5,6,7},然后求出各自对应的概率，从而可得J的分布列

解：(1)8人平均分成四组，共有08c6?。2

种方法,

其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为用,

看

P(A)

所以「C；C；C；C；

A：

4

一7

(2)①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”,

211121

故所求的概率为一乂一乂一+彳义:义一

333333

4

27

②若甲在第一轮获胜，{3,4,5,6,7}.

当J=3时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即尸偌=3)=gxg=：

当自=4时，有两种情况:

2228

(i)甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为一义一x二=一；

33327

(ii)甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败,

2114

概率为Cj•—x—x—=—,

33327

844

所以P（J=4）=—+——=一

,727279

当&=5时，有两种情况:

2214

(i)甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为一><—><—=一;

33327

(ii)甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，

概率为=

所以P4