专题11.5 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.5与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；特别指出：三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60°【知识点二】直角三角形的性质与判定；性质：直角三角形的两锐角互余；判定：有两个内角互余的三角形是直角三角形；直角三角形的表示：直角三角形可以用符号Rt∆表示，如直角三角形ABC可以表示为Rt∆ABC.【知识点三】三角形的外角1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；2、三角形内角和定理的推论（三角形外角性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的外角和为等于360°.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形内角和定理的证明【例1】（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．（1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；（2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；（3）如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明．【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（

）A．过作∥B．延长到，过作C．作于点D．过上一点作，【变式2】如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是．【题型2】利用三角形内角和求角度【例2】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．（1）求证：；（2）若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，，现将分别沿边翻折得到，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为．【题型3】利用三角形外角性质求角度【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，

（1）证明：；（2），，求的度数．【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为．【题型4】利用直角三角形性质与判定求角度【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．【变式1】（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE与AC，BC分别交于D，E两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【例2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为．

2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·山西晋中·期末）综合与实践将两个完全相同的直角三角板（），按图1的方式放置，使边和边与直线重合，和的顶点O重合．（1）如图1，度；（2）如图2，若平分，求的度数；（3）如图3所示，把三角板和绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当平分时，和的度