数学示范教案：向量共线的条件与轴上向量坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（），\s\do5（整体设计）)教学分析本小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线(平行)、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等．这些知识看似简单，但极为重要．这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．向量的平行是用向量的基线平行定义的，并规定零向量可以与任意一个向量平行．从这里可以看出引入向量基线的作用,引入基线，主要是逻辑上的考虑，我们把向量平行建立在直线平行的基础上．这样,向量与几何紧密相连,又可避开直接用方向来定义向量的平行．平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明，教学时没有必要补充证明．轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出．一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念．理解轴上向量与其实数（坐标)的一一对应关系．书中没有提及轴上向量的减法运算，它应包含在加法运算之中．轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过,这里用向量再重新推导，目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆，提高学生对这些公式的理性认识．三维目标1．通过探究向量共线的条件，理解向量平行（共线）概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题．2．理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标．建立轴上向量与实数的一一对应关系．3．通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式,并能用向量确定直线上点的位置．重点难点教学重点:平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算．教学难点:对向量共线条件的理解运用．课时安排1课时eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教学过程)）导入新课思路1.(直接引入）在学习向量概念时，我们已给出向量共线的概念,即：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行(图1）．那么向量平行会有什么条件呢?由此展开新课．图1思路2.（问题引入)前面我们一起探究了向量加减法运算、向量的数乘运算以及它们的运算律，更重要的是探究了它们的几何意义．那么向量2a与向量3a的位置关系怎样?由此进入向量平行的探究．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)向量共线的条件eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题））eq\a\vs4\al(1向量平行具有哪些条件？怎样理解平行向量基本定理？，2向量平行与直线平行有什么异同?如何理解零向量平行这个特殊问题？）活动：教师引导学生探究，由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知，可得平行向量基本定理:如果a＝λb，则a∥b;反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.如图2，如果a＝2b,则a∥b;如果c＝－2b，则c∥b;图2如果d∥b，d的长度是b的长度的一半，并且方向相反，则d＝－eq\f（1，2)b。给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量．如果a的单位向量记作a0（图3)，由数乘向量的定义可知图3a＝｜a｜a0或a0＝eq\f（a,|a|）。由于零向量的方向不定，在处理平行问题时，零向量与任何一个向量平行．正因为如此,关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1）有一个为零向量；（2)两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4)同向且模不等；(5)反向且模相等;(6)反向且模不等．应注意，这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．也就是说：直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．讨论结果：(1）略．（2）略．轴上向量的坐标及其运算eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题)）eq\a\vs4\al（1阅读教材,怎样理解轴上向量？与数轴有什么区别？,2根据轴上向量的概念,你能得到哪些基本公式?，3怎样用向量确定直线上点的位置？）活动:教师与学生一起探究轴上向量这个概念，让学生一定区分开它与数轴的概念的不同．这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线．与数轴不同的是这里没有规定原点，仅是方向和长度单位．如图4。图4已知轴l.取单位向量e，使e的方向与l同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x,使a＝xe。反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．给定单位向量e,能生成与它平行的所有向量的集合{xe｜x∈R｝．这里的单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标（或数量)．x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数;当a与e反方向时,x是负数．例如，eq\o(AB，\s\up6(→））＝3e，eq\o（CD,\s\up6（→））＝－2e，则eq\o（AB，\s\up6（→)）在l上的坐标是3,eq\o（CD，\s\up6(→))在l上的坐标是－2.于是，在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系．至此，我们就可用数值来表示向量．这一点特别重要,我们在解析几何初步中已经指出，如果点的位置不能用数值来表示,要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的．这里，我们奠定了向量的数量化基础，以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化．这样，我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了．有了以上轴上向量的概念，教师引导学生自然地进行一些公式的推导与运算．设a＝x1e,b＝x2e，于是：如果a＝b,则x1＝x2;反之,如果x1＝x2，则a＝b；另外，a＋b＝（x1＋x2)e。这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．设e是轴l上的一个基向量(图5).eq\o(AB，\s\up6（→））的坐标又常用AB表示，这时eq\o(AB，\s\up6(→）)＝ABe。显然eq\o(BA,\s\up6（→)）＝BAe，AB是BA绝对值相同，符号相反,即AB＋BA＝0.设e是l上的一单位向量(图5)，在l上任取三点A，B，C，则图5eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o(BC，\s\up6（→））＝eq\o(AC,\s\up6(→))，ABe＋BCe＝ACe,(AB＋BC）e＝ACe。因为e≠0，所以AB＋BC＝AC.①公式①在解析几何初步一章中已经得到，尽管形式非常简单，但极为重要．我们已经看到它是我们研究解析几何、三角的基础．这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式．有了轴上向量的概念，我们可以用向量的观点，重新认识一下我们在初中学习过的数轴．在轴x上选一定点O作为原点,就成为我们学过的数轴（图6)．图6设e是轴x的基向量，向量a平行于x轴,以原点O为始点作eq\o（OP，\s\up6(→)）＝a,则点P的位置被向量a所唯一确定，由平行向量基本定理知道,存在唯一的实数x,使eq\o(OP,\s\up6(→）)＝xe。数值x是点P的位置向量eq\o（OP，\s\up6(→）)在x轴上的坐标,也就是点P在数轴x上的坐标;反之亦然．如图7，如果点P的坐标为3，则点P的位置向量eq\o(OP，\s\up6（→))的坐标也为3。图7在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2（图7），于是由公式①,得AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1.即AB＝x2－x1。②这就是说,轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．根据公式②，又可以得到数轴上两点的距离公式|AB|＝|x2－x1|③由于数轴是中学阶段第一个数形结合的工具，也是中学阶段最重要的数学概念之一,在这里引导学生重新对以上公式进行推导，提高了学生对这些基本公式的理解和记忆,提高了学生对这些公式的理性认识．讨论结果：（1)(2）（3)略．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））思路1例1如图8,MN是△ABC的中位线，求证：MN＝eq\f（1,2)BC，且MN∥BC。图8证明：因为M,N分别是AB，AC边上的中点，所以eq\o（AM，\s\up6（→)）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up6(→)),eq\o（AN，\s\up6（→)）＝eq\f(1,2)eq\o(AC，\s\up6（→)），eq\o(MN，\s\up6(→）)＝eq\o（AN,\s\up6（→））－eq\o(AM，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2）eq\o(AC,\s\up6(→）)－eq\f(1，2）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）(eq\o（AC,\s\up6(→)）－eq\o（AB，\s\up6（→）)）＝eq\f（1，2)eq\o(BC，\s\up6(→)）。所以MN∥BC，MN＝eq\f（1，2)BC.点评：解完本例后，让学生总结领悟用向量证明平面几何问题的思想方法.变式训练1．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up6(→）)＋eq\o(CB，\s\up6（→））＝0，则eq\o（OC，\s\up6(→））等于（）A．2eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6(→））B．－eq\o(OA，\s\up6(→））＋2eq\o(OB,\s\up6(→)）C.eq\f（2，3)eq\o(OA，\s\up6(→)）－eq\f(1，3）eq\o（OB,\s\up6（→））D．－eq\f（1,3)eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\f(2，3)eq\o（OB,\s\up6(→））答案：A2.如图9，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点,若点C在直线AB上，求证：存在实数λ，使得eq\o（PC,\s\up6(→)）＝λeq\o（PA，\s\up6(→）)＋(1－λ）eq\o(PB，\s\up6(→)）。图9证明：如图9，因为向量eq\o（BC,\s\up6（→)）与向量eq\o(BA,\s\up6(→）)共线,根据向量共线定理,可知eq\o（BC，\s\up6(→）)＝λeq\o(BA,\s\up6(→）)。即eq\o（PC，\s\up6(→))－eq\o(PB，\s\up6(→）)＝λ(eq\o（PA，\s\up6(→))－eq\o(PB，\s\up6(→））)，eq\o（PC，\s\up6(→）)＝λeq\o（PA,\s\up6（→))＋eq\o（PB,\s\up6(→））－λeq\o（PB,\s\up6（→)）,eq\o(PC,\s\up6(→））＝λeq\o(PA,\s\up6（→))＋（1－λ）eq\o(PB，\s\up6(→))。点评：本例给出了判断三点共线的一个方法.例2已知a＝3e,b＝－2e。试问向量a与b是否平行?并求|a｜∶｜b｜.解：由b＝－2e，得e＝－eq\f(1，2）b，代入a＝3e，得a＝－eq\f(3，2）b。因此，a与b平行，且|a｜∶｜b|＝eq\f（3，2).3已知数轴上三点A，B,C的坐标分别是4，－2,－6,求eq\o（AB，\s\up6(→）)，eq\o(BC,\s\up6(→）），eq\o(CA,\s\up6（→））的坐标和长度（图10)．图10解:AB＝(－2）－4＝－6，|eq\o（AB,\s\up6(→））｜＝|－6｜＝6；BC＝－6－（－2）＝－4，|eq\o(BC,\s\up6(→)）｜＝｜－4|＝4;CA＝4－(－6）＝10，|eq\o(CA,\s\up6（→））｜＝｜10|＝10。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先让学生回顾本节学习的数学知识和方法：向量平行的条件、轴上向量、确定轴上点的位置、基本公式等．体会本节学习中用到的思想方法．特别是用新学向量知识重新认识过去所学内容，是真正的温故知新，是对原知识的再提高，而不是把新知识与过去知识割裂开来，对学生理性思维的提高具有重大意义．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业）)课本本节练习A组2,3，4。eq\o(\s\up7（）,\s\do5(设计感想））1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．由学生探究向量平行的特例，得到向量平行的条件．向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．认识了轴上向量与数轴的不同,重新推导了几个公式．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．3．本节内容和方法具有丰富的内涵，不同层次的学生在这里都能有不同的提高．同时，本内容又是加强学生自主学习、合作学习的最佳平台，应充分利用好本节的教育功能．绽放出更为深层的智慧火花．eq\o(\s\up7(），\s\do5（备课资料)）一、新课标下教师的角色定位1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力,为指导学生进行数学探究做好充分的准备,并积累指导学生进行数学探究的资源．2．教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题,特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题,指导学生和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯．在学生需要的时候,教师应该成为学生平等的合作者,教师要有勇气和学生一起进行探究．3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导，鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力，正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动,同时也指出存在的问题和不足．二、备用习题1．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值为()A．1B．－1C．±1D．02．对判断向量a＝－2e与b＝2e是否共线？有如下解法：解：∵a＝－2e,b＝2e,∴b＝－a。∴a与b共线．请根据本节所学的共线知识给以评析．如果解法有误,请给出正确解法．3．如图11，已知任意两个非零向量a、b,试作eq\o（OA，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o(OB，\s\up6（→））＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？图114．根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：（1)eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→))；（2）eq\o（AD，\s\up6（→)）＝eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→));(3）eq\o(AB,\s\up6（→))＝eq\o（DC，\s\up6（→）),且｜eq\o（AB，\s\up6(→）)｜＝|eq\o(AD，\s\up6(→）)|.参考答案：1．C2．分析：乍看上述解答，真是简单明快．然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为,原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e＝0，而当e＝0时，显然，a＝0,b＝0,此时,a不符合定理中的条件，且使b＝λa成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b＝λa成立），故不能应用定理来判断它们是否共线．可见,对e＝0的情况应另法判断才妥．综上分析,此题应解答如下：解：（1）当e＝