5.1 投影 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

第五章投影与视图1投影第1课时【旧知再现】1．三角形相似判定方法：有两个角__相等__的三角形相似．2．相似三角形的对应边__成比例__．【新知初探】阅读教材P125—P126完成下面问题：1．投影现象：物体在__光线__的照射下，会在地面或其他平面上留下它的__影子__，这就是投影现象．__影子__所在的平面称为__投影面__．2．中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从__一个点____发出的，这样的光线所形成的__投影____称为中心投影．3．点光的确定：过物体的__顶端____与影子的__顶端____作一条直线即光线，这样两条光线的__交点____，就是点光．【图表导思】1．光可以看出是什么线的交点？【解析】光线．2．物体一样高影子一样长吗？物体的影长不同，它们的高度也不同吗？【解析】不一定，不一定．3．计算影子的长度，利用的数学知识是什么？【解析】相似三角形对应边成比例．中心投影【教材P126例1拓展】——中心投影的应用如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处，经过测量得：窗户距地面高OD＝1.5m，窗户高度DC＝0.8m，OE＝1m，OF＝3m，求路灯AB的高．【完善解答】连接DC，设路灯AB高为xm，BO的长度为ym，∵AB∥OC，∴∠B＝∠DOE，∠DEO＝∠AEB，∠AFB＝∠CFO，∴△ABE∽__△DOE__，△ABF∽__△COF__，……相似三角形的判定∴eq\f(AB,DO)＝__eq\f(BE,OE)__，eq\f(AB,CO)＝__eq\f(BF,OF)__，……………………相似三角形对应边成比例∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1.5)＝\f(1＋y,1)，,\f(x,2.3)＝\f(3＋y,3)，))………………列方程组解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(69,22)，,y＝\f(12,11)，))………………解方程组答：路灯AB的高度为__eq\f(69,22)__m．………………作答【归纳提升】利用三角形相似解决中心投影问题的思路变式一：巩固(2021·深圳质检)如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小欣的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.【解析】∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC(M是AD的中点)，∴AB∶HB＝AD∶PH，AC∶AM＝HC∶PH，即2.4∶(2.4＋AH)＝1.6∶PH，1.05∶0.8＝(1.05＋HA)∶PH，解得：PH＝7.2m.即灯离地面的高度为7.2m．变式二：提升(2021·惠州质检)如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米，路灯B高9米).(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；(3)计算路灯A的高度．【解析】(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子(图略).(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，∴eq\f(EP,BD)＝eq\f(CP,CD)，∴eq\f(1.8,9)＝eq\f(2,2＋6.5＋QD)，解得：QD＝1.5米．(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，∴eq\f(FQ,AC)＝eq\f(QD,CD)，∴eq\f(1.8,AC)＝eq\f(1.5,1.5＋6.5＋2)，解得：AC＝12米．答：路灯A的高度为12米．中心投影中影子的变化规律【教材P126“议一议”补充】——中心投影的性质如图，某小区内有一条笔直的小路．路的旁边有一盏路灯，晚上小红由A处走到B处．表示她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间关系的大致图象是(B)【归纳提升】中心投影的“三个特点”1．等高物体垂直地面放置eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）离点光源越近，影子越短,（2）离点光源越远，影子越长))2．等长物体平行地面放置eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）离点光源越近，影子越长,（2）离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身,的长度))3．点光、物体边缘的点及其在物体影子上的对应点在同一条__直线__上．变式一：巩固小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小明在后，两人之间的距离始终与小阳的影长相等．在这种情况下，他们两人之间的距离(D)A．始终不变B．越来越远C．时近时远D．越来越近变式二：提升(2021·太原质检)如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是(C)A．先变长后变短B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短【一题多变】(貌似神异)1.(2021·鄂州质检)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．(2)如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．【解析】(1)如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．(2)由已知可得，eq\f(AB,OD)＝eq\f(CA,CD)，∴eq\f(1.6,OD)＝eq\f(1.4,1.4＋2.1)，∴OD＝4.∴灯泡的高为4m．2．(2021·襄阳质检)如图所示，甲物体高4米，影长3米，乙物体高2米，影长4米，两物体相距5米．(1)在图中画出灯的位置，并画出丙物体的影子．(2)若灯杆，甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上，试求出灯的高度．【解析】(1)点O为灯的位置，QF为丙物体的影子．(2)作OM⊥QH，设OM＝x，BM＝y，由△GAB∽△GOM，∴eq\f(AB,OM)＝eq\f(GB,GM)，即：eq\f(4,x)＝eq\f(3,3＋y)，①由△CDH∽△OMH，∴eq\f(CD,OM)＝eq\f(DH,HM)，即：eq\f(2,x)＝eq\f(4,4＋5＋y)，②由①②得，x＝4.8，y＝0.6.答：灯的高度为4.8米．3.高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿(即AE)，这时，他量了一下竹竿的影长(AC)正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即AB＝4米)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即BD＝2米).此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：(1)在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P.(2)求出路灯O的高度，并说明理由．【解析】(1)(2)由于BF＝DB＝2(米)，即∠D＝45°，所以，DP＝OP＝灯高，△COP中，AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP，∴△CEA∽△COP，eq\f(CA,EA)＝eq\f(CP,OP)，设AP＝x，OP＝h，则eq\f(1,2)＝eq\f(1＋x,h)①DP＝OP表达为2＋4＋x＝h②，联立①②两式得：x＝4，h＝10，∴路灯有10米高．思想体现——分类讨论思想【应用】在物体位置不确定的情况下，常常需要对物体的位置进行分类讨论，进而结