云南省大理白族自治州2025届高三上学期第一次复习统一检测数学试题（含解析）

大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测数学（全卷四个大题，共19个小题，共8页；满分150分，考试用时120分钟）考生注意：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共58分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在中，是上一点，满足是的中点，若，则（）A.B.1C.D.4.下图是我国2018-2023年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（）A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B.这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C.2022年销量低于这六年销量的平均值D.这六年增长率最大的为2019年至2020年5.已知等比数列中，，则（）A.26B.32C.512D.10246.已知，则（）A.B.C.D.7.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（）A.5B.9C.8D.108.一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.C.在区间上单调递减D.点是图象的一个对称中心10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.有最大值B.当时，的图象在点处的切线方程是C.在区间上单调递减D.关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是11.法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（）A.椭圆的蒙日圆方程为B.面积的最大值为7C.的最小值为D.若动点在上，将直线的斜率分别记为，则第II卷（非选择题共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，含的项的系数是__________.13.已知数列满足，则__________.14.设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时，__________，当函数图象的对称中心为时，__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题13分）在中，角的对边分别为.已知，且.（1）求角和；（2）若的面积为，求.16.（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，.点是棱的中点，点为棱上的一点，且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本题15分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围.18.（本题17分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求；（3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由.19.（本题17分）今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.星期12345销售量（张）218224230232236经计算可得：.（1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程；（2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为.（i）求及；（ii）求及的最值.参考公式：.大理州2025届高中毕业生第一次复习统一检测数学参考答案及评分标准一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CDCCDBBA1.C【详解】由于，故.故选：C.2.D【详解】，故，其对应的点为，该点在第四象限.故选：D.3.C【详解】由题可知，，，所以有，所以，得.故选：C4.C【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确；对于C，这六年销量的平均数为，故C错误；对于D，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故D正确.故选：C.5.D【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，由，则，得，解得，所以.故选：D.6.B【详解】，故选：B.7.B【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则，所以，令，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故选：B.8.A【详解】，而A为三角形内角，故，故，故，故，故几何体的体积为故选：A.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDBDABC9.ABD【详解】因为，选项A，的最小正周期，故A正确；选项B，由，知，所以，所以的最大值为，而得，故B正确；选项C，由得，所以在上单调递增，故C错误；选项D，令，则，所以图象的对称中心为，所以点是图象的一个对称中心，故D正确.10.BD【详解】因为，选项A，当时，，当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有最小值，无最大值，故A错误；选项B，当时，，所以的图象在点处的切线方程是，故B正确；选项C，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误；选项D，方程，即，令，而，当时，，当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，且，如图得的范围是，故D正确.11.ABC【详解】选项A，依题意，可设圆C方程为，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线（图略），则这两条垂线的交点在圆C上，所以，即，所以椭圆的蒙日圆方程为，故A正确；选项，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，所以面积的最大值为，故B正确；选项，由于为圆的直径，过坐标原点，即过坐标原点所以，故C正确；选项D，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，设，则，又，所以，所以，故D错误.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案71（2分）2023（3分）12.7【详解】在展开式的通项为，当时，.所以含的项的系数是7.13.1【详解】方法一：由题意知，，，，因此数列是周期为4的周期数列，所以.方法二：把看作，则因此数列是周期为4的周期数列，所以.14.，【详解】因为，且图象的对称中心为，所以，解得，而，解得；因为函数图象的对称中心为，即，所以，同理设①②由①+②得，所以.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.【详解】（1）由正弦定理得，，整理可得，.由余弦定理得，.又，则.由正弦定理得，，即，.（2）方法一：由可知，..方法二：由可知，.由得，16.【详解】（1）在中，，即.又，则有，即.平面平面平面（2）由（1）可知，.以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系.依题意得，.设点的坐标为，.由三点共线，则有，.又，，可得，..设平面的法向量为.，取一个法向量.设直线与平面所成角为，则.所以，直线与平面所成角的正弦值为.17.【详解】（1）要证，只需证.当时，令.，令得，.的变化情况如下表所示：1-0+递减极小值0递增，即.，当时，等号成立.（2），令得，.（1）当时，又，则，此时，在单调递增，无极小值，不符题意.（2）当时，的变化情况如下表所示：-0+递减极小值递增，即.令，且.不等式即为，.，当且仅当，即时，.在单调递增，又，则.的取值范围是：.18.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为：.（2）方法一：点差法设，则，①又在椭圆上，则，两式相减得：，即：②由①②得，.而，.方法二：椭圆方程代换设，直线则，①②又，即③由①②③得，方法三：联立方程设，直线则，①联立方程得，②由①②得，，则，.又，.（3）设，先求椭圆在点处的切线的方程.方法一：根据判别式求解椭圆在点处的切线，设联立方程得，.，即.同理可得，.，可得T点的横坐标，即又，可得，由题意可知直线的斜率不为0，设.则，整理得，，即.又，则.，即直线恒过定点.方法二：导数的几何意