2024-2025学年福建省莆田八中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省莆田八中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.给出下列说法，其中不正确的是(

)A.若a,b是单位向量，且a,b共线，则a=b

B.若OA+OD=OB+OC，则A，B，C，D四点共面

C.若2PC2.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b//A.−1 B.1 C.2 D.33.在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于(

)A.EF=12AC+12AB−4.已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a=3e1+2eA.15 B.3 C.−3 D.55.已知a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(3,2,λ)，若a,b,A.2 B.3 C.4 D.56.若点P(a,b)与Q(b−1,a+1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(

)A.135° B.45° C.30° D.60°7.在棱长为2的正四面体A−BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论不正确的是(

)A.AB⋅CD=0 B.AB⋅EF=2

C.EF在8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是线段BD，B1C上的动点(A.异面直线NC1与直线MC所成的角的大小

B.平面MD1B1与平面NA1D所成的角的大小

C.直线ND1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下命题正确的是(

)A.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(2,−1,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(83,−43,83)

B.若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若OP=25OA+15OB+25OC，则P，A，B，C四点共面

C.已知a=(−1,1,2)10.已知直线l的一个方向向量为u=(−36,12)A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于233

C.l与直线3x−3y+2=0垂直 11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，E为棱A1B1A.OE⊥平面A1BC1

B.AB与平面A1BC1所成角的余弦值为33

C.若点P在各棱上，且到平面A1BC1的距离为36，则满足条件的点P有9个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l的一个方向向量d=(1,3)，则l与直线x−y+1=0的夹角为13.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1∠BAD=π2，∠BAA1=∠DA14.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；

(2)斜率为4，且在y轴上的截距为−2；

(3)经过A(−1,5)，B(2,−1)两点；

(4)在x轴、y轴上的截距分别为−3，−1；

(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴．16.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中.底面为矩形ABCD，且AD=3，CD=4.PD⊥平面ABCD，PD=1.M为AB中点．

(1)求点P到直线AC的距离；

(2)求异面直线AC，PM所成角的余弦值．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE18.(本小题17分)

已知直线l过点A(4,1)．

(1)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的12倍，求直线l的方程；

(2)已知△ABC的一个顶点为A，AB边上的中线CM所在的直线方程为x−2y+2=0，AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y−2=0.求BC所在直线的方程．19.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠ABC=π3，AB=AP=2，PA上底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．

(1)若CD/​/平面EFG，求证：G为PC的中点；

(2)若G是直线PC与平面AEF的交点，试确定PGCG的值；

(3)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为35，求三棱锥

参考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.BCD

10.CD

11.AC

12.15°

13.8514.123

15.解：(1)直线斜率是3，且经过点A(5,3)，

则直线的方程为y−3=3(x−5)，

故直线的一般式方程为3x−y−53+3=0．

(2)直线的斜率为4，且在y轴上的截距为−2，

则直线的方程为y=4x−2，

故直线的一般式方程为4x−y−2=0．

(3)直线经过A(−1,5)，B(2,−1)两点，

则kAB=5−(−1)−1−2=−2，

所求直线方程为y−5=−2(x+1)，即2x+y−3=0．

(4)直线在x轴、y轴上的截距分别为−3，−1，

则x−3+y−1=1，即x+3y+3=016.解：(1)因为ABCD为矩形，所以AD⊥DC，

又因为PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥DC，

所以分别以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AD=3，CD=4，PD=1，

所以A(3,0,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1)，C(0,4,0)，M(3,2,0)，

所以AC=(−3,4,0),AP=(−3,0,1)，

则有cos<AC,AP>=AC⋅AP|AC|⋅|AP|=99+16+0×9+0+1=9510=91017.解：(1)证明：连接AC1，

因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又C1D⊥面ABC，BD⊂面ABC，

所以C1D⊥BD，

因为AC∩C1D=D，AC，C1D⊂面AA1C1C，

所以BD⊥面AA1C1C，

又A1C⊂面AA1C1C，

所以BD⊥A1C，

由题设四边形AA1C1C为菱形，

所以A1C⊥AC1，

因为D，E分别为AC，CC1的中点，

所以DE/​/AC1，

所以A1C⊥DE，

因为BD∩DE=D，BD∩DE=D，BD⊂面BDE，DE⊂面BDE，

所以A1C⊥面BDE．

(2)因为C1D⊥面ABC，BD，AC⊂面ABC，

所以C1D⊥BD，C1D⊥AC，

又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

则D(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,−1,0)，C1(0,0,3)，E(0,−12,32)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，F(32,12,3)，

平面BDE的一个法向量m=CA1=(0,3,3)，DF=(32,12,3)，

所以点F18.解：(1)当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线l的方程为y=kx，k≠0，

将A(4,1)代入得，4k=1，解得k=14，故直线l的方程为y=14x；

当截距不为0时，因为直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的12倍，

所以设直线l的方程为xa+y2a=1，

将A(4,1)代入得4a+12a=1，解得a=92，故直线l的方程为2x+y−9=0，

所以直线l的方程为y=14x或2x+y−9=0；

(2)因为AC⊥BH，高BH所在的直线方程为2x+3y−2=0，

所以设直线AC的方程为3x−2y+t=0，

将A(4,1)代入3x−2y+t=0得，12−2+t=0，解得t=−10，

故直线AC的方程为3x−2y−10=0，

联立x−2y+2=03x−2y−10=0，解得x=6y=4，故C(6,4)，

设B(m,n)，因为A(4,1)，则AB的中点M(m+42,n+12)，

M(m+419.解：(1)证明：∵CD//平面EFG，又CD⊂平面PCD，

且平面PCD∩平面EFG=FG，

∴CD/​/FG，又F为PD的中点，

∴G为PC的中点；

(2)取BC的中点M，连接AM，可得AM⊥AD，

分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(3,−1,0)，C(3,1,0)，

E(32,−12,1)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，

设PG=λPC，PC=(3,1,−2)，

∴PG=(3λ,λ,−2λ)，

∴AG=