2025版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5节事件的独立性条件概率与全概率公式学案含解析新人教A版

PAGE第五节事务的独立性、条件概率与全概率公式一、教材概念·结论·性质重现1．条件概率条件概率的定义设A，B为两个随机事务，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))为在事务A发生的条件下，事务B发生的条件概率，简称条件概率条件概率的性质(1)P(Ω|A)＝1；(2)假如B和C是两个互斥事务，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设eq\x\to(B)与B互为对立事务，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)2.事务的相互独立性事务A与事务B相互独立对随意的两个事务A与B，假如P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事务A与事务B相互独立，简称为独立性质若事务A与事务B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)(1)易混淆“相互独立”和“事务互斥”两事务互斥是指两事务不行能同时发生，两事务相互独立是指一个事务的发生与否对另一个事务发生的概率没有影响，两个事务相互独立不肯定互斥．(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事务，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对随意的事务B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式．二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)相互独立事务就是互斥事务． (×)(2)对于随意两个事务，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (×)(3)P(B|A)表示在事务A发生的条件下，事务B发生的概率，P(AB)表示事务A，B同时发生的概率． (√)(4)若事务A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (√)2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形态完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，其次次拿到红球的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,8)D．eq\f(2,9)B解析：设“第一次拿到白球”为事务A，“其次次拿到红球”为事务B．依题意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15).故在他第一次拿到白球的条件下，其次次拿到红球的概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(1,3).3．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56C解析：设甲地降雨为事务A，乙地降雨为事务B，则两地恰有一地降雨为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，所以P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.4．(2024·湖南省六校高三联考)甲、乙两人同时参与公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为eq\f(4,5)和eq\f(3,4)；乙笔试、面试通过的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(1,2).若笔试、面试都通过则被录用，且甲、乙录用与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录用的概率是________，只有一人被录用的概率是________．eq\f(1,5)eq\f(8,15)解析：甲被录用的概率p1＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)，乙被录用的概率p2＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，则该次考试甲、乙同时被录用的概率是p1p2＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，只有一人被录用的概率是p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,15).5．某次学问竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．0.128解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事务A．由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有其次个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.考点1相互独立事务的概率——基础性1．(2024·山东省新高考质量测评高三联考)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华高校“面对通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为()A．eq\f(89,91)B．eq\f(2,91)C．eq\f(98,125)D．eq\f(19,27)D解析：依据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，故其没有选择“芯片领域”的概率为eq\f(2,3)，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).故选D．2．(2024·天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为()A．0.18B．0.3C．0.24D．0.36B解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.3．(2024·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球竞赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局竞赛结束．甲、乙两位同学进行单打竞赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局竞赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事务“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局竞赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局竞赛结束，且这4个球的得分状况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.求相互独立事务同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事务的概率乘法公式干脆求解．(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事务的概率)或难以入手时，可从其对立事务入手计算．考点2条件概率——基础性(2024·本溪满族自治县高级中学高三模拟)2024年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个须要救济的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事务A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事务B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9)D．eq\f(5,9)A解析：事务A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事务B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(AB)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,4)×33,44)＝eq\f(27,64)，P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(2,9).故选A．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事务记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事务记为B，求P(AB)，P(A|B)．解：如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1，所以P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A|B)＝eq\f(n(AB),n(B))＝eq\f(1,4).求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，这是求条件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事务A包含的样本点数n(A)，再求事务A与事务B的交事务中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现须要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(2,9)C．eq\f(7,8)D．eq\f(7,9)D解析：设事务A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事务B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，则所求的概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).2．将三颗骰子各掷一次，设事务A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.eq\f(60,91)eq\f(1,2)解析：P(A|B)的含义是在事务B发生的条件下，事务A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)状况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60(种)状况，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含义是在事务A发生的条件下，事务B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120(种)状况，所以P(B|A)＝eq\f(1,2).考点3全概率公式——基础性有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设事务A为“任取一件为次品”，事务Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3.B1∪B2∪B3＝S，由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)．P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组缘由．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中．(1)何时用全概率公式：多种缘由导致事务的发生．(2)如何用全概率公式：将一个困难事务表示为几个彼此互斥事务的和．(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求其次次取到白球的概率．解：A＝{第一次取到白球}，B＝{其次次取到白球}．因为B＝AB∪eq\x\to(A)B，且AB与eq\x\to(A)B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＋eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝0.6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事务A＝“取到的2个数之和为偶数”，事务B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)[四字程序]读想算思求条件概率P(B|A)1.条件概率的公式；2.古典概型用字母表示事务，理清晰事务之间的关系转化与化归A＝“取到的2个数之和为偶数”，B＝“取到的2个数均为偶数”1.求P(A)，P(AB)；2.求n(A)，n(AB)1.P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))；2.P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))1.条件概率的公式；2.古典概型的公式思路参考：依据条件概率公式求解．B解析：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由条件概率计算公式，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,10),