2025届高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件的概率学案理含解析

PAGE第四节随机事务的概率[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区分.2.了解两个互斥事务的概率加法公式.随机事务的概率仍是2024年高考考查的热点，主要考查利用频率估计随机事务的概率，互斥事务、对立事务的概念以及概率加法公式．在解答题中出现较多，有时也以选择题、填空题的形式出现，分值为5～12分.1.数学建模2.数学运算‖学问梳理‖1．事务的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的eq\x(5)次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\x(6)eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作eq\x(7)P(A)，称为事务A的概率．3．事务的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事务Beq\x(8)包含事务A(事务Aeq\x(9)包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事务A与事务B相等A＝B并(和)事务A发生或B发生事务A与事务B的并事务(或和事务)eq\x(10)A∪B(或A＋B)交(积)事务A发生且B发生事务A与事务B的交事务(或积事务)eq\x(11)A∩B(或AB)互斥事务A∩B为eq\x(12)不行能事务事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅，P(A∪B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：eq\x(13)0≤P(A)≤1．(2)必定事务的概率为eq\x(14)1．(3)不行能事务的概率为eq\x(15)0．(4)概率的加法公式：假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝eq\x(16)P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务，P(A∪B)＝eq\x(17)1，P(A)＝eq\x(18)1－P(B)．►常用结论探究概率加法公式的推广(1)当一个事务包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．留意涉及的各事务要彼此互斥．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不行能事务．()(2)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务也肯定是对立事务．()(3)事务发生的频率与概率是相同的．()(4)若事务A发生的概率为P(A)，则0<P(A)<1.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、走进教材2．(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)频数234542则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65答案：B3．(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”()A．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务也不是对立事务答案：C三、易错自纠4．从某班学生中随意找出一人，假如该同学的身高小于160cm的概率为0.3，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175cm的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：选A由题意得，身超群过175cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2，故选A．5．(2025届湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：选DA中的两个事务是包含关系，不是互斥事务；B中的两个事务是对立事务；C中的两个事务都包含“一个黑球一个红球”的事务，不是互斥关系；D中的两个事务是互斥而不对立的事务．6．抛掷一粒骰子，视察掷出的点数，设事务A为“出现奇数点”，事务B为“出现2点”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则“出现奇数点或2点”的概率为________．解析：因为事务A与事务B是互斥事务，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(随机事务的频率与概率))【例1】某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表；近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq\f(3,10).►名师点津1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计值．2．随机事务概率的求法利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．|跟踪训练|1．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天起先实行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计该市在该天不下雨的概率为eq\f(13,15).(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为eq\f(7,8).从而估计运动会期间不下雨的概率为eq\f(7,8).eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(互斥事务、对立事务概率公式的应用))【例2】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55%×100，x＋30＝(1－55%)×100，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A表示事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A2)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事务，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).►名师点津求互斥事务的概率的方法(1)干脆法(2)间接法(正难则反)|跟踪训练|2．某班选派5人，参与学校实行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解：记事务“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事务Ak彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(随机事务概率的创新交汇应用))【例】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)[解析]由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[答案]A►名师点津随机事务概率常与数列、不等式、平面对量等学问交汇应用，求解时留意事务的分析与推断．|跟踪训练|若A，B互为对立事务，其概率分别为P