全国统考2024高考数学一轮复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型学案理含解析北师大版

12.2古典概型与几何概型必备学问预案自诊学问梳理1.基本领件在一次试验中,我们经常要关切的是全部可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简洁的随机事务,其他事务可以用它们来描绘,这样的事务称为.

2.基本领件的特点(1)任何两个基本领件是的.

(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成的和.

3.古典概型(1)定义:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:试验中全部可能出现的基本领件.

②等可能性:每个基本领件出现的可能性.

(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数4.几何概型(1)定义:假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.

5.随机模拟方法运用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事务的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.1.任一随机事务的概率都等于构成它的每一个基本领件概率的和.2.求试验的基本领件数及事务A包含的基本领件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.3.与面积有关的几何概型,若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本领件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本领件的发生肯定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形态有关.()(4)在古典概型中,每个基本领件的概率都是1n;假如某个事务A包括的结果有m个,则P(A)=mn.((5)随机模拟方法是以事务发生的频率估计概率.()2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为()A.23 B.1C.13 D.3.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中探讨“勾股容方”问题的图形,图中△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC上任取一点,则此点取自正方形DEFC的概率为()A.19 B.C.49 D.4.(2024江苏,4)将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次,视察向上的点数,则点数和为5的概率是.

5.在长为10cm的线段AB上任取一点C,作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于16cm2的概率为.

关键实力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛,齐王获胜的概率是()A.23 B.35 C.59(2)在一次竞赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参与,赛前用抽签的方法确定出场的依次,则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.110 B.15 C.25解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①推断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事务为A;②分别计算基本领件的总数n和所求的事务A所包含的基本领件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事务A的概率(2)对与依次相关的问题处理方法为:若把依次看作有区分,则在求试验的基本领件的总数和事务A包含的基本领件的个数时都看作有区分,反之都看作没区分.(3)基本领件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有依次的问题及较困难问题中基本领件数的探求对点训练1(1)(2024云南大理高三模拟)掷硬币试验是很常见却又特别出名的一个概率试验,很多闻名的科学家都做过这个试验,比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的试验,可以让人们感受到随机事务的发生,形成概率的观念.若抛掷一枚硬币出现正面对上记为1,反面对上记为0.现抛掷一枚硬币6次,出现两个0和四个1的概率为()A.1564 B.516 C.916(2)(2024河北保定模拟)我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”,其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”,若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片“风叶”的概率为()A.37 B.47 C.314考点古典概型与统计的综合应用【例2】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男生、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图.(注:分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀,则男生、女生的优秀人数各为多少?(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中随意选取2人,求至少有一名男生的概率.解题心得求古典概型与统计问题的一般步骤第一步:依据概率统计的学问确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;其次步:将全部基本领件列举出来(可用树状图);第三步:计算基本领件总数n,事务A包含的基本领件数m,代入公式P(A)=mn第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练2某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)依据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,依据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.考点几何概型(多考向探究)考向1与长度、角度有关的几何概型【例3】(1)(2024广西壮族自治区高三模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为()A.12 B.13 C.24(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.

解题心得解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围.(1)当考察对象为点,点的活动范围在线段上时用线段长度之比计算;(2)当考察对象为线时,一般用角度之比计算.对点训练3(1)某学校星期一至星期五每天上午共支配五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听其次节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15 B.14 C.13(2)如图所示,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.

考向2与面积、体积有关的几何概型【例4】(1)(2024山东潍坊高三检测)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的.而这七块板可拼成很多图形,例如三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()A.14 B.17 C.18(2)(2024河南南阳高三模拟)灯笼是传统的照明工具,在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得祥瑞喜庆,某庭院挂着一盏表面积为4π平方分米的西瓜灯(看成球),灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2厘米,高为4厘米的圆锥,若在该灯笼内任取一点,则该点取自灯焰内的概率为()A.0.004 B.0.012 C.0.024 D.0.036解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形精确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事务A对应的区域,在图形中画出事务A对应的区域,然后用公式P(A)=构成事件A的区域面积对点训练4(1)(2024江西南昌二中高三月考)如图是折扇的示意图,A为OB的中点,若在整个扇形区域内随机取一点,则此点取自扇面(扇环)部分的概率是()A.14 B.12 C.58(2)已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,现在该四棱锥内部或侧面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于23的概率为.考向3与线性规划有关的几何概型【例5】(2024湖南衡阳八中高三月考)若不等式组x+2y-3≤0,2x-y+4≥0,y≥0表示的区域为Ω,不等式x2+y2-2x-2y+1≤0A.π4 B.π8 C.π5解题心得几何概型与线性规划的交汇问题:先依据约束条件作出可行域,再确定形态,求面积大小,进而代入公式求概率.对点训练5两位同学约定下午5:30~6:00在图书馆见面,且他们在5:30~6:00之间到达的时刻是等可能的,先到的同学需等待,15分钟后还未见面便离开,则两位同学能够见面的概率是()A.1136 B.14 C.12考点随机模拟方法【例6】从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nm C.解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,依据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与正方形面积之比等于m与n之比,从而用m,n表示出π的近似值.对点训练6(2024湖北金字三角高三线上联考)“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积始终算到了正3072边形,并由此求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该试验计算出来的圆周率近似值为()(参考数据:30.8269≈A.3.1419 B.3.1417 C.3.1415 D.3.141312.2古典概型与几何概型必备学问·预案自诊学问梳理1.基本领件2.(1)互斥(2)基本领件3.(1)①只有有限个②相等4.(1)长度(3)构成事件考点自诊1.(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2.B4本名著选两本共有C42=6种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有C31=3种,所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为33.C由图形得,△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,设CD=x,由DE∥BC则有ADAC=DECB,即4-x4=x2,解得x=43,设在△ABC上任取一点,则此点取自正方形DEFC为事务A,4.19本题考查古典概型第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则全部的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为4365.25设线段AC的长为xcm,则线段CB长为(10-x那么矩形面积为x(10-x)<16,解得x<2或x>8,又0<x<10,所以该矩形面积小于16cm2的概率为P=410关键实力·学案突破例1(1)A(2)B(1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛”的事务数为9种,满意“齐王获胜”的这一条件的状况为:齐王派出上等马,则获胜的事务数为3;齐王派出中等马,则获胜的事务数为2;齐王派出下等马,则获胜的事务数为1;故满意“齐王获胜”这一条件的事务数为6种,依据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23(2)在一次竞赛中某队共有甲,乙,丙等5位选手参与,赛前用抽签的方法确定出场的依次,基本领件总数n=A55=120,“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的基本领件个数m=A22A33+A22A3对点训练1(1)A(2)A(1)抛掷一枚硬币6次的基本领件总数n=26=64,这六次恰好有两个0和四个1包含的基本领件的个数为m=C62所以概率是P=mn(2)由题意,从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本领件有C82=28(其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本领件有4C32依据古典概型的概率计算公式,可得所求概率为1228例2解(1)由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30,女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含的男生人数为30女生人数为45×115=3.则从5人中随意选取2人共有C52=抽取的2人中没有男生有C32=3(种),则至少有一名男生有C52-故至少有一名男生的概率为710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为7对点训练2解(1)由题意知,样本数据的平均数x=4+6+12+12+18+206(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为26=13,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能状况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事务M,则事务M包含的可能状况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率P(M)=815例3(1)C(2)13(1)因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k(x+3)的距离d=|3k|1+k2≤1,解得-24≤k(2)连接AC,如图所示,tan∠CAB=CBAB=13=33,所以∠CAB=π6,直线AP在∠CAB内时,直线AP与线段对点训练3(1)B(2)16(1)由题意可知,其次节课的上课时间为8:40~9:20,时长40分钟若听其次节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟.所以听其次节课的时间不少于20分钟的概率为1040=14(2)因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,所以射线OA落在∠yOT内的概率为60°例4(1)C(2)A(1)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16.则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块,其面积为S=2×1=2.所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216(2)设该灯笼的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1(分米),所以该灯笼的体积V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),该灯笼内的灯焰的体积V1=13×π×22×4对点训练4(1)D(2)2764(1)设扇形的圆心角为α,大扇形的半径长为R,小扇形的半径长为r,则S大扇形=α2R2,S小扇形=α2r2,依据几何概型