2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1.2离散型随机变量的分布列二学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE2．1.2离散型随机变量的分布列(二)内容标准学科素养1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法作用．2.理解两点分布和超几何分布.利用数学抽象提升数学建模和数学运算授课提示：对应学生用书第29页[基础相识]学问点一两点分布eq\a\vs4\al(预习教材P47，思索并完成以下问题)在探讨随机现象时，须要依据所关切的问题恰当地定义随机变量．例如，假如我们仅关切电灯泡的运用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，寿命＜1000小时；,1，寿命≥1000小时.))与电灯泡的寿命X相比较，随机变量Y的构造更简洁，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，探讨起来更加简洁．200件产品中，有190件合格品、10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1取得不合格品,0取得合格品))求X的分布列．提示：P(X＝1)＝eq\f(10,200)＝eq\f(1,20)，P(X＝0)＝eq\f(190,200)＝eq\f(19,20)，∴X的分布列为：X10Peq\f(1,20)eq\f(19,20)像这样随机变量的值只有0和1的分布称为两点分布．学问梳理两点分布随机变量X的分布列为：X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X听从两点分布，并称p＝P(X＝1)为胜利概率．思索：两点分布中，随机变量的值域是什么？分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝3)＝0.6是否为两点分布．提示：{0,1}不是两点分布．学问点二超几何分布eq\a\vs4\al(预习教材P48，思索并完成以下问题)在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：取到的次品数X的分布列．解析：X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,95)C\o\al(1,5),C\o\al(3,100))，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,95)C\o\al(2,5),C\o\al(3,100))，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,100)).因此X的分布列为：X0123Peq\f(C\o\al(3,95),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(2,95)C\o\al(1,5),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(1,95)C\o\al(2,5),C\o\al(3,100))eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,100))在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，M≤N，n≤N，N，m、n∈N*.学问梳理超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))为超几何分布列．假如随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X听从超几何分布．对超几何分布的三点说明(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．[自我检测]1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.eq\f(C\o\al(4,80)C\o\al(6,10),C\o\al(10,100)) B.eq\f(C\o\al(6,80)C\o\al(4,10),C\o\al(10,100))C.eq\f(C\o\al(4,80)C\o\al(6,20),C\o\al(10,100)) D.eq\f(C\o\al(6,80)C\o\al(4,20),C\o\al(10,100))答案：D2．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的胜利次数，则P(ξ＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案：C授课提示：对应学生用书第30页探究一两点分布[阅读教材P47例1]在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，针尖向上；,0，针尖向下.))假如针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列．题型：两点分布方法步骤：(1)写出X的取值0,1；(2)写出X取各个值时的概率；(3)列出分布列．[例1]一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．(1)从中随意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出红球.))求X的分布列；(2)从中随意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．[解析](1)由题意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7)，所以X的分布列为：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由题意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7)，所以X的分布列为：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)方法技巧两点分布的两个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事务的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.跟踪探究1.随机变量ξ听从两点分布，且P(ξ＝1)＝0.8，η＝3ξ－2，则P(η＝－2)＝________.解析：当η＝－2时，ξ＝0，所以P(η＝－2)＝P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝0.2.答案：0.2探究二超几何分布[阅读教材P50习题2.1A组6题改编]学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班被选到的人数X的分布列．解析：X的取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(10,26),C\o\al(10,30))，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(9,26)C\o\al(1,4),C\o\al(10,30))，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(8,26)C\o\al(2,4),C\o\al(10,30))，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(7,26)C\o\al(3,4),C\o\al(10,30))，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(10,30)).∴X的分布列为：X01234Peq\f(C\o\al(4,26),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(3,26)C\o\al(1,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(2,26)C\o\al(2,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(1,26)C\o\al(3,4),C\o\al(10,30))eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(10,30))[例2]一个袋中装有6个形态大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．[解析](1)从袋中一次随机抽取3个球，基本领件总数n＝Ceq\o\al(3,6)＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本领件的个数为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(2)由题意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20).所以X的分布列为：X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20)方法技巧求解超几何分布问题的留意事项(1)在产品抽样检验中，假如采纳的是不放回抽样，则抽到的次品数听从超几何分布．(2)在超几何分布公式中P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}．这里N是产品总数，M是产品中次品数，n是抽样的样品数．(3)假如随机变量X听从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的全部取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．延长探究1.在例2的条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．解析：由题意η＝0,1，听从两点分布，又P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，所以η的分布列为：η01Peq\f(1,2)eq\f(1,2)2.将例2的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解析：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2)×C\o\al(1,1)×A\o\al(3,3),63)＝eq\f(1,6).(2)由题意知X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(33,63)＝eq\f(1,8)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×3×3×3,63)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)×3×3,63)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝eq\f(33,63)＝eq\f(1,8).所以X的分布列为：X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)跟踪探究2.某市A，B两所中学的学生组队参与辩论赛，A中学举荐了3名男生、2名女生，B中学举荐了3名男生、4名女生，两校所举荐的学生一起参与集训．由于集训后队员水平相当，从参与集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场竞赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解析：(1)由题意知，参与集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)依据题意，知X的全部可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).所以X的分布列为：X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)探究三分布列的综合应用[阅读教材P48例3]在某年级的联欢会上设计了一个摸奖嬉戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．题型：超几何分布中某事务的概率方法步骤：(1)设摸出红球个数为x，则x听从超几何分布；(2)由中奖规则知中奖概率就是x≥3时的概率，从得求出P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)即可．[例3]袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球．用X表示取出的3个小球的最大数字．(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列．[解析](1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事务记为A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).(2)由题意，X全部可能的取值是2,3,4,5.P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以随机变量X的概率分布列为：X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)方法技巧1.在求某些比较难计算的事务的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再依据概率之和为1的性质即可解决问题．2．在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事务进行求解不失为一种好方法．跟踪探究3.某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．解析：ξ的全部可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1))＝eq\f(1,5).因此ξ的分布列为：ξ12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).授课提示：对应学生用书第31页[课后小结](1)两点分布：两点分布是很简洁的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要留意胜利概率的值指的是哪一个量．(2)超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以依据公式：P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求出X取不同值k时的概率．[素养培优]1.随机变量的取值不正确致误从4张编号1,2,3,4的卡片中随意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的分布列．易错分析：审题不细致得出ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8致误．考查数据分析和数学运算的学科