天津市宁河区芦台第一中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟考试数学试题(解析版)_第1页
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文档简介

高三模拟试题PAGEPAGE1芦台一中高三下学期第一次模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),考试用时120分钟,共150分.答卷时,将选择题的〖答案〗用2B铅笔涂在答题卡上,非选择题的〖答案〗写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题(每小题5分,共45分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知集合,则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化简集合A,B,求交集并集即可.详析〗,,故选:C.2.已知命题,,则命题的否定是A., B.,C., D.,〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据特称命题的否定,改变量词,否定结论,可得出命题的否定.〖详析〗命题为特称命题,其否定为,.故选:C.〖『点石成金』〗本题考查特称命题的否定的改写,要注意量词和结论的变化,属于基础题.3.函数的大致图象为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗首先判断函数的奇偶性,排除选项,再判断时,函数值的正负,排除选项.〖详析〗显然,,解得:且,函数的定义域关于原点对称,且,函数是奇函数,关于原点对称,排除CD;当,,,所以,排除B故选:A.4.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄在17~18岁的男生的体重(千克),将他们的体重按〖54.5,56.5),〖56.5,58.5),…,〖74.5,76.5〗分组,得到频率分布直方图如图所示.由图可知这100名学生中体重在〖56.5,64.5)的学生人数是()A.20 B.30C.40 D.50〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗计算〖56.5,64.5)的频率为0.4,然后样本人数100×0.4=40人.〖详析〗由频率分布直方图可得体重在〖56.5,64.5)的学生频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,则这100名学生中体重在〖56.5,64.5)的学生人数为100×0.4=40.故选:C.〖『点石成金』〗易错『点石成金』:在频率分布直方图中,小长方形的面积表示频率,而不是纵坐标表示频率.5.已知正方体的所有顶点都在球O的表面上,若球的体积为,则正方体的体积为().A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出球的半径,再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系,求出正方体的棱长,即可求出正方体的体积.〖详析〗解:球的体积为,即,解得:,设正方体的棱长为,由题意知:,即,解得:,正方体的体积.故选:D.6.在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为A.36 B.72 C.24 D.48〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗分为两步进行求解,即先把四名学生分为1,1,2三组,然后再分别对应3名任课老师,根据分步乘法计数原理求解即可.〖详析〗根据题意,分2步进行分析:①先把4名学生分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有种分组方法;②将分好的3组对应3名任课教师,有种情况;根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案.故选A.〖『点石成金』〗解答本题的关键是读懂题意,分清是根据分类求解还是根据分布求解,然后再根据排列、组合数求解,容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题.考查理解和运用知识解决问题的能力,属于基础题.7.已知是定义在上的偶函数,且在是增函数,记,,,则的大小关系为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据指数函数和对数函数单调性可确定,根据单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系.〖详析〗,在是增函数,,又为偶函数,,,即.故选:A.8.如图,已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆于两点(在之间),与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗过作,垂足为H,可得,在直角中利用勾股定理可求出,进而得出,利用双曲线定义得出关系即可求出离心率.〖详析〗圆,故圆心为原点,半径为,过作,垂足为H,则H是AB中点,,则H是中点,,,,则在直角中,,则,是中点,,则由双曲线定义可得,解得.故选:D.〖『点石成金』〗本题考查双曲线离心率的求解,解题的关键是作出中点H,得出,进而利用双曲线定义求解.9.设函数在上单调递减,则下述结论:①关于中心对称;②关于直线轴对称;③在上的值域为;④方程在有个不相同的根.其中正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用题干中的已知条件求得,可得出,利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误,利用正弦型函数的值域可判断③的正误,求出方程在上的解,可判断④的正误.〖详析〗,由可得,由于函数在上单调递减,所以,,所以,,解得,由,解得,且,,可得,,则.对于①,,所以,,所以,函数的图象关于点成中心对称,①错误;对于②,,②错误;对于③,当时,,则,所以,,即在上的值域为,③正确;对于④,当时,,令,可得,或或或.所以,方程在有个不相同的根,④正确.故选:D.〖『点石成金』〗方法『点石成金』:求函数在区间上值域的一般步骤:第一步:三角函数式的化简,一般化成形如的形式或的形式;第二步:由的取值范围确定的取值范围,再确定(或)的取值范围;第三步:求出所求函数的值域(或最值).第Ⅱ卷二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对一个给3分)10.设是虚数单位,复数是实数,则实数的值是_________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗利用复数除法运算可化简得到,由实数的定义可构造方程求得的值.〖详析〗实数,,解得:.故〖答案〗为:.11.已知直线被圆截得的弦长为,则的值为_________.〖答案〗1〖解析〗〖祥解〗利用圆心到直线的距离,通过勾股定理列方程求解即可.〖详析〗依题意可得圆心,半径,则圆心到直线的距离,由勾股定理可知,,代入化简可得,且,解得.故〖答案〗:.12.设曲线在点处的切线方程为,则___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求导,根据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率.〖详析〗所以函数在处的导函数值为,根据导数几何意义可得故〖答案〗为:13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则_______;______.〖答案〗①.②.1〖解析〗〖祥解〗先计算出的分布列,再利用公式可求.〖详析〗随机变量,对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球,所以,对应事件为第一次拿黄球,第二次拿红球,或第一次拿黄球,第二次拿绿球,第三次拿红球,或第一次拿绿球,第二次拿黄球,第三次拿红球,故,故,所以.故〖答案〗为:.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』:计算离散型随机变量的分布列,注意随机变量取值时对应的含义,从而正确计算对应的概率,另外注意利用对立事件计算概率.14.已知、都是正数,且,则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由可得出,根据已知条件得出,将代入所求代数式可得出,利用基本不等式可求得的最小值.〖详析〗,所以,,,由,解得,则,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故〖答案〗为:.〖『点石成金』〗易错『点石成金』:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.在中,,,,在边上,若,,则实数的值为______________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据向量数量积定义可求得,利用表示出,利用平面向量数量积的运算律可构造方程求得的值.〖详析〗,,解得:.故〖答案〗为:.三、解答题(本题共5小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.在中,角所对边分别为,,,且,,.(1)求边及的值;(2)求的值.〖答案〗(1),(2)〖解析〗〖祥解〗(1)先由求得,再利用三角形面积公式可得,结合条件可得,的值,从而利用余弦定理求得,利用正弦定理求得;(2)由(1)可知,从而求得,,再结合二倍角公式与余弦的和差公式求解即可.〖小问1详析〗因为,,所以,因为,所以,又,即,所以,即,解得(负值舍去),则,所以,则,因为,即,所以.〖小问2详析〗在中,,由(1)可得,则,所以,,则,,所以.17.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,是线段的中点,设平面与平面的交线为.(1)证明∥平面BCM(2)已知,为上的点,若与平面所成角的正弦值为是,求线段的长.(3)在(2)的条件下,求二面角的正弦值.〖答案〗(1)证明见〖解析〗(2)(3)〖解析〗〖祥解〗(1)先证明∥平面,结合线面平行的性质定理可证∥平面;(2)建立空间直角坐标系,设,计算出平面的一个法向量为,结合与平面所成角的正弦值为是解出,进而可得的长;(3)分别计算二面角两个半平面的法向量,结合空间角的向量求法即可求解.〖小问1详析〗在正方形中,,因为平面,平面,所以∥平面,又因为平面,平面平面,所以,因为平面,平面,所以∥平面〖小问2详析〗如图建立空间直角坐标系,因为,则有,,,,,设,则有,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,所以平面的一个法向量为,则因为与平面所成角的正弦值为是,所以,解得.所以.〖小问3详析〗由(2)可知平面的一个法向量为因为是线段的中点,所以于是,,设平面的法向量则,即.令,得,,,所以二面角的正弦值为.18.已知等差数列的公差为正数,,前项和为,数列为等比数列,,且,.(1)求数列、的通项公式;(2)令,求数列的前项的和.〖答案〗(1),(2)〖解析〗〖祥解〗(1)直接利用等差数列和等比数列的性质,列出方程组即可求出通项公式;(2)利用错位相减和分组求和进行求和.〖小问1详析〗设的公差为,的公比为,因为且,所以,所以,所以,;〖小问2详析〗因为,所以;所以记所以所以所以.19.已知椭圆的离心率为,一个顶点A在抛物线的准线上,其中为原点.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆的右焦点,点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点).(i)直线与以为圆心圆相切于点,且为线段的中点,求实数的取值范围;(ii)若点在第四象限,且,求直线的斜率.〖答案〗(1);(2)(i);(ii).〖解析〗〖祥解〗(1)求出抛物线的准线方程,从而得到,结合离心率列出方程组,求出椭圆方程;(2)(i)解法1:设出直线的方程为,联立椭圆方程,求出点的坐标,点的坐标,根据,斜率乘积为,得到,,利用基本不等式求出的取值范围,结合异于椭圆的顶点,所以,最终求出范围;解法2:设,得到,由,得到,列出方程,结合,得到,结合且,求出的取值范围;(ⅱ)解法1:分与两种情况,根据差角正弦公式得到或,直线的倾斜角为,从而求出直线方程,进而联立椭圆方程,求出点坐标,从而求出直线斜率.解法2:由,,得到,结合(ⅰ)中所求点的坐标,表达出到直线的距离为,从而表达出,,从而列出方程,求出.小问1详析〗的准线方程为,由已知,得,而,,∴,,故;〖小问2详析〗(ⅰ)解法1:因为直线与以为圆心的圆相切于点,所以,根据题意可知,直线和的斜率均存在,设直线的斜率为,则直线的方程为,即,联立与得:,解得或.将代入,得,所以,点的坐标为,因为为线段的中点,点A的坐标为,所以点的坐标为,由,得点的坐标为,所以直线的斜率为,又因为,所以,整理得,因,所以且,当且仅当,即时取得等号.因为异于椭圆的顶点,所以,解得的取值范围是.解法2:因为,而得,设,即,∵,则,∴,整理得,①而,有,代入①中得,∴,由椭圆方程知:且,∴,(ⅱ)解法1:不妨令,如图1所示:因为,所以,由点在第四象限,∴,而,,∴,而,有,即直线的倾斜角为,∴直线为,代入椭圆方程得,得,,∴由知:;若,如图2,因为,所以,由点在第四象限,∴,而,,所以,而,有,即直线的倾斜角为,∴直线为,代入椭圆方程得,得,,∴由知:;(ⅱ)解法2:由,且,得,即由(ⅰ)知,点的坐标为,且点在轴的下方,则.设到直线:的距离为,.,.从而,解得:.〖『点石成金』〗圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.20.已知函数,.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,证明;(3)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.〖答案〗(1)在单调递增,在单调递减;(2)证明见〖解析〗(3)〖解析〗〖祥解〗(1)把函数写成分段函数,再判断每一段函数的单调性;(2)要证明的不等式化简成要证明成立,求导判断单调性求最小值.(3)分离参量转化求,分别求导判断单调性,求最值即可.〖小问1详析〗当时,求函数当时,所以在单调递增;当时,所以在单调递减;综上函数在单调递增,在单调递减;〖小问2详析〗当时,要证,只需证,即证明令,则当时,,当时,所以在单调递减,在单调递增所以,即.〖小问3详析〗由题意,不等式有解,即不等式在上有解等价于在上有解,则设,,当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以,所以.设,,设(),,由,得.所以在单调递减,在单调递增.所以,则,所以在上单调递增当时,,所以综上,实数的取值范围是.高三模拟试题PAGEPAGE1芦台一中高三下学期第一次模拟考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),考试用时120分钟,共150分.答卷时,将选择题的〖答案〗用2B铅笔涂在答题卡上,非选择题的〖答案〗写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题(每小题5分,共45分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知集合,则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化简集合A,B,求交集并集即可.详析〗,,故选:C.2.已知命题,,则命题的否定是A., B.,C., D.,〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据特称命题的否定,改变量词,否定结论,可得出命题的否定.〖详析〗命题为特称命题,其否定为,.故选:C.〖『点石成金』〗本题考查特称命题的否定的改写,要注意量词和结论的变化,属于基础题.3.函数的大致图象为()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗首先判断函数的奇偶性,排除选项,再判断时,函数值的正负,排除选项.〖详析〗显然,,解得:且,函数的定义域关于原点对称,且,函数是奇函数,关于原点对称,排除CD;当,,,所以,排除B故选:A.4.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄在17~18岁的男生的体重(千克),将他们的体重按〖54.5,56.5),〖56.5,58.5),…,〖74.5,76.5〗分组,得到频率分布直方图如图所示.由图可知这100名学生中体重在〖56.5,64.5)的学生人数是()A.20 B.30C.40 D.50〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗计算〖56.5,64.5)的频率为0.4,然后样本人数100×0.4=40人.〖详析〗由频率分布直方图可得体重在〖56.5,64.5)的学生频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,则这100名学生中体重在〖56.5,64.5)的学生人数为100×0.4=40.故选:C.〖『点石成金』〗易错『点石成金』:在频率分布直方图中,小长方形的面积表示频率,而不是纵坐标表示频率.5.已知正方体的所有顶点都在球O的表面上,若球的体积为,则正方体的体积为().A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出球的半径,再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系,求出正方体的棱长,即可求出正方体的体积.〖详析〗解:球的体积为,即,解得:,设正方体的棱长为,由题意知:,即,解得:,正方体的体积.故选:D.6.在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为A.36 B.72 C.24 D.48〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗分为两步进行求解,即先把四名学生分为1,1,2三组,然后再分别对应3名任课老师,根据分步乘法计数原理求解即可.〖详析〗根据题意,分2步进行分析:①先把4名学生分成3组,其中1组2人,其余2组各1人,有种分组方法;②将分好的3组对应3名任课教师,有种情况;根据分步乘法计数原理可得共有种不同的问卷调查方案.故选A.〖『点石成金』〗解答本题的关键是读懂题意,分清是根据分类求解还是根据分布求解,然后再根据排列、组合数求解,容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题.考查理解和运用知识解决问题的能力,属于基础题.7.已知是定义在上的偶函数,且在是增函数,记,,,则的大小关系为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据指数函数和对数函数单调性可确定,根据单调性和偶函数定义可比较出函数值的大小关系.〖详析〗,在是增函数,,又为偶函数,,,即.故选:A.8.如图,已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆于两点(在之间),与双曲线在第一象限的交点为,为坐标原点,若,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗过作,垂足为H,可得,在直角中利用勾股定理可求出,进而得出,利用双曲线定义得出关系即可求出离心率.〖详析〗圆,故圆心为原点,半径为,过作,垂足为H,则H是AB中点,,则H是中点,,,,则在直角中,,则,是中点,,则由双曲线定义可得,解得.故选:D.〖『点石成金』〗本题考查双曲线离心率的求解,解题的关键是作出中点H,得出,进而利用双曲线定义求解.9.设函数在上单调递减,则下述结论:①关于中心对称;②关于直线轴对称;③在上的值域为;④方程在有个不相同的根.其中正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用题干中的已知条件求得,可得出,利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误,利用正弦型函数的值域可判断③的正误,求出方程在上的解,可判断④的正误.〖详析〗,由可得,由于函数在上单调递减,所以,,所以,,解得,由,解得,且,,可得,,则.对于①,,所以,,所以,函数的图象关于点成中心对称,①错误;对于②,,②错误;对于③,当时,,则,所以,,即在上的值域为,③正确;对于④,当时,,令,可得,或或或.所以,方程在有个不相同的根,④正确.故选:D.〖『点石成金』〗方法『点石成金』:求函数在区间上值域的一般步骤:第一步:三角函数式的化简,一般化成形如的形式或的形式;第二步:由的取值范围确定的取值范围,再确定(或)的取值范围;第三步:求出所求函数的值域(或最值).第Ⅱ卷二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对一个给3分)10.设是虚数单位,复数是实数,则实数的值是_________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗利用复数除法运算可化简得到,由实数的定义可构造方程求得的值.〖详析〗实数,,解得:.故〖答案〗为:.11.已知直线被圆截得的弦长为,则的值为_________.〖答案〗1〖解析〗〖祥解〗利用圆心到直线的距离,通过勾股定理列方程求解即可.〖详析〗依题意可得圆心,半径,则圆心到直线的距离,由勾股定理可知,,代入化简可得,且,解得.故〖答案〗:.12.设曲线在点处的切线方程为,则___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求导,根据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率.〖详析〗所以函数在处的导函数值为,根据导数几何意义可得故〖答案〗为:13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则_______;______.〖答案〗①.②.1〖解析〗〖祥解〗先计算出的分布列,再利用公式可求.〖详析〗随机变量,对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球,所以,对应事件为第一次拿黄球,第二次拿红球,或第一次拿黄球,第二次拿绿球,第三次拿红球,或第一次拿绿球,第二次拿黄球,第三次拿红球,故,故,所以.故〖答案〗为:.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』:计算离散型随机变量的分布列,注意随机变量取值时对应的含义,从而正确计算对应的概率,另外注意利用对立事件计算概率.14.已知、都是正数,且,则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由可得出,根据已知条件得出,将代入所求代数式可得出,利用基本不等式可求得的最小值.〖详析〗,所以,,,由,解得,则,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故〖答案〗为:.〖『点石成金』〗易错『点石成金』:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.在中,,,,在边上,若,,则实数的值为______________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据向量数量积定义可求得,利用表示出,利用平面向量数量积的运算律可构造方程求得的值.〖详析〗,,解得:.故〖答案〗为:.三、解答题(本题共5小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.在中,角所对边分别为,,,且,,.(1)求边及的值;(2)求的值.〖答案〗(1),(2)〖解析〗〖祥解〗(1)先由求得,再利用三角形面积公式可得,结合条件可得,的值,从而利用余弦定理求得,利用正弦定理求得;(2)由(1)可知,从而求得,,再结合二倍角公式与余弦的和差公式求解即可.〖小问1详析〗因为,,所以,因为,所以,又,即,所以,即,解得(负值舍去),则,所以,则,因为,即,所以.〖小问2详析〗在中,,由(1)可得,则,所以,,则,,所以.17.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,是线段的中点,设平面与平面的交线为.(1)证明∥平面BCM(2)已知,为上的点,若与平面所成角的正弦值为是,求线段的长.(3)在(2)的条件下,求二面角的正弦值.〖答案〗(1)证明见〖解析〗(2)(3)〖解析〗〖祥解〗(1)先证明∥平面,结合线面平行的性质定理可证∥平面;(2)建立空间直角坐标系,设,计算出平面的一个法向量为,结合与平面所成角的正弦值为是解出,进而可得的长;(3)分别计算二面角两个半平面的法向量,结合空间角的向量求法即可求解.〖小问1详析〗在正方形中,,因为平面,平面,所以∥平面,又因为平面,平面平面,所以,因为平面,平面,所以∥平面〖小问2详析〗如图建立空间直角坐标系,因为,则有,,,,,设,则有,,,设平面的法向量为,则,即,令,则,所以平面的一个法向量为,则因为与平面所成角的正弦值为是,所以,解得.所以.〖小问3详析〗由(2)可知平面的一个法向量为因为是线段的中点,所以于是,,设平面的法向量则,即.令,得,,,所以二面角的正弦值为.18.已知等差数列的公差为正数,,前项和为,数列为等比数列,,且,.(1)求数列、的通项公式;(2)令,求数列的前项的和.〖答案〗(1),(2)〖解析〗〖祥解〗(1)直接利用等差数列和等比数列的性质,列出方程组即可求出通项公式;(2)利用错位相减和分组求和进行求和.〖小问1详析〗设的公差为,的公比为,因为且,所以,所以,所以,;〖小问2详析〗因为,所以;所以记所以所以所以.19.已知椭圆的离心率为,一个顶点A在抛物线的准线上,其中为原点.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆的右焦点,点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点).(i)直线与以为圆心圆相切于点,且为线段的中点,求实数的取值范围;(ii)若点在第四象限,且,求直线的斜率.〖答案〗(1);(2)(i);(ii).〖解析〗〖祥解〗(1)求出抛物线的准线方程,从而得到,结合离心率列出方程组,求出椭圆方程;(2)(i)解法1:设出直线的方程为,联立椭圆方程,求出点的坐标,点的坐标,根据,斜率乘积为,得到,,利用基本不等式求出的取值范围,结合异于椭

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