2024-2025学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是A． B． C． D．2．（2分）下列运算正确的是A． B． C． D．3．（2分）下列选项是一元二次方程的是A． B． C． D．为常数）4．（2分）下列关于的方程中，一定有实数根的是A． B． C． D．5．（2分）下列命题中，是真命题的是A．如果一元二次方程有两个实数根，那么 B．如果，那么 C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等6．（2分）在△中，为中点，下列说法错误的是A．点、到直线的距离相等 B．如果，，，那么 C．如果，，垂足分别为点，，那么 D．如果，那么二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）当时，有意义．8．（3分）化简：．9．（3分）的有理化因式可以是．（只需填一个）10．（3分）已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：．11．（3分）不等式的解集是．12．（3分）在实数范围内因式分解：．13．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是．14．（3分）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式．．15．（3分）某工厂五月份的产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为．（填百分数）16．（3分）如图，在△中，，平分，，已知，那么．17．（3分）如图，已知，，，如果，，，那么．18．（3分）我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下：由题意，可知，得．原方程变形为，，（舍去）或，．已知，参考以上方法，可求得．三、解答题（本大题共7题，第19-22题每题6分；第23-24题每题8分；第25题12分，满分52分）19．（6分）计算：．20．（6分）计算：．21．（6分）配方法解方程：．22．（6分）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度．23．（8分）求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了△以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明．已知：如图，在△中，．求证：．证明：24．（8分）如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆与，不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长．25．（12分）已知在△中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点．（1）如图，当在线段上时．①设，那么．（用含的代数式表示）．②求证：；（2）设点到直线的距离为，当△的面积为4时，请直接写出的值．

参考答案一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是A． B． C． D．解：、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：．2．（2分）下列运算正确的是A． B． C． D．解：、，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意，故选：．3．（2分）下列选项是一元二次方程的是A． B． C． D．为常数）解：．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；．是代数式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；．是一元二次方程，故此选项符合题意；．为常数），当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：．4．（2分）下列关于的方程中，一定有实数根的是A． B． C． D．解：、由得，，方程没有实数根，故不符合题意；、，△，方程没有实数根，故不符合题意；、，当且，同号时，方程没有实数根，故不符合题意；、，经整理得：，解得：，方程有实数根，符合题意；故选：．5．（2分）下列命题中，是真命题的是A．如果一元二次方程有两个实数根，那么 B．如果，那么 C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等解：．如果一元二次方程有两个实数根，那么，原命题不是真命题，故不符合题意；．如果，那么，此命题为真命题，故符合题意；．如图1，△和△都是等腰三角形，且，且腰上的高，从图形中显然可看出这两个三角形不全等，原命题是假命题，故不符合题意；．如图2，等腰△和△中，，但△与△不全等，因此原命题是假命题，不符合题意．故选：．6．（2分）在△中，为中点，下列说法错误的是A．点、到直线的距离相等 B．如果，，，那么 C．如果，，垂足分别为点，，那么 D．如果，那么解：连接，过作于，过作于，如图1，则，在△和△中，，△△，，点、到直线的距离相等，故选项正确，但不符合题意；如图2，，，，，，，，，，，即，，故选项正确，但不符合题意；如图3，为中点，，又，，，，故选项正确，但不符合题意；由选知，当时，，与、数量关系无关，故选项错误，符合题意；故选：．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）当时，有意义．解：是二次根式，，．故答案为：．8．（3分）化简：．解：，故答案为：．9．（3分）的有理化因式可以是（答案不唯一）．（只需填一个）解：，的有理化因式可以是，故答案为：（答案不唯一）．10．（3分）已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：．解：设一元二次方程为：，一元二次方程有一个根为，，，故该方程为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．11．（3分）不等式的解集是．解：移项、合并同类项得，，不等式两边同乘以得，．12．（3分）在实数范围内因式分解：．解：根据，其中、是一元二次方程的两个根，的两个根为，，，故答案为：．13．（3分）关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是．解：原方程可化为：，一元二次方程有两个实数根，，解得，故答案为：．14．（3分）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．解：命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果，那么”的形式为如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．故答案为如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等．15．（3分）某工厂五月份的产值为100万元，七月份的产值为81万元，如果每个月产值降低的百分率相同，那么这个降低的百分率为．（填百分数）解：设这个降低的百分率为，根据题意，得，解得，（舍去），这个降低的百分率为，故答案为：．16．（3分）如图，在△中，，平分，，已知，那么52．解：，，，，，平分，，，，，故答案为：52．17．（3分）如图，已知，，，如果，，，那么5．解：，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，又，，故答案为：5．18．（3分）我们知道二次根式具有以下性质：，小普同学经过思考，得出，利用这些结论，准确解出形如的方程，方法如下：由题意，可知，得．原方程变形为，，（舍去）或，．已知，参考以上方法，可求得．解：由题意，可知，，，，，，，，解得（舍去）或，，，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，第19-22题每题6分；第23-24题每题8分；第25题12分，满分52分）19．（6分）计算：．解：．20．（6分）计算：．解：．21．（6分）配方法解方程：．解：，，，，，，．22．（6分）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度．解：设，则，点是线段的黄金分割点，，即，化简，得，解得，（舍去），的长度为．23．（8分）求证：如果一个三角形一边上的中线平分这条边所对的内角，那么这个三角形是等腰三角形．如图所示，小普同学按照题目要求画出了△以及边上的中线，请你依据此图完成命题的证明．已知：如图，在△中，平分，交边于点，且，．求证：．证明：解：由题意得：平分，交边于点，且，求证：．证明如下：如图：延长至，使，连接，在△和△中，，△△，，，平分，，，，，故答案为：平分，交边于点，且；．24．（8分）如图，已知一个一面靠墙（图中阴影部分，墙长10米），三面用篱笆围成的正方形仓库，该仓库的边长为4米，且仓库的一边紧贴墙的一端，现因业务需要进行扩建，保留边，拆除另外两面篱笆与，不计损耗，用拆除的旧篱笆加上8米长的新篱笆进行如图所示的扩建．如果要求新的长方形仓库的面积增加32平方米，求新仓库相邻两边的长．解：设米，则米，根据题意，得，解得，（舍去），米，米，答：新仓库相邻两边的长分别为8米，6米．25．（12分）已知在△中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点．（1）如图，当在线段上时．①设，那么．（用含的代数式表示）．②求证：；（2）设点到直线的距离为，当△的面积为4时，请直接写出的值．【解答】（1）①解：，，，，，，，故答案为：；②证明：在上取点，使，联结，如图1，，，，又，，，，，由①知：，在△和△中，，△