【暑期课程人教版八年级数学】教师版

目录第一章学前测试 1第一讲学前测试 1第二章方程（组）与不等式 18第二讲方程（组）与不等式 18第三章实数 36第三讲实数 36第四章相交线与平行线 53第四讲相交线与平行线 53第五章三角形 72第五讲与三角形有关的线段和角 72第六讲多边形及其内角和 92第七讲全等三角形的性质与判定１ 108第八讲全等三角形的性质与判定２ 125第六章轴对称 150第九讲角平分线的性质 150第十讲轴对称与轴对称图形 168第十一讲等腰三角形初步 186第十二讲轴对称综合 207第一章学前测试第第1讲讲第一讲小试牛刀小试牛刀

概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点两直线平行的判定与性质三角形及其相关性质翻折变换（折叠问题）非负数的性质：算术平方根点的坐标的规律一元一次不等式的整数解在数轴上表示不等式（组）的解集解二元一次方程根据实际问题列二元一次方程用样本估计总体统计图表教学目标对每一章重点知识进行考察，提高复习课的有效性，使知识系统化，条理化，培养学生良好的习惯。注重各章节知识间联系的考察，培养同学们综合应用解答问题的能力。教学重点及时反馈错题，并进行针对性分析，并辅以课后练习加以巩固。通过典型题型的反复练习，以达到夯实“双基”、掌握基本方法的目的。教学难点渗透新课标理念，注重新题型，考察学生实验探究、动手操作的能力。培养运用数学思想方法的能力，如：①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想；④转化思想等。【知识导图】

教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入有很多种方法，一般控制在十分钟左右为宜，可以采用各种形式，比如：1、直接导入法。2、复习以往知识：可以从已学、已知的入手，与今天的教学进行对比。3、课前小测：可以针对学生学校近期讲授的内容进行出题（以简单题和中档题为主，以10分钟左右为宜）进行测验，也可以针对基础知识进行复习提问，检查学生学校所学内容的掌握程度，进而展开教学。4、以近年来发生的重大事件为题导入。既考查了学生从社会生活中获取信息的能力，又激发了学生的学习兴趣，让学生马上进入学习状态等。以上的导入方法只是建议，大家选择其中一种或两种进行交叉使用即可。一、导入：为更好的了解同学的学习情况，我们对数学七年级下的基础知识进行检测。主要考查同学们数感、符号感、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、发现问题和分析解决问题的能力等. 试卷结构（一）试卷分数、考试时间：试卷满分为100分；考试时间为60分钟（二）试卷知识内容分布：数与代数约45分；空间与图形约45分；统计与概率约10分（三）试卷试题难易程度分布：较易试题约50分；中等试题约30分；较难试题约20分。试卷由较易试题、中等难度试题和较难试题组成，总体难度适中。（四）试卷题型分布：选择题约50分；填空题约20分；解答题约30分二、复习预习二、知识讲解二、知识讲解知识点知识点1“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”注意：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．知识点2平行线知识点2平行线（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点知识点3二元一次方程满足的三个条件（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.知识点4知识点4解二元一次方程组用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．代入消元法(1)代入消元法关键是先把系数较简单方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．知识点知识点5实数1．算术平方根一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.性质：非负性规定：0的算术平方根是0.2.平方根一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么实数叫做的平方根.3.根据平方根估整数1．立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.一般地，.（2）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是02.实数__________叫做无理数.____________统称实数.____________与数轴上的点一一对应.3.绝对值性质一个正实数的绝对值是________；一个负实数的绝对值是_______；0的绝对值是_______.知识点知识点6解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.注意：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.三、例题三、例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。第一卷 选择题（共50分）一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分） 下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的。请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置。题号12345678910答案BDACABCABD1．如图，AB∥CD，且∠BAP=60°﹣α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°﹣α，则α=（）A． 10° B． 15° C． 20° D． 30°【答案】B．过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP=∠APM，∠DCP=∠MPC，∴∠APC=∠APM+∠CPM=∠BAP+∠DCP，∴45°+α=（60°﹣α）+（30°﹣α），解得α=15°．【解析】注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．2．小新进行正多边形镶嵌，他剪出下列四种正多边形，其中不能单独镶嵌平面的（）A． 正三角形 B． 正方形 C． 正六边形 D． 正八边形【答案】D．A正三角形一个内角=180-360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面；B正方形的一个内角=180-360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面；C正六边形一个内角=180-360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面；D正八边形一个内角=180-360÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面；【解析】一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180-360÷边数．3．下列说法：①任何数都有算术平方根；②a的算术平方根是a；③（x﹣5）的算术平方根是x﹣5；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤算术平方根一定是非负数，正确的有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【答案】A．①负数没有算术平方根，错误；②a的算术平方根，错误；③同②，错误；④一个数的算术平方根一定是非负数，错误；⑤算术平方根一定是非负数，正确；【解析】本题考查了平方根及算术平方根的概念与性质的理解及运用．4．坐标平面内，点P与点M关于y轴对称，点P与点N关于原点对称，则点M与点N（）A． 关于原点对称 B． 关于y轴对称 C． 关于x轴对称 D． 互相重合【答案】C．设P点坐标为（x，y），根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P关于y轴对称的点M的坐标为（﹣x，y），点P关于原点对称的点N的坐标为（﹣x，﹣y），∴点M与点N关于x轴对称．【解析】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．甲（▲），乙（●），丙（■）表示的是三种不同的物体，现用天平称了两次，如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序应是（）A． 甲乙丙 B． 乙甲丙 C． 甲丙乙 D． 丙乙甲【答案】A．由图可知，▲＞●，2●＞3■，∴●＞■，∴▲＞●＞■，即甲＞乙＞丙．【解析】考查不等式的性质，根据所给的图形得出▲＞●，2●＞3■是解答此题的关键．6．方程3x+y=10的正整数解有（）组A． 1组 B． 3组 C． 4组 D． 无数组【答案】B．方程可变形为y=10﹣3x．当x=1时，则y=10﹣3=7；当x=2时，则y=10﹣6=4；当x=3时，则y=10﹣9=1．故方程3x+y=10的正整数解有，，，共3组．【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有限的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定x一个正整数的值，计算y的值即可．7．下列说法正确的是（）A．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量可采用普查的调查方式进行B．销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数C．为了了解一本300页的书稿的错别字的个数，应采用普查的调查方式进行D．为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取1000份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的1000名学生【答案】C．A为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量可采用普查的调查方式进行，极具破坏性，只能采用抽样调查，错误；B销售商最感兴趣的是各类鞋的数量的平均数，错误；C为了了解一本300页的书稿的错别字的个数，工作量小无破坏性，可以采用普查，正确；D样本是1000名学生的数学成绩，错误．【解析】注意采用全面调查和抽样调查应满足的条件，理解样本容量的概念．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．8．若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】A．令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为，∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得．【解析】解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．9．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P=（）A． 15° B． 20° C． 25° D． 30°【答案】B．延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于与其不相邻的两个内角和，得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，即∠ACD-∠ABD=60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+∠ACD=∠A+∠ABD，即∠P=50°-（∠ACD-∠ABD）=20°．【解析】本题综合考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点．

10．不等式组的解集中含有3个整数，那么m的取值范围是（）．A．6＜m＜7B．6≤m≤7C．6≤m＜7D．6＜m≤7【答案】D．∵，由①得：x＞3，∴不等式组的解集为：3＜x＜m，∵解集中含有3个整数，∴6＜m≤7。【解析】先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．第二卷 非选择题（共50分）二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）11．直线a平行于x轴，且过点（﹣2，3）和（5，y），则y=．【答案】∵过两点的直线平行于x轴，∴（﹣2，3）和（5，y）的纵坐标相同，∴y=3．【解析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等．12．已知是关于x的一元一次不等式，则m=．【答案】根据题意|m|﹣3=1，m+4≠0解得|m|=4，m≠﹣4，所以m=4.【解析】一元一次不等式中的未知数的最高次数为1，且未知数的系数不能是0．13．如图是我市某一天内的气温变化图：①这一天中最高气温是24℃；②这一天中最高气温与最低气温的差为16℃；③这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高；④这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低．根据图形，下列说法中正确的是．【答案】从折线图中可以看出：这一天中最高气温是24℃；这一天中最低气温是10℃；这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高；这一天中0时至2时、14时至24时之间的气温在逐渐降低；所以：①这一天中最高气温是24℃；正确；②这一天中最高气温与最低气温的差为16℃；错误，差为24﹣10=14℃；③这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高；正确；④这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低．错误，这一天中0时至2时、14时至24时之间的气温在逐渐降低；正确的是①③．【解析】本题考查的是折线统计图．关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0）……，那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）。【答案】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．【解析】考查了点的坐标的变化规律，分别求出n=1、2、3时对应的点的坐标是解题关键．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）15．用适当的方法解下列方程组：（1） （2）．【答案】解：（1），②×2得，2x+8y=26③，③﹣①得，5y=10，解得y=2，把y=2代入②得，x+8=13，解得x=5，所以，方程组的解是；（2），①×2得，4s+6t=﹣2③，③﹣②得，15t=﹣10，解得t=，把t=代入①得，2s+3×（）=﹣1，解得s=，所以，方程组的解是．【解析】方程组中未知数系数较小时用代入法，未知数系数相等或互为相反数时用加减法．16．已知实数a、b满足，求b﹣a的平方根．【答案】解：∵，∴a﹣2=0，b﹣2a=0，解得a=2，b=4．∴b﹣a=4﹣2=2，∴b﹣a的平方根为．【解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积．【答案】过点D点，C点分别作DE，CF垂直于x轴于E，F两点，则SABCD=S△ADE+S△CBF+SEFCD，即SABCD=×2×7+×（9﹣7）×5+×（5+7）×（7﹣2）=7+5+30=42．【解析】本题考查了坐标和图形的性质及三角形面积的计算，难度不大，关键要将四边形的面积的可以看做是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和来进行计算．18．如图，将一张长方形纸片分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B′，点C落在点C′．（1）若点P，B′，C′在同一直线上（如图1），求两条折痕的夹角∠EPF的度数；（2）若点若点P，B′，C′不在同一直线上（如图2），且∠B′PC′=10°，求∠EPF度数．【答案】解：（1）由对称性得：∠BPE=∠B′PE，∠CPF=∠C′PF，∵∠BPE+∠B′PE+∠CPF+∠C′PF=180°，∴∠EPF=∠B′PE+∠C′PF=×180°=90°；（2）由对称性得：∠BPE=∠B′PE，∠CPF=∠C′PF，∵∠BPE+∠B′PE+∠CPF+∠C′PF=180°+10°=190°，∴∠BPE+∠CPF=95°，∴∠FPE=85°．【解析】此题考查了角的计算，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键。19．某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场每购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？【答案】设书包的单价为x元，英语学习机的单价为y元．根据题意，得，解得答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元．（2）在超市A购买英语学习机与书包各一件，需花费现金：452×75%=339（元）．因为339＜400，所以可以选择超市A购买．在超市B可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2=362（元）．因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买．但由于362＞339，所以在超市A购买英语学习机与书包，更省钱．【解析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．20．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？【答案】76°，90°；90°，90°；90°．（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6，又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°，∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；（2）由（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，∠3的度数都是90°；（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）=360°﹣2∠5﹣2∠6=360°﹣2（∠5+∠6）=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．【解析】本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性．课堂小结课堂小结【教学建议】此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内容进行简单的铺垫，以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。1、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征2.巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别：根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．3.用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组4．实数5．解不等式应用题注意：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.教学反思教学反思【教学建议】1、对教学技能的反思：对基础知识的讲解是否透彻；对重点、难点是否把握准确；对学生的学习知识掌握知识的状态是否了解等。2、对教学目标的反思：讲授的知识是否正确；语言是否规范简练；书写是否工整（班组课板书设计是否合理）；教具的使用是否得当，实验操作是否熟练、规范等。3、对教学方法和手段的反思：是否注重了学生的参与意识；班组课是否因“班”施教，课后因“人”施教；教学方式、手段是否多样化等。

第二章方程（组）与不等式第第2讲讲第二讲方程（组）与不等式方程（组）与不等式

概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点解二元一次方程组根据实际问题列二元一次方程及方程组含字母系数的二元一次方程组一元一次不等式及不等式组的整数解根据实际问题列一元一次不等式组学习目标了解二元一次方程（组）的有关概念；掌握代入消元法和加减消元法；能选择恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决简单的实际问题理解不等式的基本性质，会利用不等式的性质比较两个实数的大小了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集；会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组学习重点掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组用二元一次方程组解决实际问题掌握解不等式（组）的方法，学会列不等式（组）解决实际问题。学习难点解含字母参数的二元一次方程组和一元一次不等式求一元一次不等式（组）的整数解建立二元一次方程组和一元一次不等式这种数学模型，并应用它们解决实际问题【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入有很多种方法，一般控制在十分钟左右为宜，可以采用各种形式，比如：1、直接导入法。2、复习以往知识：可以从已学、已知的入手，与今天的教学进行对比。3、课前小测：可以针对学生学校近期讲授的内容进行出题（以简单题和中档题为主，以10分钟左右为宜）进行测验，也可以针对基础知识进行复习提问，检查学生学校所学内容的掌握程度，进而展开教学。4、以近年来发生的重大事件为题导入。既考查了学生从社会生活中获取信息的能力，又激发了学生的学习兴趣，让学生马上进入学习状态等。以上的导入方法只是建议，大家选择其中一种或两种进行交叉使用即可。一、课堂导入数学离不开相等和不等.从其意义来说，这是两个既统一又对立的概念，没有相等就无所谓不等，没有不等也无所谓相等.它们之间有着内在的、本质的、密切的联系，在某种条件下可以相互转化.方程探求相等关系，不等式是研究不等关系的重要手段，两者有不同的根基。方程以等式性质为基石，不等式以不等式的基本性质为起点。解方程、解不等式在去分母、去括号、移项、合并同类项这个几个过程是类似的，只是在系数化为1时，不等式两边同时除以同一个负数时不等号的方向改变。二、复习预习1.二元一次方程（组）（1）代入法解二元一次方程组的一般步骤：①“变”②“代③“解”④“回代”⑤“联”（2）加减消元法解二元一次方程组步骤：①“乘”②“加减”③“解”④“回代”⑤“联”2.二元一次方程组应用题（1）列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，用字母表示未知数；②找：找出能够表示题意两个相等关系；③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；④解：解这个方程组，求出两个未知数的值；⑤答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。3.一元一次不等式（1）求解的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.（2）一元一次不等式和一元一次方程的异同：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)；运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意，在乘(除)同一个负数时数，要记住不等号的方向一定要改变。（3）在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；②方向：大向右，小向左。二、知识讲解二、知识讲解知识点知识点1二元一次方程的定义判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：方程两边的代数式都是整式——整式方程；含有两个未知数——“二元”；含有未知数的项的最高次数为1——“一次”。知识点2知识点2解集与解的区别不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.解集包括解，所有的解组成解集。知识点知识点3解一元一次不等式的步骤变形名称注意事项去分母①不含分母的项不能漏乘；②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号；③不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。去括号①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；②如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号。移项移项变号合并同类项合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。系数化1①分子、分母不能颠倒；②不等号改不改变由系数a的正负性决定；③计算顺序：先算数值后定符号。三、例题三、例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。例题1例题1【题干】关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（）A． 5 B． 3 C． 2 D． 1例题2例题2【题干】方程组的解适合y＞x＞0，则a的取值范围是（）A． ﹣3＜a＜2 B． 2＜a＜5 C． 1＜a＜4 D． ﹣4＜a＜1【答案】D．解：，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，（a+4）x=5，解得x=，把x=代入②得，y=，∴方程组的解是，∵y＞x＞0，∴，解不等式③得，a＜1，解不等式④得，a＞﹣4，∴a的取值范围是﹣4＜a＜1．【解析】先求出二元一次方程组的解然后列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键。例题例题3二元一次方程组的解是【答案】略例题4例题4【题干】如果关于x的不等式组的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数对（m，n）共有_____对。【答案】略例题例题5【题干】有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，若购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，则购买收录机、钢笔、书包各一个需要元．【答案】96．解：设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y和z元，根据题意得：，②﹣①得：2x+5y+z=206③，①﹣③得：x+y+z=96，∴购买收录机、钢笔、书包各一个需要96元．【解析】本题考查不定方程及三元一次方程组的应用，将生活中的事件用数学思想进行求解．例题例题6【题干】某城市出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米，每增加l千米，加收2.4元（不足1千米按1千米付费）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，他乘出租车从甲地到乙地行驶的路程不超过多少千米？【答案】解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意：7+2.4（x﹣3）≤19，解得：x≤8．答：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米．【解析】已知从甲地到乙地共需支付车费19元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，首先去掉前3千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．四、课堂运用四、课堂运用【教学建议】在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。基础基础1．已知方程组，则x+y的值为（）A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． 32．、是二元一次方程，则值等于__________.3．解不等式组：并写出它的所有的整数解．4．如果二元一次方程组的解是，求a－b=5．已知,那么答案与解析：1．【答案】D2．【答案】解：，解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，所以，不等式组的解集是1≤x＜4，所以，不等式组的所有整数解是1、2、3．3．【答案】略4．【答案】略5．【答案】3巩固巩固1．若x4﹣3|m|+y|n|﹣2=2009是关于x，y的二元一次方程，且mn＜0，0＜m+n≤3，则m﹣n的值是（） A． ﹣4 B． 2 C． 4 D． ﹣22．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．3．已知关于x、y的方程组和的解相同，求ax+by。4．4月23日“世界读书日”期间，玲玲和小雨通过某图书微信群网购图书，请根据他们的微信聊天对话，试一试：求出每本《英汉词典》和《读者》杂志的单价．5.某超市要购进甲乙两种商品共80件，甲商品每件进价为30元，售价为40元，乙商品每件进价为10元，售价为15元，要使利润不低于600元，小于610元，有哪些购买方案？问题（1）中哪种购买方案利润最大？最大利润是多少?答案与解析：1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】略4．【答案】设每本《英汉词典》的单价为x元，每本《读者》的价格为y元，根据题意，得：，解得：，答：每本《英汉词典》的单价为32元，每本《读者》的价格为6元．5．【答案】略拔高拔高1．已知非负实数x、y，x满足，记w=3x+4y+5z，求w的最大值与最小值.2．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=_________，b=_________；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．3．先阅读下面的解法：解方程组解：①+②得：80x+80y=240化简得：x+y=3③②一①得：34x﹣34y=34化简得：x﹣y=1④③+④得：x=2③一④得：y=1原方程组的解为然后请你仿照上面的解法解方程组4．若整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解，则（a，b）|c，反之，若（a，b）|c，则整系数方程ax+by=c（ab≠0）有整数解．其中（a，b）表示a，b的最大公约数，（a，b）|c表示（a，b）能整除c．根据这种方法判定下列二元一次方程有无整数解．（1）3x+4y=33；（2）2x+6y=15．1．【答案】略2．【答案】解：（1）2，﹣3；（2）整理，得（a+b）+（2a﹣b﹣5）=0．∵a、b为有理数，∴解得∴a+2b=﹣．3．【答案】解：（1）+（2）得：4009x+4009y=20045，化简得：x+y=5（3），（2）﹣（1）得：3x+y=11（4）（4）﹣（3）得：x=3，把x=3代入（3）得：y=2，∴原方程组的解为．4．【答案】（1）3，4的最大公约数是1，1能整除33，所以3x+4y=33有整数解；（2）2，6的最大公约数是2，2不能整除15，所以2x+6y=15无整数解．课堂小结课堂小结【教学建议】此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内容进行简单的铺垫，以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。列方程组解应用题的常见类型主要有：①行程问题：包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；②工程问题：一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题；基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；③和差倍分问题：基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量；④航速问题：此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速；逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速；⑤产品配套问题：加工总量成比例；⑥增长率问题：原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1+增长率）=减少后的量；eq\o\ac(○,7)浓度问题：溶液×浓度=溶质；eq\o\ac(○,8)利润问题：利润=售价-进价，利润率=[（售价-进价）÷进价]×100%；eq\o\ac(○,9)几何问题、年龄问题、盈亏问题、数字问题、方案设计问题等。拓展延伸拓展延伸【教学建议】教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。基础基础1．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来两位数的倍，则这样的两位数有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个2．已知关于x、y的方程组的解满足，化简________3．如果关于x的不等式的解集为，那么关于x的不等式mx>n（）的解集为_______________。4．若关于不等式组的解集为，则m的取值范围是______________5．如果是关于x、y的方程的解，求不等式组的解集。答案与解析：1．【答案】D．设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得：10x+y=，化简得：x=2y，因为x，y为1﹣9内的自然数，故12、24、36、48，共4个．【解析】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意不要漏解．2．【答案】略3．【答案】略4．【答案】略5．【答案】略巩固巩固1．不等式的解集为______________。2．已知非负实数x、y，x满足，记w=3x+4y+5z，求w的最大值与最小值。3．某天蔬菜经营户用120元批发了西兰花和胡萝卜共60kg到菜市场零售，西兰花和胡萝卜当天的批发价和零售价如表所示：品名西兰花胡萝卜批发价（元/kg）2.81.6零售价（元/kg）3.82.5如果他当天全部卖完这些西兰花和胡萝卜可获得利润多少元．4．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级10班40名同学参加了捐款活动，共捐款400元，捐款情况如下表：表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．请你用你学过的知识算出捐款10元和15元的人数各是多少名？5．某公园的门票价格规定如下表：购票人数50人以下51～100人100人以上票价13元/人11元/人9元/人某学校七年级1班和2班两个班共104人去游园，其中1班不足50人，2班超过50人．（1）若以班为单位分别购票，一共应付1240元，求两班各有多少人？（2）若两班联合购票可少付多少元？答案与解析：1．【答案】略2．【答案】略3．【答案】解：设西兰花的重量是xkg，豆角的重量是ykg，依题意有，解得：，20×（3.8﹣2.8）+40×（2.5﹣1.6）=20×1+40×0.9=20+36=56（元）．答：他当天全部卖完这些西兰花和胡萝卜可获得利润56元．4．【答案】解：设捐款10元的为x人，捐款15元的为y人，得，解此方程组，得，答：捐款10元的有19人，捐款15元的有6人．5．【答案】解：（1）设1班和2班分别有x人、y人，依题意得，解得x=48，y=56，答：1班和2班分别有48人和56人；（2）两班联合购票，应付104×9═936元，可少付1240﹣936=304元．拔高拔高1．若正数a、b、c满足不等式，则a、b、c的大小关系是？2．在平面直角坐标系中，若横坐标、纵坐标均为整数点称为格点，若一个多边形的顶点都是格点，则称为格点多边形．记格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为n，边界上的格点数记为l，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，n=0，l=4．奥地利数学家皮克发现格点多边形的面积可表示为S=n+al+b，其中a，b为常数．（1）利用图中条件求a，b的值；（2）若某格点多边形对应的n=20，l=15，求S的值；（3）在图中画出面积等于5的格点直角三角形PQR．答案与解析：1．【答案】略2．【答案】解：（1）根据题意，可得：，解得：，∴S=n+l﹣1；（2）将n=20、l=15代入可得S=20+×15﹣1=26.5；（3）如图，．

教学反思教学反思【教学建议】1、对教学技能的反思：对基础知识的讲解是否透彻；对重点、难点是否把握准确；对学生的学习知识掌握知识的状态是否了解等。2、对教学目标的反思：讲授的知识是否正确；语言是否规范简练；书写是否工整（班组课板书设计是否合理）；教具的使用是否得当，实验操作是否熟练、规范等。3、对教学方法和手段的反思：是否注重了学生的参与意识；班组课是否因“班”施教，课后因“人”施教；教学方式、手段是否多样化等。

第三章实数第第3讲讲第三讲实数实数

概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点平方根及性质无理数的概念实数的估算无理数的整数部分与小数部分实数的大小比较及混合运算教学目标了解无理数的概念，能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算数平方根；会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根了解立方根的概念，会用根号表示实数的立方根；会用立方运算的方法，求某些数的立方根了解实数的概念，会进行简单的实数运算教学重点掌握平方根、算数平方根及立方根的相关概念和运算教学难点能利用非负数的性质解决相关的问题根据要求用有理数估计无理数的范围【知识导图】

教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入有很多种方法，一般控制在十分钟左右为宜，可以采用各种形式，比如：1、直接导入法。2、复习以往知识：可以从已学、已知的入手，与今天的教学进行对比。3、课前小测：可以针对学生学校近期讲授的内容进行出题（以简单题和中档题为主，以10分钟左右为宜）进行测验，也可以针对基础知识进行复习提问，检查学生学校所学内容的掌握程度，进而展开教学。4、以近年来发生的重大事件为题导入。既考查了学生从社会生活中获取信息的能力，又激发了学生的学习兴趣，让学生马上进入学习状态等。以上的导入方法只是建议，大家选择其中一种或两种进行交叉使用即可。一、课堂导入公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯修斯（Hippausus）发现了一个惊人的事实：若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，即对角线的长不能用两个整数的比值来表示。他的发现，第一次向人们揭示了有理数的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”。而这种“空隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，最后被毕氏弟子残忍地扔进了大海。这一发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机。然而，真理毕竟是淹没不了的。毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯修斯这位为真理而献身的可敬的学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是无理数的由来。

二、复习预习1.算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．2．平方根（1）定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果，那么x叫做a的平方根，。（2）开平方的定义：求一个非负数数的平方根的运算，叫做开平方。（3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3。（4）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．3.立方根（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根，。（2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（3）开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。4.实数（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数（4）像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：（5）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。二、知识讲解二、知识讲解知识点知识点1算术平方根的性质算术平方根具有双重非负性，即≥0，a≥0。的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。不要一看到，就认为它是一个无理数。（≥0）；②知识点2知识点2平方根和算术平方根开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。0的平方根是0；一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。知识点知识点3立方根的性质一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。知识点4知识点4无理数在数轴上的表示每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，但并不是数轴上的每一个点都能表示无理数。数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。三、例题三、例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。例题1例题1【题干】若，则（a+2）2的平方根是（）A． 16 B． ±16 C． 2 D． ±2【答案】B．解：∵，∴a+2=42=16，∴（a+2）2=162，∴（a+2）2的平方根±16．【解析】解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根．例题2例题2【题干】已知，则x+y的值为（）A． 0 B． －1 C． 1 D． 5【答案】C.∵，，而，所以，,解得，，所以.【解析】初中阶段学习了三个非负数，1.；2.；3.。题目一般是其中的两个的和（少数有三个的和）为零，让你得出一个方程组，解方程组，再代入求值。

例题例题3【题干】试比较与的大小，并写出推理过程．【答案】∵（）2=6﹣2＜2，（）2=2，∴＜．【解析】考查了实数的大小比较，涉及无理数经常用平方后再比较的方法，同学们注意掌握．例题4例题4【题干】如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是___. 【答案】例题例题5【题干】（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形的边长是，且．设，可画出如下示意图．由面积公式，可得．略去，得方程．解得．即．（2）仿照上述方法，利用（1）的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）【答案】（1）由面积公式，可得．略去，得方程．解得0.5．即1.5．（2）解：∵， ∴． ∴．∴．∴设．1.51.5x1.51.5x(1.5-x)2xxx2xx(1.5-x)由面积公式，可得．整理，得．略去，得方程，解得0.0833…．即1.4167．四、课堂运用四、课堂运用【教学建议】在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。基础基础1．下列各数中，3.14159，，0.131131113……，－π，，，无理数的个数有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个2．是的整数部分，是的小数部分，则．3．估计的值在（）之间．A．1与2之间 B． 2与3之间 C． 3与4之间 D． 4与5之间．4．数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A． a+b＞0 B． ab＞0 C． a-b＞0 D． |a|-|b|＞05．给出下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③；④是无理数；⑤一个无理数不是正数就是负数．其中，正确的说法有（）Ａ．①③⑤ Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．①答案与解析：1．【答案】B2．【答案】6-3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】A巩固巩固1．计算：（1）5-2（-）；（2）－＋.（3）（π﹣3.14）0++|﹣|﹣（4）2．当，下列关系式成立的是（）Ａ．， Ｂ．，Ｃ．， Ｄ．，3．在实数范围内，下列命题是真命题的是（）Ａ．若，则 Ｂ．若，则Ｃ．若，则 Ｄ．若，则4．若有意义，则的算术平方根为．5．若2－m与2m＋1是同一个数的平方根，则这个数可能是_________.答案与解析1．【答案】略．2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】25．【答案】略拔高拔高1．已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．2．计算，，，，，，你能从中找出计算的规律吗？如果将根号内的10换成正数a，这种计算的规律是不只仍然保持？3．若a、b、c是△ABC的三边，化简：4．如果记三角形的三边长分别为a、b、c，p＝1/2(a＋b＋c)，那么三角形的面积可以表示为S＝．已知一个三角形的三边长分别为2厘米、3厘米、4厘米，试求这个三角形的面积．（结果保留2个有效数字）5．在平面直角坐标系中，A点坐标为（，0），C点坐标为（，0）.B点在轴上，且.将△ABC沿轴向左平移个单位长，使点A、B、C分别平移到A′,B′,C′.⑴求B点的坐标；⑵求A′,B′,C′三点的坐标；⑶求四边形C′ABB′的面积.答案与解析：1．【答案】略2．【答案】略3．【答案】略4．【答案】略5．【答案】略课堂小结课堂小结【教学建议】此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内容进行简单的铺垫，以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。1、平方根相关理论（1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应扩大（或缩小）倍（≥0）（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①（≥0）；②（3）若一个非负数介于另外两个非负数，之间，它的算术平方根介于，之间，即当0≤＜＜时，则0≤＜＜。利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围。2、立方根相关理论（1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应扩大（或缩小）倍（≥0）（2），（3）若一个数介于另外两个数，之间，它的立方根介于，之间，即当＜＜时，则0≤＜＜。利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围。拓展延伸拓展延伸【教学建议】教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。基础基础1．以下四个命题①若是无理数，则是实数；②若是有理数，则是无理数；③若是整数，则是有理数；④若是自然数，则是实数．其中，真命题的是（）Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④2．一个正整数的算术平方根为，则比这个正整数大3的数的算术平方根是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．估算＋3的值（）Ａ．在5和6之间Ｂ．在6和7之间Ｃ．在7和8之间Ｄ．在8和9之间4．若a＝9,b＝－64,则a＋b的所有可能情况为（）Ａ．7Ｂ．－7Ｃ．－1Ｄ．－7或－15．若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．－1Ｄ．±1,0答案与解析：1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】Ｄ5．【答案】A巩固巩固1．计算：．2．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是．3．设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。4．已知，求的值。5．在实数范围内，设，求a的各位数字是什么？答案与解析：1．【答案】22．【答案】23．【答案】略4．【答案】根据算术平方根的性质即可得解5．【答案】略拔高拔高1．（1）已知a、b满足，解关于的方程。（2）已知x、y都是实数，且，求的平方根。2．如果A=为的算数平方根，B=为的立方根，求A+B的平方根。3．已知：4．阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出；（2）利用上面的解法，请化简：答案与解析：1．【答案】略2．【答案】略3．【答案】略4．【答案】略

【核心素养专栏】勇于探究——张衡的故事张衡从小就爱想问题，对周围的事物总要寻根究底，弄个水落石出。在一个夏天的晚上，张衡和爷爷、奶奶在院子里乘凉。他坐在一张竹床上，仰着头，呆呆地看着天空，还不时举手指指划划，认真地数星星。张衡对爷爷说：“我数的时间久了，看见有的星星位置移动了，原来在天空东边的，偏到西边去了。有的星星出现了，有的星星又不见了。它们不是在跑动吗？”

爷爷说道：“星星确实是会移动的。你要认识星星，先要看北斗星。你看那边比较明亮的七颗星，连在一起就像一把勺子，很容易找到……”

“噢！我找到了！”小张衡兴奋地又问道：“那么，它是怎样移动的呢？”爷爷想了想说：“大约到半夜，它就移到上面，到天快亮的时候，这北斗就翻了一个身，倒挂在天空……”这天晚上，张衡一直睡不着，好几次爬起来看北斗星。当他看到那排成勺子样的北斗星果然倒挂着，他非常高兴！心想：这北斗星为什么会这样转来转去，是什么原因呢？天一亮，他便赶去问爷爷，谁知爷爷也讲不清楚。于是，他带着这个问题，读天文书去了。后来，张衡长大了，皇帝得知他文才出众，把张衡召到京城洛阳担任太史令，主要是掌管天文历法的事情。为了探明自然界的奥秘，年轻的张衡常常一个人关在书房里读书、研究，还常常站在天文台上观察日月星辰。他创立了“浑天说”，并根据“浑天说”的理论，制造了浑天仪。这个大铜球装在一个倾斜的轴上，利用水力转动，它转动一周的速度恰好和地球自转一周的速度相等。而且在这个人造的天体上，可以准确地看到太空的星象。

教学反思教学反思【教学建议】1、对教学技能的反思：对基础知识的讲解是否透彻；对重点、难点是否把握准确；对学生的学习知识掌握知识的状态是否了解等。2、对教学目标的反思：讲授的知识是否正确；语言是否规范简练；书写是否工整（班组课板书设计是否合理）；教具的使用是否得当，实验操作是否熟练、规范等。3、对教学方法和手段的反思：是否注重了学生的参与意识；班组课是否因“班”施教，课后因“人”施教；教学方式、手段是否多样化等。

第四章相交线与平行线第第4讲讲第四讲相交线与平行线相交线与平行线

概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点相交线点到直线的距离三线八角平行得判定与性质平行线之间的距离教学目标了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；掌握平行线的性质与判定教学重点利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理平行线的性质和判定平行线之间的距离处处相等的应用教学难点识别同位角、内错角、同旁内角平行线的性质与判定利用垂线段最短的性质作图【知识导图】

教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入有很多种方法，一般控制在十分钟左右为宜，可以采用各种形式，比如：1、直接导入法。2、复习以往知识：可以从已学、已知的入手，与今天的教学进行对比。3、课前小测：可以针对学生学校近期讲授的内容进行出题（以简单题和中档题为主，以10分钟左右为宜）进行测验，也可以针对基础知识进行复习提问，检查学生学校所学内容的掌握程度，进而展开教学。4、以近年来发生的重大事件为题导入。既考查了学生从社会生活中获取信息的能力，又激发了学生的学习兴趣，让学生马上进入学习状态等。以上的导入方法只是建议，大家选择其中一种或两种进行交叉使用即可。一、课堂导入同学们都看过奥运会吧，你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么？ 容易看出第一行的图片让人想到垂直，而第二行的图片让人想到平行。即使我们不懂这些体育运动评分的标准，我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。在生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美的享受。

二、复习预习1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角443∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°2.“三线八角”的识别： 平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。 正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同要抓住位于截线同旁，被截两线的同方向（“同旁”和“同向”）——F型；内错角位于截线两侧，被截两线之间要抓住（“内部”和“两旁”）——Z型；同旁内角要抓住位于截线同旁，被截两线之间（“内部”和“同旁”）——U型.3.垂线及其性质：（1）定义：两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。（2）垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。（3）距离点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离；平行线之间的距离：作平行线的垂线，垂线段的长度，称为平行线之间的距离。4．平行线及平行线的判定、性质：（1）平行公理及其推论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行。（2）平行线的判定及性质：平行线的判定平行线的性质同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行于同一条直线的两直线平行垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行5．平移及其性质：（1）平移的条件：①平移的方向；②移动的距离（2）平移的性质：平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。二、知识讲解二、知识讲解知识点知识点1对顶角和邻补角1.对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。 易错点：①对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；②两条直线相交构成两对对顶角；③对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。 2.如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 易错点：①邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；②邻补角≠补角；③两相交直线可以形成四对邻补角。知识点2知识点2三线八角1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。2.只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。3.证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.知识点知识点3垂线与垂线段；两点之间距离与点到直线得距离“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别：1.线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征，且都是图形。(垂直的性质)2.点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度，是数量；点到直线的距离是已知点与垂足间距离。3.线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。三、例题三、例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。例题1例题1【题干】如图，为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．（2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】（1）连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．（2）理由是：垂线段最短．【解析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．例题2例题2【题干】学习平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④【答案】C．【解析】理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直．例题例题3【题干】如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数.【答案】解法1：过P作射线PN∥AB.∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠4＝∠2＝25°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.∴∠BPC＝∠3＋∠4＝32°＋25°＝57°.解法2：过P作射线PM∥AB.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠6＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.∵AB∥PM，∴∠5＝180°－∠1＝180°－32°＝148°，∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－148°－155°＝57°.例题4例题4【题干】定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3C．4D．5【答案】C．【解析】理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．例题例题5【题干】如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．（1）请利用平移的知识求出种花草的面积．（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？【答案】（1）（8﹣2）×（8﹣1）=6×7=42（米2），答：种花草的面积为42米2．（2）4620÷42=110（元），答：每平方米种植花草的费用是110元．【解析】解决此题关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算．四、课堂运用四、课堂运用【教学建议】在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。基础基础1．点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，线段AB的长度为（）A． 10cm B． 4cm C． 10cm或4cm D． 至少4cm．2．如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为。EEDBC′FCD′A图13．如图3，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于。12123图34．已知：如图所示，DF∥AC，∠1＝∠2．试说明DE∥AB.5．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．答案与解析1．【答案】D．【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．2．【答案】57.5°3．【答案】20°4．【答案】略5．【答案】∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1=180°，∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．巩固巩固1．如图所示，要得到DE∥BC，需要条件（）A.CD⊥AB，GF⊥AB B.∠DCE＋∠DEC＝180°C.∠EDC＝∠DCB D.∠BGF＝∠DCB2．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________．3．解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B点处（如图所示，残匪沿北偏东60°角方向，向C村进发．游击队步行到A’处，A’正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村．问游击队进发方向A’C与残匪行进方向BC至少是多少角度时，才能保证C村村民不受伤害？4．如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数5．如图，DE∥CB，试证明∠AED＝∠A＋∠B。答案与解析1．【答案】C2．【答案】540°3．【答案】根据题意∠DBC＝60°，∠BA’C＝30°．过点C作CE∥A’B，则∠BCE＝∠DBC＝60°，∠A’CE＝∠BA’C＝30°．∴∠BCA’＝∠BCE－∠A’CE＝60°－30°＝30°．夹角至少为30°时才能保证C村村民不受伤害．4．【答案】略5．【答案】略拔高拔高1．如图3个图中，均有AB∥CD，（1）如图1，点P为AB、CD间的一个折点，则∠1、∠2、∠3的关系是___________