2.4 线段的垂直平分线 同步练习

2.4线段的垂直平分线第一课时垂直平分线的性质与判定基础过关全练知识点一垂直平分线的定义与性质1.(2022山东冠县期末)如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在线段AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为()A.AB>AC=CEB.AB=AC>CE C.AB>AC>CED.AB=AC=CE2.(2022山东曹县期中)如图，在△ABC中，直线DE是线段AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为()A.3cmB.6cmC.12cmD.16cm3.(2021四川遂宁中考)如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是.

4.如图，直线PD和直线PE分别是线段AB，BC的垂直平分线，判断PA和PC的数量关系，并说明理由.知识点二垂直平分线的判定5.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在下列哪条线段的垂直平分线上()A.ABB.ACC.BCD.不能确定6.如图，若AC=AD，BC=BD，则()A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB7.(2022山东潍坊奎文期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D.(1)若∠BAC=48°，求∠DEA的度数;(2)求证:直线AE是线段CD的垂直平分线.第二课时垂直平分线及垂线的尺规作图基础过关全练知识点三垂直平分线的尺规作图8.(2022山东聊城东昌府期中)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点;作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=6cm，△ABD的周长为26cm，A.32cmB.38cmC.44cmD.50cm9.在下图的正方形网格中找到一点O，使它到A、B、C三点的距离相等.(注意保留作图痕迹)图1图2图3知识点四过一点作已知直线的垂线10.(2021辽宁盘锦中考)如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下:第一步第二步第三步第一步:以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E;第二步:分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F;第三步:作直线CF，直线CF即为所求.下列关于a的说法正确的是()A.a≥12DE的长B.a≤12DE的长 C.a>12DE的长D.a11.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°.(1)作斜边上的高CD(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹);(2)若∠B=40°，求∠ACD的度数.第三课时最短路径问题基础过关全练知识点五利用轴对称知识解决最短路径问题12.(2021辽宁大连六校联考)如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路程最短为.

13.(2022山东冠县期末)如图，在△ABC中，AB=6，BC=7，AC=4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为.

14.(2022山东高唐期末)如图，在平面直角坐标系中，先描出点A(1，3)，点B(4，1).(1)标出点A关于x轴的对称点A1的位置，写出点A1的坐标;(2)在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小，请标出C点的位置;(3)用尺规在y轴上找一点P，使PA=PB(不写作法，保留作图痕迹).能力提升全练15.(2020广西柳州中考改编)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边的中点的是()ABCD16.(2022山东聊城茌平期末)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE分别与AB、BC边交于点D、E，连接CD，边AC的垂直平分线FG分别与CD、AC交于点F、G，连接AF.若△ADF的周长为13，AD=4，则BD的长为()A.4B.9C.13D.1717.(2021黑龙江绥化中考)(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP=AC;(保留作图痕迹，不写作法)(2)在图中，如果AC=6cm，AP=3cm，求△APE的周长.18.(2022山东高唐期中)如图，网格中的△ABC与△DEF成轴对称.(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l;(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小;(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积:.

素养探究全练19.[直观想象](1)如图1，在直线AB一侧有C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最小，找出P点，并说明理由;(2)如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最小?若存在，找出E、F两点，并说明理由;(3)如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最小?若存在，找出E、F两点，并说明理由.图1图2图320.[逻辑推理]如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=25cm，DA=15cm，CB=10cm.动点E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为xs.(1)当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上?(2)在(1)的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由.

2.4线段的垂直平分线答案全解全析基础过关全练1.D∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE.2.A∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=12∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=123.12解析∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=12.4.解析PA=PC.理由如下:如图，连接PB，因为直线PD是线段AB的垂直平分线，所以PA=PB，同理PC=PB，所以PA=PC.5.B因为BC=BD+DC=BD+AD，所以AD=DC，所以点D在线段AC的垂直平分线上.6.A因为AC=AD，BC=BD，所以点A，B均在线段CD的垂直平分线上，所以AB垂直平分CD.故选A.7.解析(1)∵∠BAC=48°，AE平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC=24°∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∴∠DEA=180°-∠ADE-∠EAD=66°.(2)证明:∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAE.在△ADE和△ACE中，∠∴△ADE≌△ACE(AAS)，∴AD=AC，ED=EC，∴点E在线段CD的垂直平分线上，点A在线段CD的垂直平分线上，∴直线AE是线段CD的垂直平分线.8.B由作图，得DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∴AC=12cm，∵△ABD的周长=AB+AD+BD=26cm，∴AB+BD+DC=AB+BC=26cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=26+12=38(cm)，故选B.9.解析如图，点O即为所作.图1图2图310.C只有a>12DE的长，11.解析(1)如图，线段CD即为所求.(2)∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，在△BCD中，∵∠B+∠BDC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠B-∠BDC=50°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠BCD=40°.12.10cm解析当CD与OA的交点为E，与OB的交点为F时，小蚂蚁爬行的路程最短.∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，∴ME=CE，MF=DF，∴小蚂蚁爬行的路程最短为CD=10cm.13.10解析连接BP，∵直线m是线段BC的垂直平分线，∴BP=CP，∴△ACP的周长=AP+PC+AC=AP+BP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小.∵AB=6，AC=4，∴△ACP的周长的最小值为10.14.解析A，B的位置如图所示.(1)A1的位置如图所示，坐标为(1，-3).(2)如图所示，点C即为所求.(3)如图所示，点P即为所求.能力提升全练15.B观察题中尺规作图的痕迹发现，选项A是作线段AB的垂直平分线，交BC于点D，无法确定点D是BC的中点;选项B是作线段BC的垂直平分线，点D是BC的中点;选项C是过A点作BC的垂线，交BC于点D，无法确定点D是BC的中点;选项D是作线段AC的垂直平分线，交BC于点D，无法确定点D是BC的中点.16.B∵边AC的垂直平分线FG分别与CD、AC交于点F、G，∴CF=AF，∴△ADF的周长=AF+DF+AD=CF+DF+AD=CD+AD=13，∵AD=4，∴CD=9，∵直线DE是BC边的垂直平分线，∴BD=CD=9.17.解析(1)如图，点E即为所求.(2)△APE的周长=AP+AE+EP=AP+AC=3+6=9(cm).18.解析(1)如图所示，直线l即为所求.(2)如图所示，点P即为所求.(3)△ABC的面积=2×4-12×1×2-12×1×4-1素养探究全练19.解析(1)如图1，作点C关于直线AB的对称点C'，连接C'D交AB于点P，则点P就是所求作的点.理由:在直线AB上取不同于点P的点P'，连接CP'、DP'、C'P'，如图1.图1因为点C和点C'关于直线AB对称，所以PC=PC'，P'C=P'C'，而C'P+DP<C'P'+DP'，所以PC+DP<CP'+DP'，所以CD+CP+DP<CD+CP'+DP'，即△CDP的周长最小.(2)存在.如图2，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，则点E、F就是所求作的点.理由:在OA、OB上分别取不同于点E、F的点E'、F'，连接CE'、E'P、PF'、DF'、E'F'，如图2.图2因为点C和点P关于OA对称，点D和点P关于OB对称，所以PE=CE，CE'=PE'，PF=DF，PF'=DF'，所以PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE'+E'F'+PF'=CE'+E'F'+DF'，因为CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF'，所以PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'，即△PEF的周长最小.(3)存在.如图3，作点M关于OA的对称点C，作点N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，则点E、F就是所求作的点.理由:在OA、OB上分别取不同于点E、F的点E'、F'，连接CE'、ME'、E'F'、DF'、NF'，如图3，图3因为点C和点M关于OA对称，点D和点N关于OB对称，所以ME=CE，CE'=ME'，NF=DF，NF'=DF'，由(2)同理可得MN+ME+EF+NF<MN+ME'+E'F'+F'N，即四边形EFNM的周长最小.20.解析(1)当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上.理由如下:当x=5时，AE=2×5=1