第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）

第十二章全等三角形（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）A． B．C．

D．2．如图，点P是平分线上一点，，垂足为点D，若，则点P到边的距离是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．43．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）

A． B． C． D．4．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（）

A． B． C． D．5．如图，已知．添加一个条件后，不能证明的是（）

A． B．C． D．6．如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（）

A．45° B．70° C．80° D．90°7．如图，已知（点、、的对应点分别为点、、），若，，则的度数是（）A． B． C． D．8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）

A．三角形三个内角的角平分线的交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点9．如图，平分，，于点E，，，则的长度为（）

A． B． C． D．10．如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（填写结论的编号）（）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，四边形四边形，若，，，则_____°．12．如图，要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再确定出的垂线，使得点在同一条直线上，测得米，因此，的长是_________米．13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点C，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，连接，已知，则的度数是________．

14．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为__．15．如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____．16．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为______．

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．如图，在中，，是的平分线，过点D作，若，．求的长．

18．如图，和的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在两侧，已知，，．与全等吗？说明理由．

19．如图，已知，点在边上，与相交于点．

(1)若，，求线段的长；(2)若，，求的度数．20．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；(2)在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．22．在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．

(1)如图1，当D为的中点时，证明：．(2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．(3)连接，当时，求的值．23．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)求的度数；(4)若，，且，求的面积．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

25．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．

【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______．方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①②③④【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：．（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是______．

第十二章全等三角形（单元重点综合测试）答案全解全析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）A． B．C． D．

【答案】C【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．如图，点P是平分线上一点，，垂足为点D，若，则点P到边的距离是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．4【答案】B【分析】根据角平分线的性质直接可得．【详解】解：如图，过点P作，垂足为点G，

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第3块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．4．如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等，∴是角平分线的交点，∴，，∵，∴，即，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5．如图，已知．添加一个条件后，不能证明的是（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵，，∴，即，在和中，，∴，故A不符合题意；B、在和中，，∴，故B不符合题意；C、在和中，，∴，故C不符合题意；D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有：．6．如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则与的和为（）

A．45° B．70° C．80° D．90°【答案】D【分析】由全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：设正方形的边长为．如图所示：

故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质．掌握相关几何结论是解题关键．7．如图，已知（点、、的对应点分别为点、、），若，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形内角和求出的度数，再利用全等三角形的性质得到的度数．【详解】解：∵，，∴，∵∴故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．8．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）

A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．如图，平分，，于点E，，，则的长度为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过C作交延长线与F，先根据角平分线的定义和全等三角形的判定与性质，证明和得到，，进而可求解．【详解】解：过C作交延长线与F，

∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，则，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．10．如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（填写结论的编号）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】作于点，根据角平分线的判定定理和性质定理，即可判断①结论；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断②结论；先根据四边形内角和，得出，再证明，，得到，，即可判断③结论；根据全等三角形面积相等，即可判断④结论．【详解】解：①作于点，平分，，，平分，，，，点在的角平分线上，平分，①结论正确；②平分，平分，，，，，，，，，②结论正确；③，，，，，，在和中，，，同理可证，，，，，故③结论正确；④，，，，故④结论不正确；综上所述，正确的结论是①②③，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，三角形外角的定义，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，四边形四边形，若，，，则_____°．【答案】【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为得到，进而求解即可．【详解】解：∵四边形四边形，∴∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．12．如图，要测量河两岸相对的两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再确定出的垂线，使得点在同一条直线上，测得米，因此，的长是_________米．【答案】30【分析】由可得，利用可以证出，再根据全等三角形，对应边相等可得到．【详解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵米，∴米，故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点C，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，连接，已知，则的度数是________．

【答案】/80度【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解．【详解】解：由题意，得平分，∴，由长方形直尺可知：，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．14．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为__．【答案】1【分析】过E作于F，根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过点E作于点F，如图所示．∵平分，且，∴．∵，即，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．15．如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____．【答案】【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．【详解】解：如图，过点作于点为的中线，，又，在和中，即，，为的中线，又解得：故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．16．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动．它们运动的时间为．当与全等时，的值为______．

【答案】1或【分析】由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．【详解】解：由题意知，，，，与全等，，∴分两种情况求解：①当时，，即，解得；②当时，，即，解得，，即，解得；综上所述，的值是1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）17．如图，在中，，是的平分线，过点D作，若，．求的长．

【答案】【分析】根据角平分线的性质定理，得，再由三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵AD是的平分线，，，∴．又，，∴．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解答本题的关键．18．如图，和的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在两侧，已知，，．与全等吗？说明理由．

【答案】．理由见解析【分析】根据，得到，再根据证明．【详解】证明：，，在和中，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．19．如图，已知，点在边上，与相交于点．

(1)若，，求线段的长；(2)若，，求的度数．【答案】(1)5(2)【分析】（1）由，得到，，而，即可得到；（2）由，得到，，由三角形外角的性质得到．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．20．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；(2)在图2中过点C作一条直线，使点A，B到直线的距离相等．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，取格点E，作直线，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段；（2）如图2，取线段中点O，做直线，则直线即为所求做的直线l即为所求做的直线．【详解】（1）解：如图1，取格点E，作直线，交线段于点D，则线段即为所求做的线段；

证明：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即点C到AB所在直线的距离最短；（2）解：如图2，直线l即为所求做的直线；

证明：过点A作，过点B作，垂足分别为M，N,∴，由题意得，点O为线段中点，∴，在和中，，∴，∴，即点A，B到直线的距离相等．【点睛】本题考查了“垂线段最短”，点的直线的距离，全等三角形的性质与判定等知识，熟知相关知识，并结合格点三角形的知识灵活应用是解题关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上，，是的平分线，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．22．在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．

(1)如图1，当D为的中点时，证明：．(2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．(3)连接，当时，求的值．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)2【分析】（1）由题意可知，，，利用即可证明结论；（2）先证明，再证明，即可得；（3）过点作，可证，易得，由，即可求解．【详解】（1）证明：∵，，∴，，∴，∵，∴，则，∵为的中点时，，∴，则，在与中，，∴；（2）解：，理由如下：由（1）可知，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）过点作，则，

∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．23．如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)求的度数；(4)若，，且，求的面积．【答案】(1)(2)见解析(3)(4)【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；（3）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算；（4）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）证明：过点分别作于，与，平分，，，平分，，，平分；（3）设，∵平分，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴；（4），，，，即，解得，，．【点睛】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）24．（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：；（2）类比探究：如图2，，且．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若的面积为，，求与的面积之比．

【答案】（1）证明见详解；（2）成立，证明见详解；（3）【分析】（1）根据即可得到，，从而得到，即可得到证明；（2）根据得到，即可得到，即可得到证明；（3）根据的面积为，，即可得到，，结合可得，，根据，得到，即可得到，即可得到答案；【详解】