第13章 轴对称 单元测试

第13章轴对称单元测试一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是．(

)A.

B.C.

D.2.下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是：A.

B.C. D.

3.下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A.武 B.大 C.外 D.校

4.如果点A(−3,a)是点B(3,−4)关于y轴的对称点，那么点A关于x轴的对称点的坐标是．(

)A.(3,−4) B.(3,4) C.(−3,4) D.(−3,−4)5.下列各组图形中，是全等形的是(

)A.两个含60°角的直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形 D.一个钝角相等的两个等腰三角形6.下列说法正确个数有个(

)(1)有两边和第三边上的高对应相等两个三角形全等；(2)三角形中到三个顶点距离相等的点是三条角平分线的交点；(3)如果一个三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；(4)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则这个等腰三角形的顶角是50°(5)等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为9或12A.1 B.2 C.3 D.47.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.则∠DBC等于(

)A.40° B.45° C.30° D.35°8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6 cm，则AC等于(

)．A.6 cm B.5 cmC.4 cm D.3 cm9.如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为(

)A.40° B.36° C.30° D.25°10.点P是等边△ABC所在平面上的一点，若点P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的P点的个数(

)A.1个 B.4个 C.7个 D.10个11.如图，在△ABC中，BC⊥AC，点M，N分别在AB，AC上，MN是AC的垂直平分线，则下列判断：①AM=CM，②∠2=∠B，③AM=BM，其中错误个数是(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是(

)

A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若点A(m+2,3)与点B(−4,n+5)关于y轴对称，则m+n=

_

_

_

_

14.等腰△一腰上的高与其中一边的夹角为450，则顶角为

_。15.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，ΔABD是ΔABC的轴对称图形。点E在AD上，点F在AC的延长线上。若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE=5，AF=13，则DE=_________。16.如图，已知∠MON=30°，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，△、△、△，…均为等边三角形，若，则△的周长为______________．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CD=CE，DM⊥BC，求证：点M是BE的中点。18.(本小题8.0分)如图，ΔABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE，求证：点P是AB的中点．19.(本小题8.0分)已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm.求BC的长．20.(本小题8.0分)如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形(1)请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形(不能重复)(2)在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有___________个．21.(本小题12.0分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A(2)直接写出点A1，B1，(3)求出△A22.(本小题8.0分)如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=7，DE垂直平分AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长。23.(本小题10.0分)如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．(1)求证：OE是CD的垂直平分线．(2)若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．24.(本小题12.0分在△ABC中，∠B=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，D是BC上一点，AD与BE交于点F．(1)如图(1)，若AD是△ABC的高．①求证：△AEF是等腰三角形；②若ABBD=3，直接写出(2)如图(2)，若AD是△ABC的角平分线，猜想线段AB、AE、BE、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

第13章轴对称单元测试一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个图形中，是轴对称图形的是．(

)A.

B.C.

D.【答案】C

【解析】解：A不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C.有四条对称轴，是轴对称图形，符合题意；D.不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选C．2.下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是：A.

B.C. D.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了轴对称图形.根据对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，求解即可．【解答】解：A.有4条对称轴；B.有6条对称轴；C.有4条对称轴；D.有2条对称轴．故选D．3.下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()A.武 B.大 C.外 D.校【答案】B

【解析】【分析】本题考查的是轴对称图形有关知识，利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：B项是轴对称图形．故选B．

4.如果点A(−3,a)是点B(3,−4)关于y轴的对称点，那么点A关于x轴的对称点的坐标是．(

)A.(3,−4) B.(3,4) C.(−3,4) D.(−3,−4)【答案】C

【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，解决的关键是对知识点的正确记忆．平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，分别关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y).

【解答】解：根据对称的性质，得已知点A(−3,a)是点B(3,−4)关于y轴对称的点的坐标，那么a=−4；则点A的坐标是(−3,−4)，所以点A关于x轴对称的点的坐标是(−3,4)．故选C．5.下列各组图形中，是全等形的是(

)A.两个含60°角的直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形 D.一个钝角相等的两个等腰三角形【答案】B

【解析】A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；

B.腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；

C.边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3，不一定是全等形；

D.一个钝角相等的两个等腰三角形，缺少对应边相等，不一定是全等形．

故选B．6.下列说法正确个数有个(

)(1)有两边和第三边上的高对应相等两个三角形全等；(2)三角形中到三个顶点距离相等的点是三条角平分线的交点；(3)如果一个三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；(4)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则这个等腰三角形的顶角是50°(5)等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为9或12A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A

【解析】【分析】本题考查三角形三边关系、全等三角形判定和性质、三角形的内心和外心等知识，属于基础题，根据知识点逐一判断即可．【解答】解：(1)错误，如锐角三角形和钝角三角形；(2)三角形中到三个顶点距离相等的点是三条垂直平分线的交点，故错误；(3)正确；(4)顶角可能是50°或130°，故错误；(5)等腰三角形中有两边长分别为2和5，这个三角形的三边为2，5，5，周长是12，故错误；故选A．

7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.则∠DBC等于(

)A.40° B.45° C.30° D.35°【答案】C

【解析】【分析】本题考查等腰三角形和垂直平分线的性质，关键是要掌握等边对等角和垂直平分线上的点到线段两端距离相等.解答本题时，先依据等腰三角形的性质，得到∠ABC的度数，再依据垂直平分线的性质，得到∠ABD的度数，最后用∠ABC的度数减去∠DBC的度数即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=(180°−40°)÷2=70°．∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°．∵∠DBC=∠ABC−∠ABD，∴∠DBC=70°−40°=30°．故选C．8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6 cm，则AC等于(

)．A.6 cm B.5 cmC.4 cm D.3 cm【答案】D

【解析】∵DE垂直平分AB∴BE=AE=6 cm,又∵∠B=15°，∴∠AEC=2∠B=30°又∵∠ACB=90°，∴AC=1/2AE=3 cm.9.如图，在△ABC，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为(

)A.40° B.36° C.30° D.25°【答案】B

【解析】【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角性质，根据AB=AC可得∠B=∠C，由DA=DC得∠C=∠DAC，证得∠BDA=2∠C=2∠B，由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DA=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠BDA=∠C+∠DAC=2∠C=2∠B，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B，设∠B=α，则∠BAD=∠BDA=2α，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴α+2α+2α=180°，∴α=36°，∴∠B=36°．故选B．

10.点P是等边△ABC所在平面上的一点，若点P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的P点的个数(

)A.1个 B.4个 C.7个 D.10个【答案】D

【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，解题时注意分类思想的运用．①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点；②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有3点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点P【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；∴共3+3+3+1=10个．故选D．

11.如图，在△ABC中，BC⊥AC，点M，N分别在AB，AC上，MN是AC的垂直平分线，则下列判断：①AM=CM，②∠2=∠B，③AM=BM，其中错误个数是(

)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】A

【解析】(1)由MN是

AC的垂直平分线，可得AM=

CM(2)∠2+∠ 1=90°，∠A+∠

B=90°，由MN是

AC的垂直平分线，得∠A=∠1，所以∠2=∠

B(3)由∠2=∠

B，得BM=CM，由(1)得AM=BM故选A。12.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【解析】试题分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△A BC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以，点的个数是8个．故选：D．考点：本题考查了等腰三角形的判定．点评：解答本题的关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若点A(m+2,3)与点B(−4,n+5)关于y轴对称，则m+n=

_

_

_

_

【答案】0

【解析】根据题意，点A(m+2,3)与点B(−4,n+5)关于y轴对称，由关于y轴对称的点的性质，可得m、n的值，进而可得m+n的值．∵点A(m+2,3)与点B(−4,n+5)关于y轴对称∴m+2=4，n+5=3∴m=2，n=−2∴m+n=2−2=0．故答案为：0．14.等腰△一腰上的高与其中一边的夹角为450，则顶角为

_【答案】45°，或135°，或90°

【解析】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=45°，∴∠A=45°，即顶角的度数为45，②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=45°，∴∠BAD=45°，∴∠BAC=135°，③当等腰三角形为直角三角形时，∠BAC=90°，故答案是：45°，或135°，或90°．15.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，ΔABD是ΔABC的轴对称图形。点E在AD上，点F在AC的延长线上。若点B恰好在EF的垂直平分线上，并且AE=5，AF=13，则DE=_________。【答案】4

【解析】【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质有关知识。根据轴对称得到∠ADB=∠ACB=90°，BD=BC，AD=AC，根据中垂线性质得到BE=BF，再证明RtΔDEB≅RtΔCFB，最后用线段间关系等量代换计算即可。【解答】解：连接BE，BF，如图，∵ΔABD和ΔABC的轴对称图形，∠ACB=90°∴∠ADB=∠ACB=90°，BD=BC，AD=AC∵点B在EF的垂直平分线上∴BE=BF在RtΔDEB和RtΔCFB中∵∴RtΔDEB≅RtΔCFB(HL)∴DE=CF∵AF=13，AE=5∴AF=AC+CF=AD+DE=AE+DE+DE=13∴5+2DE=13∴DE=4故答案为4。16.如图，已知∠MON=30°，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，△、△、△，…均为等边三角形，若，则△的周长为

_

_

_

_

．【答案】96

【解析】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1//A2B2//解：∵△A∴A1B∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA∴A∵△A2B∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B∴AA4A5…∴△AnB∴△A6B∴

△A6B故答案为96．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CD=CE，DM⊥BC，求证：点M是BE的中点。【答案】证明：∵在等边△ABC中，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．【解析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质，三角形的外角性质，等边三角形每个内角为60°．要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高和中线重合即可得证．18.(本小题8.0分)如图，ΔABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE，求证：点P是AB的中点．【答案】证明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵∠CAD=∠CBE，∴∠DAB=∠EBA，∴FA=FB，又∵AC=BC，∴CF是AB的中垂线，∴P是AB的中点．

【解析】此题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明CF是AB的中垂线是解题的关键．根据等腰三角形的性质就可以求出∠DAB=∠EBA，再证明CF是AB的中垂线就可以得出结论．19.(本小题8.0分)已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm.求BC的长．【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∠B+∠ADB=90°，∴BD=2AD=2×4=8(cm)，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4cm，∴BC=BD+DC=8+4=12(cm)．

【解析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质．等腰△ABC中，根据∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4cm.Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8cm；由此可求得BC的长．20.(本小题8.0分)如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形(1)请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形(不能重复)(2)在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有___________个．【答案】(1)解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称.(答案不唯一，画出其中三个即可)(2)6．

【解析】(1)根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．(2)依据(1)中的作图结果进行判断即可。21.(本小题12.0分如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)．(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A(2)直接写出点A1，B1，(3)求出△A【答案】解：(1)如图：(2)由图可知：A1(1,5)，B1(3)SΔ【解析】本题考查了轴对称图形的画法，求关于Y轴对称的点的坐标间关系等，根据相关知识点即可解决问题．(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A(2)根据点关于y轴对称的性质，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可求出A1、B1、(3)根据三角形面积=梯形面积−三角形面积−三角形面积，计算即可得出结论．22.(本小题8.0分)如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=7，DE垂直平分AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长。【答案】解：∵DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E∴AE=BE，∵AB=AC=10，∴△BEC的周长是BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=10+7=17．

【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．求出AE=BE，求出△BEC的周长=AB+BC，代入求出即可．23.(本小题10.0分如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．(1)求证：OE是CD的垂直平分线．(2)若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；(2)∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=3