函数的上下极限及其应用

函数的上下极限及其应用摘要：作为数学分析中最基本但最重要的内容之一，极限理论常常以各种形式出现于整个数学分析。它成功打破了近似到精确的壁垒，跨越了有限到无限的鸿沟，从萌芽到最终建立，从定性认识到定量认识，在经历了几千年的更新发展后，极限理论已然成为现代数学中不可或缺的一部分，是众多概念和理论的基础，也是人类发现和解决数学问题的重要手段。关键词：上极限；下极限；数列；函数目录1引言 12数列、函数的上、下极限的定义 22.1数列的上、下极限的定义 22.1.1数列的上、下极限的定义 22.1.2数列的上、下极限的几个定义的等价性 32.2函数的上、下极限的定义 42.2.1函数的上、下极限的定义 42.2.2函数的上、下极限的几个定义的等价性 53数列、函数的上、下极限的性质 73.1数列的上、下极限的性质 73.2函数的上、下极限的性质 94数列、函数的上、下极限的应用 134.1上、下极限性质的应用举例 134.2上、下极限的应用在极限运算及证明中的作用 144.3上、下极限来刻画数列收敛的充要条件 164.4上、下极限概念在数列与级数论中的作用 175结束语 19致谢 20主要参考文献 211引言众所周知，极限的理论对于高等数学这栋大楼来说是地基的存在，几乎所有后续的理论都是建立在极限的思想上，例如函数连续性、导数、微积分、级数的收敛和发散、偏导数、多元函数、广义积分、多重积分、曲线积分和曲面积分的收敛和发散等，因此极限的重要性不言而喻，熟知极限的定义与性质并能灵活地运用成了每个数学专业学生的必修课。“数学极限法的创造是数个世纪以来对简单的算术、代数和初等几何方法无法解决的问题进行顽强探索的结果。”这是来自拉夫伦捷夫的评价。对于极限的渊源可以追溯到春秋战国时期。道家代表人庄子在《庄子》的“天下篇”中写道：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。这意思是，有一尺长的木棍，每天都把前一天剩下的棍子砍下一半，木棍永远无法砍完。也就是说，余数将慢慢地接近零，但永远不会成为零。墨家则持有不同的观点，提出了“非半”。墨子说：“非半弗，则不动，说在端”。这意味着，如果一条直线段被无限地除以一半和一半，就会有一个“非半”不能再被分割，而这个“非半”就是一个点。道家思想是“无限分裂”，而墨家思想认为无限分裂最终会导致“不可分割”。公元3世纪，极限思想被中国古代杰出的数学家刘徽在实际问题中得以应用。最著名的方法就是“割圆术”，用于计算圆的面积。极限和连续函数概念经过推广、扩展和深化在近代数学的许多分支中创造了重要的概念和理论。17世纪时解析几何诞生，作为数学发展的一个转折点。在17世纪下半叶时，在前人大量的研究工作与理论的基础上，微积分诞生了，由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨创造。此外，牛顿在《流数简论》中提出了流数法。后来由法国数学家柯西首次建立严格的极限理论，并由德国数学家维尔斯特拉斯最终完成。直到19世纪，Weierstrass才首次提出了极限的静态定义。他用数字及其大小关系代替了原本人们常用来描述极限的两个字眼，“无限”与“接近”。它对“”的定义远不如基于运动和直觉的描述性定义容易理解。这也反映了数学概念的抽象性。概念越抽象，离具体的原型越遥远，就越能准确地剖析原型，将原型的本质呈现。上限和下限的概念是极限概念的延伸。由于在进行正项级数的收敛性判别时，上限与下限是必不可少的，所以它们也是数学分析中的重要理论部分。关于上下限的定义和性质的相关理论，已有文献已经取得了比较丰富的成果。本人找参考了13篇相关文献，文献一到文献四提供了数列以及函数上下极限的定义与等价定义的证明，文献五到文献九提供了数列以及函数上下极限的性质与证明，文献十到文献十三提供了在证明数列和函数极限是否存在时数列以及函数上下极限相关理论的应用。从这些文献的研究可以正确理解和认识序列和函数的上下限，有助于更好地理解序列、函数，尤其是非收敛序列和函数的内部结构。本文将在上述文献的基础上，进一步研究和总结数列和函数上下限的定义、性质、相关理论和应用，以加深对数学分析、实变函数等课程内容的理解，提高学习数学的能力。2数列、函数的上、下极限的定义2.1数列的上、下极限的定义2.1.1数列的上、下极限的定义对于收敛数列，如果粗略地把作为“充分大时，大小”的量度。那么，对于一般数列，可以提这样的问题“当充分大的时候，能有多大（小）？这就是上、下极限概念的朴素思想。本文对数列的聚点的概念，是在如下意义之上的：对任意数列，当时，则认为和是有序集的不同元素，如果的任何邻域中都含有无穷多个，则称为为的聚点。定义1设数列的聚点组成的集合为，则称为的上极限，且为的下极限。不难知道，，。定义2设为数列，称为的上极限，且为的下极限，例如或者，则或者。定义3设为数列，如果无上界，则称为的上极限；如果无下界，则称为的下极限；如果有界，当为常数列时，称分别为的上极限和下极限；当为非常数有界数列时，设，，取，，设，；如果是无穷集，则令，，否则令，；如果是无穷集，则令，，否则令，；再分别取和的中点……这样，得到两个闭区间套和，且，，对任意，和中最多只有有限个，称：为的上极限，为的下极限。2.1.2数列的上、下极限的几个定义的等价性上节中的定义1、定义2、定义3是等价的。下面给出证明：１。定义１与定义2等价（1）如果，据式，存在使，即。因，故存在使。取，则由于（对任意），此与是聚点矛盾。所以必有。（2）任取，设，因。即对任意，。所以，对任意，。易知，。由的任意性，可得。由（1）和（2）可得。同理可得。2。定义3与定义1等价不妨只在，且和都有限的情况下来证明。为定义1所设，显然，。任取，由的构造特点可知存在，当时，，且在中最多只有有限个，所以，，由，式，，即。同理可证，。2.2函数的上、下极限的定义2.2.1函数的上、下极限的定义设是区间，，函数是对所有，有定义的实值函数，为了方便只讨论在的某空心邻域有上（下）界的函数。，记：；；；；；定义4数，称为函数在的上极限，记作：；数，称为函数在的下极限，记作：。定义5若数满足：，（1），，有：；（2），，有：；则称数为函数在的上极限，记作：。若数满足：，（1），，有：；（2），，有：；则称数为函数在的下极限，记作：。定义6数称为函数在的上极限，记作：；数称为函数在的下极限，记作：。定义7数称为函数在的上极限，记作：；数称为函数在的下极限，记作：。2.2.2函数的上、下极限的几个定义的等价性上节中的定义4、定义5、定义6、定义7是等价的。下面给出证明：１。定义4与定义5等价（1）定义4定义5，只须证明定义4之中的数能使定义5中的条件（1,2）成立即可。用反证法：若定义4中的数使条件（1）不成立，则，，，有：。因此，故，这与相矛盾。若定义4中的数使条件（2）不成立，则，有：。从而，又因当时，有，故：，这也与相矛盾。因此定义4中数可使定义2中的条件（1，2）成立。（2）定义5定义4，只须证明定义5之中的数，，由条件(1)可知：，，有：，从而。又因当时，有：，从而，有。由条件（2）知：，，有：；从而，因此，，有：；故：；由的任意性可知：。综上所述可知，定义4和定义5是等价的。2。定义5与定义6等价（1）定义5定义6，只须证明定义5中的。，由条件（1）可知，，，有：；，则且，，使。因为，所以对上述，，当时，有：，从而当时，有，所以有：，且，所以有：。综上所述有：，有：，由的任意性可知：。（2）定义6定义5，只须证明定义6中的数就能让（1,2）成立，采用反证法：若定义6中的数不能使定义5中的条件（1）成立，则：，，，有：。从而数列有界，故数列有收敛子列，记作：。则因，所以有，且，从而有，这与相矛盾。若定义6中的数不能使定义5中的条件（2）成立，则，，，有：。，则：且，，使。因，故对上述。，时，有：。从而时，有：，所以：，由此得：，这也与相矛盾。因此定义6中数能使定义5中的条件（1，2）成立。由此证明知：定义5与定义6等价。3。定义6与定义7等价事实上：，所以，，则定义6与定义7等价。综上所述，定义4、定义5、定义6、定义7是等价的。3数列、函数的上、下极限的性质3.1数列的上、下极限的性质性质1设有界数列，满足：存在，当时有，则取上极限或下极限后，不等号方向都不变：，。特别地，若、为常数，又存在，当时有，则：。性质1的证明：，，现证。假定，则对，根据知，中能满足的项必有无限多个。又因为时，故中能满足的项也有无限多个。这与相矛盾。因此。同理可证。特别地，若时有，由已证结论以及对任何有界数列有得：。性质2设为有界数列，则有：（1）是的上极限的充要条件是：；（2）是的下极限的充要条件是：。性质2的证明：（1）必要性因有界，所以为有限值，设其值为。因为对任给的，中能满足的至多有有限多个。设这有限个项中的下标的最大者为，则时有，从而。又由于对上述，中能满足的项必有无限多个，故对一切，总有。于是，当时有。所以。（2）充分性设（为有限值）。记，则递减且。于是，对任给的，存在，使得当时有的项有无限多个，故。由已证结论和，得：。所以。性质3设是有界数列，则有：（1）；（2）。性质3的证明：由上下确界的定义知：，。令取极限即是：；。性质4设，是两列数列，则有：（1）；（2）。性质4的证明：（1）设，，因为任给的，存在，使得当时，有：，，即。再由性质1，得：。故由的任意性，得：，即。（2）设，，因为任给的，存在，使得当时，有：，，即：。再由性质1，得：。故由的任意性，得：，即。性质5设，则有：（1）；（2）。性质5的证明：（1）设，因为对于任意给的，使，令，，则存在，使得当时，有：，即：，且存在，使得：（=1,2，…），即：。综上，得：，故。同理，可证得（2）。3.2函数的上、下极限的性质引理1若是连续函数且在上单调递增,则对任意数列，都有：（1）；（2）。引理1的证明：当时（因为在上连续，所以有意义），对任意，都有。由引理条件有。根据确界定理，可得：。（当时，上述仍成立。）只要证明，就得（1）。首先考虑集合}。若集合，那么由在上连续可令=，其中（因为，并且在上连续，所以有意义）。由于对任意，都有，根据确界定理，，这说明。若集合，再令，那么对任意的，都有。根据确界定理，有。由已知样件可知。当时，必有数列的单调上升子列，使得，所以有：；或者上述同样成立。总之，（1）成立。同理可证（2）。性质6若是连续函数且在上单调递增,则对任意数列，都有：（1）；（2）。性质6的证明：由，可得：。同理可证（2）。引理2若是连续函数且在上单调递减,则对任意数列，都有：（1）；（2）。引理2的证明：证明方法与引理1的证明方法一样。性质7若是连续函数且在上单调递减,则对任意数列，都有：（1）；（2）。性质7的证明：证明方法与性质6的证明方法一样。性质8设为一实数列，且，，则：（1）当在上单调递增，且，时，有：，。（2）当在上单调递减，且，时，有：，。注意：缺少定理中函数的单调性、连续性中任意一者，都将矛盾。例如：1.函数在内严格单调递增，在点处不连续，而数列、2、）的上极限为1。若利用定理6的结论计算，则有：；同时、2、)，所以有，从而产生矛盾。2.函数在内不严格单调。取数列，其中，，分别表示，的最大整数部分，它有聚点、0、。故，。若按定理6计算，则有，而事实上，这也产生了矛盾。性质8的证明：（1）由条件可知，对任意的，存在，使得当时，有。又因为，所以在中有无穷多项大于，从而由单调递增可知，在中有无穷多项大于或等于。故有：。类似可证：。（2）由已知条件可知，对任意的，存在，使得当时，有。取，则。又因为，所以在{}中有无穷多项小于。再由单调递减可知，在{}中有无穷多项大于或等于（），故有：。类似可证：。4数列、函数的上、下极限的应用4.1上、下极限性质的应用举例例1求数列的上、下极限（1）；（2）；（3）；（4）。解令，则有：；。而函数在上严格单调递增且连续；在上严格单调递减且连续；由性质6、性质7得：（1）；。（2）；。又令，则，。而函数在上连续地单调递增，且；函数在上连续地单调递减，且，得：（3）；。（4）；。例2若和为正数列，则：（1）；（2）。试证：只要不出现型式，，0，上式成立。证当，时，由于函数和函数单调增加的连续函数，所以由性质6可得：。当或者时，有所有（2）式成立。当，时，（1）式的证明方法同（2）式。当或时，只要证明不等式（1）的左边等于，就得证对数列的任意子列，都有（）。所以能找到满足条件子数列使，故（1）式成立。4.2上、下极限的应用在极限运算及证明中的作用例3已知，求证：。常见的错误证明：因，所以对任意的，存在常数，当时，有：，所以：（1）令，得到：。再由的任意性得到：；错误是预先认定了极限的存在。这里若想忽略极限存在性的问题，只需使用上下极限。正确的做法是：由（1）式，令，得到：；再由的任意性得到：；于是推得：。与上述过程类似的内容，许多文献中直接写为：“令，（1）式的左右两边分别趋于和。由于的任意性，可得：。例4设数列满足条件：，，；则数列有极限。证对于任意取定的，可以通过表示为（其中，，=0,1,…,）记，那么。于是有。当时，有，因此利用性质1可得：。上式对任意固定的成立，再让，对上式取下极限，便得：。所以，可知数列有极限。4.3上、下极限来刻画数列收敛的充要条件充要条件1：数列收敛的充要条件是：对任何数列都有。证（必要性）由上章给出的性质知：，下证：。对于：存在一个收敛子列使，又收敛，所以也是收敛的且。故。（充分性）用反证法，假设不收敛，记，，则。因，故存在收敛子列，使。令，则，从而：（2）而实际上存在两收敛子列、，使得=，又由得结构知：对于的可能性只有两种存在情况：=1\*romani）存在，使时，，此时，。=2\*romanii）存在，使得时，，此时，。如果是情况=1\*romani=1\*romani）：存在，使时，，所以，此时，。如果是情况=1\*romani）：存在，使得时，，则。不论=1\*romani）还是=1\*romani=1\*romani）都有：。（3）故（3）与（2）矛盾，因此收敛。充要条件2：数列收敛的充要条件是：对任何数列都有（若）。证（必要性）：先证，对：存在收敛子列，使得，由于收敛，且，故收敛且。故存在，当时，有，又（），所以收敛。所以，。下证：，对于，存在子列也收敛，且，故。（充分性）：与充要条件1同理，只需将（2）式变成，把（3）式变为与上矛盾，所以数列收敛。4.4上、下极限概念在数列与级数论中的作用若一个数列收敛，则当充分大时，数列中的项与项之间的差距就大致为零。一个发散数列是没有这个性质的。上、下极限就正好可以用来补充说明，若一个数列发散，当充分大时，数列中的项与项之间就有大致的变化幅度。这一点在不少问题中很有用处。例如,一般教科书中经常会提到当极限（4）存在时，幂级数（5）的收敛半径就是。这反映了幂级数的收敛半径是由其系数的绝对值大小来决定的。事实上，绝对值最大的那一部分系数才决定了幂级数的收敛半径，即幂级数（5）式的收敛半径等于。事实上，设（5）式收敛，则当n充分大时可有：；亦即。令，就得到，所以收敛半径不超过。再者，由下极限定义，当充分大时可有：；亦即。于是幂级数（5）式当时收敛，所以（5）式的收敛半径是。5结束语本文主要是通过对数列的上下极限的定义与性质以及函数的上下极限的定义和性