苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题04圆心角、圆周角【考题猜想32题7种题型】(原卷版+解析)

专题04圆心角、圆周角（32题7种题型）一、利用弧、弦、圆周角关系求解（共4小题）1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙QUOTE𝑂O上的点，且QUOTE，QUOTE鈭燗𝑂𝐵=125掳鈭燗OB=125掳，求QUOTE的度数．2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，C是QUOTE的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA垂直平分MD.(2)若QUOTE鈭燗𝑂𝐵=30掳鈭燗OB=30掳，求∠MON的度数.(3)若QUOTE鈭燗𝑂𝐵=20掳鈭燗OB=20掳，QUOTE𝑂𝐶=6OC=6，求MN的长度．4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，QUOTE𝐴𝐵AB是⊙O的直径，点QUOTE𝐶C在⊙O上，QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B，垂足为QUOTE𝐷D，且QUOTE，QUOTE𝐵𝐸BE分别交QUOTE𝐶𝐷CD、QUOTE𝐴𝐶AC于点QUOTE𝐹F、QUOTE𝐺G．(1)求证：QUOTE；(2)求证：QUOTE𝐹F是QUOTE𝐵𝐺BG的中点．QUOTE𝐵𝐺二、利用弧、弦、圆周角关系证明（共5小题）5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，QUOTE＝QUOTE．求证：AC＝BD；6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，QUOTE．请判断△ABC的形状，并说明理由．QUOTE7．（2022秋·北京东城·九年级汇文中学校考期中）如图，QUOTE内接于QUOTE鈯橭鈯橭，高QUOTE𝐴𝐷AD经过圆心QUOTE𝑂O．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC；(2)若QUOTE𝐵𝐶=16BC=16，QUOTE鈯橭鈯橭的半径为QUOTE1010．求QUOTE的面积．QUOTE8．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．QUOTE1859．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，弦QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B于点E，连接QUOTE𝐷𝑂DO并延长交QUOTE鈯橭鈯橭于点F，连接QUOTE𝐴𝐹AF，QUOTE．(1)求证：QUOTE；(2)连接QUOTE𝐴𝐶AC，若QUOTE𝐴𝐵=12AB=12，求QUOTE𝐴𝐶AC的长．三、利用圆周角定理求解（共4小题）10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为QUOTE上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为QUOTE的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．11．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．QUOTEQUOTEQUOTE12QUOTE1212．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作QUOTE𝐴𝐸鈯𝐷AE鈯D的延长线于点E，已知DA平分QUOTE．(1)求证：QUOTE𝐴𝐸AE是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTE𝐴𝐸=4AE=4，QUOTE𝐶𝐷=6CD=6，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径和AD的长．QUOTE2513．（2022秋·湖北恩施·九年级校考期中）如图所示，QUOTE𝐴𝐵AB是⊙QUOTE𝑂O的一条弦，QUOTE𝑂𝐷鈯𝐵OD鈯B，垂足为QUOTE𝐶C，交⊙QUOTE𝑂O于点QUOTE𝐷D，点QUOTE𝐸E在⊙QUOTE𝑂O上．（QUOTE11）若QUOTE鈭燗𝑂𝐷=52掳鈭燗OD=52掳，求QUOTE的度数．（QUOTE22）若QUOTE𝑂𝐶=3OC=3，QUOTE𝑂𝐴=5OA=5，求QUOTE𝐴𝐵AB的长．14．（2022秋·江西赣州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．QUOTEQUOTEQUOTE52−32四、利用圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）求解（共4小题）15．（2022秋·广东韶关·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若QUOTE𝐵𝐸=2,𝐶𝐷=6BE=2,CD=6，求⊙O的半径的长．QUOTE𝑅=13416．（2022秋·广东中山·九年级校联考期中）如图，AB是QUOTE的直径，点C为QUOTE的中点，CF为QUOTE的弦，且QUOTE．垂足为E，连接QUOTE𝐵𝐷BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：QUOTE；(2)若QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐸=4AD=BE=4QUOTE𝐵𝐹=4317．（2022秋·北京·九年级北京市陈经纶中学分校校考期末）如图，在⊙O中，QUOTE＝QUOTE，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．(1)求证：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．18．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，C是弧QUOTE𝐵𝐷BD的中点，QUOTE𝐶𝐸鈯𝐵CE鈯B于点E，QUOTE𝐵𝐷BD交QUOTE𝐶𝐸CE于点F．(1)求证：QUOTE𝐶𝐹=𝐵𝐹CF=BF；(2)若QUOTE𝐶𝐷=2CD=2，QUOTE𝐴𝐶=4AC=4，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径及QUOTE𝐶𝐸CE的长．五、利用圆周角定理推论（半圆（直径）所对的圆周角是直角）求解（共6小题）19．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD内接于QUOTE鈯橭鈯橭，QUOTE𝐴𝐶AC为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，QUOTE．(1)试判断QUOTE的形状，并给出证明；(2)若QUOTE𝐴𝐵=2AB=2，QUOTE𝐴𝐷=1AD=1，求QUOTE𝐶𝐷CD的长度．QUOTE3QUOTE2QUOTE𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=2QUOTE𝐴𝐶2−𝐴𝐷2=3QUOTE320．（2022秋·云南曲靖·九年级校考期中）如图，以AB为直径作QUOTE鈯橭鈯橭，在QUOTE鈯橭鈯橭上取一点C，延长AB至点D，连接DC，QUOTE，过点A作QUOTE𝐴𝐸鈯𝐷AE鈯D交DC的延长线于点E．(1)求证：CD是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTE𝐶𝐷=4CD=4，QUOTE𝐷𝐵=2DB=2，求AE的长．21．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）如图①，在QUOTE中，QUOTE𝐶𝐴=𝐶𝐵CA=CB，QUOTE𝐷D是QUOTE外接圆QUOTE鈯橭鈯橭上一点，连接QUOTE𝐶𝐷CD，过点QUOTE𝐵B作QUOTE，交QUOTE𝐴𝐷AD的延长线于点QUOTE𝐸E，交QUOTE鈯橭鈯橭于点QUOTE𝐹F．(1)求证：四边形QUOTE𝐷𝐸𝐹𝐶DEFC是平行四边形；(2)如图②，若QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭直径，QUOTE𝐴𝐵=7AB=7，QUOTE𝐵𝐹=1BF=1，求QUOTE𝐶𝐷CD的长．QUOTE𝐶𝐷=𝐴𝐹=4322．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2，QUOTE𝐷𝐻=5DH=5，求⊙O的半径．QUOTE5223．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，点C在QUOTE鈯橭鈯橭上，连接AC，BC，过点O作QUOTE𝑂𝐷鈯𝐶OD鈯C于点D，过点C作QUOTE鈯橭鈯橭的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：QUOTE鈭燛=鈭燘鈭燛=鈭燘；（2）连接AD．若QUOTE𝐶𝐸=45CE=45，QUOTE𝐵𝐶=8BC=8，求AD的长．QUOTE𝐴𝐷=2𝐴𝐶=4224．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．六、利用圆周角定理推论（90°的圆周角所对的弦是直径）求解（共3小题）25．（2022秋·北京·九年级日坛中学校考期中）如图，QUOTE𝐷D是等腰三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC底边的中点，过点QUOTE作QUOTE．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE的直径；(2)延长QUOTE𝐶𝐵CB交QUOTE于点QUOTE𝐸E，连接QUOTE𝐷𝐸DE，求证：QUOTE𝐷𝐶=𝐷𝐸DC=DE；26．（2022秋·广东潮州·九年级统考期末）如图，QUOTE中，QUOTE鈭燗𝐶𝐵=90掳鈭燗CB=90掳，按要求完成下列问题：(1)作出QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外接圆QUOTE；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）的条件下，若CD平分QUOTE鈭燗𝐶𝐵鈭燗CB，CD交QUOTE于点D，连接AD，BD．求证：QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐷AD=BD．27．（2022秋·安徽安庆·九年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐶2QUOTE12QUOTE12七、已知圆内接四边形求角度（共5小题）28．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是QUOTE的内接四边形．QUOTE𝐷𝐵DB平分QUOTE鈭燗𝐷𝐶鈭燗DC，连接QUOTE𝑂𝐶,𝑂𝐶鈯𝐷OC,OC鈯D．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵=𝐶𝐷AB=CD；(2)若QUOTE，求QUOTE鈭燗𝐷𝐵鈭燗DB的度数．29．（2022秋·山东德州·九年级校考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2QUOTE22．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．30．（2022秋·河南焦作·九年级校考期末）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明QUOTE2QUOTE𝐴𝐵QUOTE231．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知：QUOTE是QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外接圆，且QUOTE，QUOTE鈭燗𝐵𝐶=60掳鈭燗BC=60掳，D为QUOTE上一动点．(1)如图1，若点D是QUOTE的中点，QUOTE鈭燚𝐵𝐴鈭燚BA等于多少？(2)过点B作直线QUOTE𝐴𝐷AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在QUOTE上，求证：QUOTE𝐶𝐷=𝐷𝐸+𝐴𝐸CD=DE+AE．②若点D在QUOTE上，当它从点A向点C运动且满足QUOTE𝐶𝐷=𝐷𝐸+𝐴𝐸CD=DE+AE时，求QUOTE鈭燗𝐵𝐷鈭燗BD的最大值．32．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE绕点A逆时针旋转到QUOTE的位置，然后证明QUOTE，从而可得QUOTE𝐸𝐹=𝐸'𝐹EF=E'F．QUOTE𝐸'𝐹=𝐸'𝐷+𝐷𝐹=𝐵𝐸+𝐷𝐹(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，QUOTE，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，QUOTE，求证：EF＝BE＋DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是QUOTE的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系．

专题04圆心角、圆周角（32题7种题型）一、利用弧、弦、圆周角关系求解（共4小题）1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙QUOTE𝑂O上的点，且QUOTE，QUOTE鈭燗𝑂𝐵=125掳鈭燗OB=125掳，求QUOTE的度数．【答案】QUOTE．【分析】由题意易知QUOTE，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A，B，C，D是QUOTE鈯橭鈯橭上的点，QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，C是QUOTE的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．【答案】（1）见解析（2）5，QUOTE245245【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．又∵C是QUOTE的中点,∴QUOTE∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；（2）解：∵QUOTE∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，??B=∴⊙O的半径为5，【点睛】此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键．3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA垂直平分MD.(2)若QUOTE鈭燗𝑂𝐵=30掳鈭燗OB=30掳，求∠MON的度数.(3)若QUOTE鈭燗𝑂𝐵=20掳鈭燗OB=20掳，QUOTE𝑂𝐶=6OC=6，求MN的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)QUOTE鈭燤𝑂𝑁=90掳鈭燤ON=90掳；(3)QUOTE𝑀𝑁=6MN=6．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：QUOTE，得出QUOTE鈭燤𝑂𝑁=60掳鈭燤ON=60掳，根据等边三角形得判定可得QUOTE鈻砄𝑀𝑁鈻砄MN为等边三角形，即可得出结果．【详解】（1）证明：如图所示，连接MD，由作图可知，QUOTE𝐶𝑀=𝐶𝐷CM=CD，∴QUOTE，∵OA是经过圆心的直线，∴OA垂直平分MD；（2）解：如图所示，连接ON，∵QUOTE𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁CM=CD=DN，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE鈭燤𝑂𝑁=90掳鈭燤ON=90掳；（3）解：由（2）可得：QUOTE，∴QUOTE鈭燤𝑂𝑁=60掳鈭燤ON=60掳，∵QUOTE𝑂𝑀=𝑂𝑁OM=ON，∴QUOTE鈻砄𝑀𝑁鈻砄MN为等边三角形，∴QUOTE𝑀𝑁=𝑂𝑀=𝑂𝐶=6MN=OM=OC=6．【点睛】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，QUOTE𝐴𝐵AB是⊙O的直径，点QUOTE𝐶C在⊙O上，QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B，垂足为QUOTE𝐷D，且QUOTE，QUOTE𝐵𝐸BE分别交QUOTE𝐶𝐷CD、QUOTE𝐴𝐶AC于点QUOTE𝐹F、QUOTE𝐺G．(1)求证：QUOTE；(2)求证：QUOTE𝐹F是QUOTE𝐵𝐺BG的中点．【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到QUOTE鈭燗𝐶𝐷+鈭燚𝐶𝐵=90掳鈭燗CD+鈭燚CB=90掳，QUOTE鈭燙𝐴𝐵+鈭燗𝐶𝐷=90掳鈭燙AB+鈭燗CD=90掳，进而求证QUOTE；（2）由QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE𝐹𝐵=𝐹𝐶FB=FC，再根据QUOTE，得出QUOTE，所以QUOTE𝐹𝐶=𝐹𝐺FC=FG，即可得出QUOTE𝐹𝐵=𝐹𝐺FB=FG．【详解】（1）解：∵QUOTE𝐴𝐵AB是⊙O的直径，∴QUOTE鈭燗𝐶𝐵=90掳鈭燗CB=90掳，∴QUOTE鈭燗𝐶𝐷+鈭燚𝐶𝐵=90掳鈭燗CD+鈭燚CB=90掳，∵QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B，∴QUOTE鈭燙𝐴𝐵+鈭燗𝐶𝐷=90掳鈭燙AB+鈭燗CD=90掳，∴QUOTE；（2）解：∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐹𝐵=𝐹𝐶FB=FC，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐹𝐶=𝐹𝐺FC=FG，∴QUOTE𝐹𝐵=𝐹𝐺FB=FG，∴QUOTE𝐹F是QUOTE𝐵𝐺BG的中点．【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角．二、利用弧、弦、圆周角关系证明（共5小题）5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，QUOTE＝QUOTE．求证：AC＝BD；【答案】见解析【分析】根据已知条件求得QUOTE，根据弧与弦的关系即可得证．【详解】证明：∵QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE，∴BD=AC．【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，QUOTE．请判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析.【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论【详解】△ABC是等边三角形，理由：∵QUOTE∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．7．（2022秋·北京东城·九年级汇文中学校考期中）如图，QUOTE内接于QUOTE鈯橭鈯橭，高QUOTE𝐴𝐷AD经过圆心QUOTE𝑂O．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC；(2)若QUOTE𝐵𝐶=16BC=16，QUOTE鈯橭鈯橭的半径为QUOTE1010．求QUOTE的面积．【答案】(1)见解析(2)128【分析】（1）根据垂径定理可得QUOTE，根据等弧所对的弦相等，即可求解．（2）连接QUOTE𝑂𝐵OB，勾股定理求得QUOTE𝑂𝐷OD，继而得出QUOTE𝐴𝐷AD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTE𝐴𝐷ADQUOTE鈯𝐶鈯C，∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC；（2）如图，连接QUOTE𝑂𝐵OB，∵QUOTE𝐴𝐷ADQUOTE鈯𝐶鈯C，∴QUOTE𝐵𝐷=12𝐵𝐶=8BD=1∵QUOTE鈯橭鈯橭的半径为QUOTE1010．∴QUOTE𝐵𝑂=10BO=10，在QUOTERt??𝐵𝐷Rt??BD中，QUOTE𝐵𝑂=10,𝐵𝐷=8BO=10,BD=8，∴QUOTE𝑂𝐷=𝑂𝐵2−𝐵𝐷2∴QUOTE𝐴𝐷=𝐴𝑂+𝑂𝐷=10+6=16AD=AO+OD=10+6=16，∴QUOTE．【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．8．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．【答案】（1）65°；（2）QUOTE185185．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【详解】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，∴∠ACD=70°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，∴∠DAE=90°-40°=50°．又∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=QUOTE1212(180°−50°)=65°；（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，∴BC=5．又∵QUOTE1212•AF•BC=QUOTE1212•AC•AB，∴AF=QUOTE，∴CF=QUOTE32−(125)∵AC=AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=QUOTE185185．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，弦QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B于点E，连接QUOTE𝐷𝑂DO并延长交QUOTE鈯橭鈯橭于点F，连接QUOTE𝐴𝐹AF，QUOTE．(1)求证：QUOTE；(2)连接QUOTE𝐴𝐶AC，若QUOTE𝐴𝐵=12AB=12，求QUOTE𝐴𝐶AC的长．【答案】(1)见解析(2)QUOTE𝐴𝐶=6AC=6【分析】（1）根据题意和垂经定理得QUOTE，根据QUOTE得QUOTE，即可得；（2）连接QUOTE𝑂𝐶OC，根据直径的长可得QUOTE𝑂𝐴=6OA=6，根据QUOTE得QUOTE鈭燗𝑂𝐶=60掳鈭燗OC=60掳，根据QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐶OA=OC得QUOTE鈻矨𝑂𝐶鈻矨OC是等边三角形，即可得．【详解】（1）证明：∵QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，QUOTE𝐶𝐷鈯𝐵CD鈯B，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．（2）解：如图所示，连接QUOTE𝑂𝐶OC，∵QUOTE𝐴𝐵=12AB=12，∴QUOTE𝑂𝐴=6OA=6，∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐶OA=OC，∴QUOTE鈻矨𝑂𝐶鈻矨OC是等边三角形，∴QUOTE𝐴𝐶=𝑂𝐴=6AC=OA=6．【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．三、利用圆周角定理求解（共4小题）10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为QUOTE上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为QUOTE的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1)QUOTE鈭燚𝑃𝐶=45掳鈭燚PC=45掳(2)QUOTE𝑛=8n=8【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴QUOTE．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为QUOTE的中点，∴QUOTE，∴QUOTE，∴n＝360÷45＝8．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．11．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵QUOTE，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵QUOTE，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=QUOTE1212OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=QUOTE1212(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．12．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作QUOTE𝐴𝐸鈯𝐷AE鈯D的延长线于点E，已知DA平分QUOTE．(1)求证：QUOTE𝐴𝐸AE是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTE𝐴𝐸=4AE=4，QUOTE𝐶𝐷=6CD=6，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径和AD的长．【答案】(1)见解析(2)5，QUOTE2525【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明QUOTE𝑂𝐴鈯𝐸OA鈯E即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得QUOTE𝑂𝐹鈯𝐷OF鈯D，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．【详解】（1）证明：如下图，连接OA，∵QUOTE𝐴𝐸鈯𝐷AE鈯D，∴QUOTE鈭燚𝐴𝐸+鈭燗𝐷𝐸=90掳鈭燚AE+鈭燗DE=90掳．∵DA平分QUOTE鈭燘𝐷𝐸鈭燘DE，∴QUOTE．又∵QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐷OA=OD，∴QUOTE，∴QUOTE鈭燚𝐴𝐸+鈭燨𝐴𝐷=90掳鈭燚AE+鈭燨AD=90掳，∴QUOTE𝑂𝐴鈯𝐸OA鈯E，∵OA是半径，∴QUOTE𝐴𝐸AE是QUOTE鈯橭鈯橭切线；（2）解：如上图，取CD中点F，连接OF，∴QUOTE𝑂𝐹鈯𝐷OF鈯D于点F，∴四边形AEFO是矩形．∵QUOTE𝐶𝐷=6CD=6，∴QUOTE𝐷𝐹=𝐹𝐶=3DF=FC=3．在Rt△OFD中，QUOTE𝑂𝐹=𝐴𝐸=4OF=AE=4，∴QUOTE𝑂𝐷=𝑂𝐹2+𝐷𝐹2在Rt△AED中，QUOTE𝐴𝐸=4AE=4，QUOTE𝐸𝐷=𝐸𝐹−𝐷𝐹=𝑂𝐴−𝐷𝐹=𝑂𝐷−𝐷𝐹=5−3=2ED=EF−DF=OA−DF=OD−DF=5−3=2，∴QUOTE𝐴𝐷=42+22=∴QUOTE𝐴𝐷AD的长是QUOTE2525．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．13．（2022秋·湖北恩施·九年级校考期中）如图所示，QUOTE𝐴𝐵AB是⊙QUOTE𝑂O的一条弦，QUOTE𝑂𝐷鈯𝐵OD鈯B，垂足为QUOTE𝐶C，交⊙QUOTE𝑂O于点QUOTE𝐷D，点QUOTE𝐸E在⊙QUOTE𝑂O上．（QUOTE11）若QUOTE鈭燗𝑂𝐷=52掳鈭燗OD=52掳，求QUOTE的度数．（QUOTE22）若QUOTE𝑂𝐶=3OC=3，QUOTE𝑂𝐴=5OA=5，求QUOTE𝐴𝐵AB的长．【答案】（1）26°；（2）8【分析】（1）欲求QUOTE鈭燚𝐸𝐵鈭燚EB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；（2）利用垂径定理可以得到QUOTE𝐴𝐶=𝐵𝐶=12𝐴𝐵=4AC=BC=1【详解】解：（1）QUOTE，QUOTEQUOTE，QUOTE．（2）∵QUOTE𝑂𝐶=3OC=3，QUOTE𝑂𝐴=5OA=5，且QUOTE𝑂𝐷鈯𝐵OD鈯B，∴QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝑂2−𝑂𝐶2∵QUOTE𝑂𝐷鈯𝐵OD鈯B，QUOTE，QUOTE鈭碅𝐵=8鈭碅B=8．【点睛】此题考查了圆周角定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出QUOTE𝐴𝐶=𝐶𝐵=4AC=CB=4是解题关键．14．（2022秋·江西赣州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝1．【分析】(1)由垂径定理可得QUOTE，再由圆周角定理即可得证；(2)连接OC，结合已知求得OE的长即可求得答案.【详解】(1)∵直径AB⊥弦CD，∴QUOTE,∴∠A=∠BCD；(2)连接OC，∵直径AB⊥弦CD，CD=6，∴CE=ED=3，∵直径AB=10，∴CO=OB=5，在Rt△COE中，∵OC=5，CE=3，∴OE=QUOTE52−325∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.四、利用圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）求解（共4小题）15．（2022秋·广东韶关·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若QUOTE𝐵𝐸=2,𝐶𝐷=6BE=2,CD=6，求⊙O的半径的长．【答案】（1）见解析；（2）QUOTE𝑅=134R=13【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，QUOTEQUOTE=QUOTE．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，QUOTE𝑅2=(𝑅−2)2+解得：QUOTE𝑅=134R=13∴⊙O的半径是QUOTE𝑅=134R=134【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．16．（2022秋·广东中山·九年级校联考期中）如图，AB是QUOTE的直径，点C为QUOTE的中点，CF为QUOTE的弦，且QUOTE．垂足为E，连接QUOTE𝐵𝐷BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：QUOTE；(2)若QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐸=4AD=BE=4【答案】(1)见解析(2)QUOTE4343【分析】（1）根据弧与弦的关系证明QUOTE𝐶𝐷=𝐵𝐹CD=BF，根据同弧所对的圆周角相等，证明QUOTE，结合对顶角相等，根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）连接OF，设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解；【详解】（1）证明：∵点C为QUOTE的中点，∴QUOTE，∵AB是QUOTE的直径，且QUOTE∴QUOTE∴QUOTE∴QUOTE𝐶𝐷=𝐵𝐹CD=在△BFG和△CDG中，∵△BFG≌△CDG（AAS）；（2）如图，连接OF，设⊙O的半径为r,Rt△ADB中，QUOTE𝐵𝐷2=𝐴𝐵2-𝐴𝐷2BD2Rt△OEF中，QUOTE𝑂𝐹2=𝑂𝐸2+𝐸𝐹2OF2∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE𝐵𝐷=𝐶𝐹BD=CF∴QUOTE𝐵𝐷2=𝐶𝐹2即QUOTE(2𝑟)2-42=4解得：r=2（舍）或6，∴QUOTE𝐵𝐹2=𝐸𝐹∴QUOTE𝐵𝐹=43BF=43【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．17．（2022秋·北京·九年级北京市陈经纶中学分校校考期末）如图，在⊙O中，QUOTE＝QUOTE，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．(1)求证：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【答案】(1)见解析(2)QUOTE33【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵QUOTE＝QUOTE，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝QUOTE1212OC＝1，∴CD＝QUOTE𝑂𝐶2−𝑂𝐷2OC2−OD2＝QUOTE22−1222∴△OCD的面积＝QUOTE1212×OD×CD＝QUOTE3232，同理可得，△OCE的面积＝QUOTE1212×OE×CE＝QUOTE3232，∴四边形DOEC的面积＝QUOTE32脳2=332【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．18．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，C是弧QUOTE𝐵𝐷BD的中点，QUOTE𝐶𝐸鈯𝐵CE鈯B于点E，QUOTE𝐵𝐷BD交QUOTE𝐶𝐸CE于点F．(1)求证：QUOTE𝐶𝐹=𝐵𝐹CF=BF；(2)若QUOTE𝐶𝐷=2CD=2，QUOTE𝐴𝐶=4AC=4，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径及QUOTE𝐶𝐸CE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为QUOTE55，QUOTE𝐶𝐸=455CE=455【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可证QUOTE，根据QUOTE𝐶𝐸鈯𝐵CE鈯B证明QUOTE鈭燙𝐵𝐷+鈭燗𝐶𝐸=90掳鈭燙BD+鈭燗CE=90掳，再利用直径所对的圆周角等于QUOTE90掳90掳，证明QUOTE鈭燘𝐶𝐹+鈭燗𝐶𝐸=90掳鈭燘CF+鈭燗CE=90掳，等量代换即可证明QUOTE，再利用等角对等边即可证明QUOTE𝐶𝐹=𝐵𝐹CF=BF；（2）证明QUOTE𝐶𝐷=𝐶𝐵=2CD=CB=2，再利用QUOTE，即可求出QUOTE𝐶𝐸CE．【详解】（1）证明：∵C是QUOTE的中点，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE𝐶𝐸鈯𝐵CE鈯B，∴QUOTE鈭燙𝐴𝐵+鈭燗𝐶𝐸=90掳鈭燙AB+鈭燗CE=90掳，∴QUOTE鈭燙𝐵𝐷+鈭燗𝐶𝐸=90掳鈭燙BD+鈭燗CE=90掳，∵QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，∴QUOTE鈭燗𝐶𝐵=90掳鈭燗CB=90掳，∴QUOTE鈭燘𝐶𝐹+鈭燗𝐶𝐸=90掳鈭燘CF+鈭燗CE=90掳，∴QUOTE，∴QUOTE𝐶𝐹=𝐵𝐹CF=BF．（2）解：∵QUOTE，∴QUOTE𝐶𝐷=𝐶𝐵CD=CB，∵QUOTE𝐶𝐷=2CD=2，∴QUOTE𝐶𝐷=𝐶𝐵=2CD=CB=2，∵QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，∴QUOTE鈭燗𝐶𝐵=90掳鈭燗CB=90掳，∵QUOTE𝐴𝐶=4AC=4，∴QUOTE𝐴𝐵=22+42=2∴⊙O的半径为QUOTE55．∵QUOTE𝐶𝐸鈯𝐵CE鈯B，∴QUOTE，即QUOTE，解得QUOTE𝐶𝐸=455CE=4【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，解题的关键是掌握等弧对等弦，直径所对的圆周角等于QUOTE90掳90掳，等角对等边，勾股定理．五、利用圆周角定理推论（半圆（直径）所对的圆周角是直角）求解（共6小题）19．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD内接于QUOTE鈯橭鈯橭，QUOTE𝐴𝐶AC为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，QUOTE．(1)试判断QUOTE的形状，并给出证明；(2)若QUOTE𝐴𝐵=2AB=2，QUOTE𝐴𝐷=1AD=1，求QUOTE𝐶𝐷CD的长度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)QUOTE33；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=QUOTE22，∴AC=QUOTE𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=2Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=QUOTE𝐴𝐶2−𝐴𝐷2=∴CD=QUOTE33．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．20．（2022秋·云南曲靖·九年级校考期中）如图，以AB为直径作QUOTE鈯橭鈯橭，在QUOTE鈯橭鈯橭上取一点C，延长AB至点D，连接DC，QUOTE，过点A作QUOTE𝐴𝐸鈯𝐷AE鈯D交DC的延长线于点E．(1)求证：CD是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTE𝐶𝐷=4CD=4，QUOTE𝐷𝐵=2DB=2，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE＝6【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2，∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）如图①，在QUOTE中，QUOTE𝐶𝐴=𝐶𝐵CA=CB，QUOTE𝐷D是QUOTE外接圆QUOTE鈯橭鈯橭上一点，连接QUOTE𝐶𝐷CD，过点QUOTE𝐵B作QUOTE，交QUOTE𝐴𝐷AD的延长线于点QUOTE𝐸E，交QUOTE鈯橭鈯橭于点QUOTE𝐹F．(1)求证：四边形QUOTE𝐷𝐸𝐹𝐶DEFC是平行四边形；(2)如图②，若QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭直径，QUOTE𝐴𝐵=7AB=7，QUOTE𝐵𝐹=1BF=1，求QUOTE𝐶𝐷CD的长．【答案】(1)见解析(2)QUOTE4343【分析】（1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得QUOTE即可；（2）连接QUOTE𝐷𝐹DF，QUOTE𝐴𝐹AF，利用平行线的性质证得QUOTE鈭燚𝐴𝐶+鈭燗𝐶𝐹=180掳鈭燚AC+鈭燗CF=180掳，再利用圆的内接四边形的性质证得QUOTE鈭燗𝐷𝐹+鈭燗𝐶𝐹=180掳鈭燗DF+鈭燗CF=180掳，得到QUOTE，再利用圆周角定理得到QUOTE𝐴𝐹=𝐶𝐷AF=CD，最后在QUOTE中即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTE，∴QUOTE鈭燗𝐷𝐶=鈭燛鈭燗DC=鈭燛，∵QUOTE𝐶𝐴=𝐶𝐵CA=CB，∴QUOTE∵QUOTE，∴QUOTE鈭燛=鈭燙𝐹𝐵鈭燛=鈭燙FB，∴QUOTE，∴四边形QUOTE𝐷𝐸𝐹𝐶DEFC是平行四边形；（2）连接QUOTE𝐷𝐹DF，QUOTE𝐴𝐹AF，如图所示，∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚𝐴𝐶+鈭燗𝐶𝐹=180掳鈭燚AC+鈭燗CF=180掳，∵四边形QUOTE𝐴𝐶𝐹𝐷ACFD是QUOTE鈯橭鈯橭的内接四边形，∴QUOTE鈭燗𝐷𝐹+鈭燗𝐶𝐹=180掳鈭燗DF+鈭燗CF=180掳，∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐹=𝐶𝐷AF=CD，∵QUOTE𝐴𝐵AB为QUOTE鈯橭鈯橭直径，∴QUOTE鈭燗𝐹𝐵=90掳鈭燗FB=90掳，∵QUOTE𝐴𝐵=7AB=7，QUOTE𝐵𝐹=1BF=1，∴QUOTE𝐴𝐹=𝐴𝐵2−𝐵𝐹2∴QUOTE𝐶𝐷=𝐴𝐹=43CD=AF=43【点睛】本题是一道圆的知识的综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，平行线的性质和判定等，作出适当的辅助线是解题的关键．22．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2，QUOTE𝐷𝐻=5DH=5，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)QUOTE5252【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得QUOTE𝐵𝐷=2𝐷𝐻=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE=90°．∵AD∥BC，∴∠CED=∠ADE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°．∴∠AFD=∠CED=90°．在△DAF和△DCE中，QUOTE，∴△DAF≌△DCE（AAS）．∴AF=CE．（2）解：如图，连接AH，DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°．∵AD=AB，QUOTE𝐷𝐻=5DH=5，∴QUOTE𝐵𝐷=2𝐷𝐻=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，∴AD2－AF2=BD2－BF2．∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．∴QUOTE𝐴𝐷2−(𝐴𝐷−2)2=∴AD=5．∴⊙O的半径为QUOTE5252．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．23．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，点C在QUOTE鈯橭鈯橭上，连接AC，BC，过点O作QUOTE𝑂𝐷鈯𝐶OD鈯C于点D，过点C作QUOTE鈯橭鈯橭的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：QUOTE鈭燛=鈭燘鈭燛=鈭燘；（2）连接AD．若QUOTE𝐶𝐸=45CE=45，QUOTE𝐵𝐶=8BC=8，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4QUOTE22【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．【详解】（1）证明：连接OC如图：OD⊥CB∴OB=OC，∠B=OCD又CE为圆O的切线∴OC⊥CE∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°∴∠E=∠DCO=∠B∴∠E=∠B（2）连接AD如图∵△EDC为Rt△∴DE=QUOTE𝐸𝐶2−𝐷𝐶2=由（1）得∠E=∠B又AB为直径∴∠BCA=90°在△CED和△ABC中∵QUOTE∴△CED≌△ABC（AAS）∴AC=DC=QUOTE12𝐵𝐶12BC∴QUOTE𝐴𝐷=2𝐴𝐶=42AD=【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．24．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）OA=OB=QUOTE55；QUOTE𝐴𝐷=52AD=52．【分析】（1）连结OC，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO=∠BCP，由AB为⊙O的直径，可得∠ACO+∠OCB=90°，可证∠OCP=90°即可；（2）连结BD，由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理AB=QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=10AC2+BC2=10，可求OA=OB=QUOTE12𝐴𝐵=512AB=5；由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，可得QUOTE，可得AD=BD，【详解】解：（1）连结OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=∠BCP，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCP+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∴直线PC是⊙O的切线；（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=8∴OA=OB=QUOTE12𝐴𝐵=512AB=5∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，∴QUOTE，∴AD=BD，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2∴QUOTE𝐴𝐷=𝐴𝐵2=102【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，掌握圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理是解题关键．六、利用圆周角定理推论（90°的圆周角所对的弦是直径）求解（共3小题）25．（2022秋·北京·九年级日坛中学校考期中）如图，QUOTE𝐷D是等腰三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC底边的中点，过点QUOTE作QUOTE．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE的直径；(2)延长QUOTE𝐶𝐵CB交QUOTE于点QUOTE𝐸E，连接QUOTE𝐷𝐸DE，求证：QUOTE𝐷𝐶=𝐷𝐸DC=DE；【答案】(1)见详解(2)见详解(3)QUOTE7575【分析】（1）连接QUOTE𝐵𝐷BD；根据等腰三角形三线合一的性质和圆周角定理的推论即可证明；（2）根据等腰三角形的两底角相等以及同弧所对的圆周角相等可证QUOTE鈭燛=鈭燙鈭燛=鈭燙；从而得出结论；（3）先证明QUOTE，根据相似三角形的性质求出QUOTE𝐶𝐸CE的长，进而得出结果；【详解】（1）证明：如图，连接QUOTE𝐵𝐷BD；在等腰QUOTE中，QUOTE𝐷D为底边QUOTE𝐴𝐶AC的中点，QUOTE𝐵𝐴=𝐵𝐶BA=BCQUOTE鈭碆𝐷鈯𝐶鈭碆D鈯C，即：QUOTE鈭燘𝐷𝐴=90掳鈭燘DA=90掳∴QUOTE𝐴𝐵AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径（2）证明：在等腰QUOTE中，QUOTE鈭燗=鈭燙鈭燗=鈭燙QUOTE均为QUOTE所对的圆周角QUOTEQUOTE26．（2022秋·广东潮州·九年级统考期末）如图，QUOTE中，QUOTE鈭燗𝐶𝐵=90掳鈭燗CB=90掳，按要求完成下列问题：(1)作出QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外接圆QUOTE；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）的条件下，若CD平分QUOTE鈭燗𝐶𝐵鈭燗CB，CD交QUOTE于点D，连接AD，BD．求证：QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐷AD=BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与AB的交点即为圆心O；（2）根据角平分线的意义可得QUOTE，根据圆周角定理可得QUOTE，QUOTE，等量代换可得QUOTE，根据同圆中圆心角相等可得QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐷AD=BD．【详解】（1）如图，QUOTE鈯橭鈯橭为所求；（2）如图，连接OD，∵CD平分QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐷=𝐵𝐷AD=BD．【点睛】本题考查了尺规作图，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．27．（2022秋·安徽安庆·九年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根据∠ACB＝90°可得AB为⊙O的直径，即可得答案；（2）根据BC、BO、BA的长可得点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，进而可得答案．【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐶2∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，∴AB为⊙O的直径，∴R=QUOTE1212AB=5．（2）∵点O是AB的中点，AB=10，∴BO=QUOTE1212AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，∴8＜r＜10．【点睛】本题考查圆周角定理、点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握直角所对的弦是直径是解题关键．七、已知圆内接四边形求角度（共5小题）28．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是QUOTE的内接四边形．QUOTE𝐷𝐵DB平分QUOTE鈭燗𝐷𝐶鈭燗DC，连接QUOTE𝑂𝐶,𝑂𝐶鈯𝐷OC,OC鈯D．(1)求证：QUOTE𝐴𝐵=𝐶𝐷AB=CD；(2)若QUOTE，求QUOTE鈭燗𝐷𝐵鈭燗DB的度数．【答案】(1)见解析(2)QUOTE33掳33掳【分析】（1）根据QUOTE𝐷𝐵DB平分QUOTE，可得QUOTE，再根据QUOTE𝑂𝐶鈯𝐷OC鈯D，可得QUOTE，从而得到QUOTE，即可．（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出QUOTE，再利用垂径定理，可得QUOTE𝐵𝐶=𝐷𝐶BC=DC，可得到QUOTE，即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTE𝐷𝐵DB平分QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE𝑂𝐶鈯𝐷OC鈯D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐵=𝐶𝐷AB=CD；（2）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礝𝐶鈯𝐷鈭礝C鈯D，∴QUOTE，QUOTE鈭碆𝐶=𝐷𝐶鈭碆C=DC，QUOTE，QUOTE平分QUOTE，QUOTE鈭粹垹𝐵𝐷𝐶=鈭燗𝐷𝐵=33掳鈭粹垹BDC=鈭燗DB=33掳．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．29．（2022秋·山东德州·九年级校考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2QUOTE22．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【答案】（1）QUOTE22；（2）QUOTE.【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，QUOTE

∴OH=QUOTE1212AC=QUOTE22，即点O到AC的距离为QUOTE22；（2）QUOTEQUOTE∠B=QUOTE1212∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°-45°=135°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．30．（2022秋·河南焦作·九年级校考期末）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)135°(2)（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由见解析【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．【详解】（1）解：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，在优弧QUOTE𝐴𝐵AB上取点G，连接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四边形ADBG是圆内接四边形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案为：135°；（2）①补全图形，如图：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由如下：过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，∴CE是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=QUOTE22CE．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．31．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知：QUOTE是QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外接圆，且QUOTE，QUOTE鈭燗𝐵𝐶=60掳鈭燗BC=60掳，D为QUOTE上一动点．(1)如图1，若点D是QUOTE的中点，QUOTE鈭燚𝐵𝐴鈭燚BA等于多少？(2)过点B作直线QUOTE𝐴𝐷AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在QUOTE上，求证：QUOTE𝐶𝐷=𝐷𝐸+𝐴𝐸CD=DE+AE．②若点D在QUOTE上，当它从点A向点C运动且满足QUOTE𝐶𝐷=𝐷𝐸+𝐴𝐸CD=DE+AE时，求QUOTE鈭燗𝐵𝐷鈭燗BD的最大值．【答案】(1)QUOTE30掳30掳(2)①证明见解析；②QUOTE30掳30掳【分析】（1）连接QUOTE𝐵𝐷BD，根据QUOTE可得QUOTE，再根据圆周角定理进行求解即可；（2）①过B作QUOTE𝐵𝐻鈯𝐷BH鈯D于点H，则QUOTE鈭燘𝐻𝐶=鈭燘𝐻𝐷=90掳鈭燘HC=鈭燘HD=90掳，证明QUOTE和QUOTE即可求解；②连接QUOTE𝐵𝑂BO并延长QUOTE鈯橭鈯橭交于点I，则点D在QUOTE上，证明QUOTE和QUOTE即可求解；【详解】（1）如图1中，连接QUOTE𝐵𝐷BD．∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燗𝐵𝐶=60掳鈭燗BC=60掳，∴QUOTE鈭燘𝐶𝐴=60掳鈭燘CA=60掳，∵D是QUOTE的中点，∴QUOTE鈭燚𝐶𝐴=30掳鈭燚CA=30掳，∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚𝐵𝐴=鈭燚𝐶𝐴=3