河南省信阳市2025届高三上学期第一次教学质量检测数学试题 含解析

2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.【详解】由集合，因为，可得，所以.故选：C.2.记等差数列的前n项和为，若，，则（）A.60 B.80 C.140 D.160【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.【详解】等差数列中，，而，则，公差，，所以.故选：C3.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】，，，又，即.因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）A.100 B.230 C.130 D.365【答案】B【解析】【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得.【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，此时“进步值”为，“退步值”为，即，所以，则，所以天．故选：B5.若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.【详解】因为：实数使得“”为真命题，所以有解，所以，解得，即；因为：实数使得“”为真命题，所以，由指数函数的图象和性质可得，即，所以，，即是的必要不充分条件，故选：A6.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A.0 B.1 C.2 D.2025【答案】C【解析】【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，又为偶函数，所以关于直线对称，所以为周期函数且周期，∴，∵，∴，∴.故选:C．7.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围.【详解】函数，求导得，由在区间上有最小值，得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D8.已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出大致图象，如下令，则，根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，因为，当且仅当时取得等号，又，易知其定义域内单调递减，即，此时有两个整数根或，而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，显然只有符合题意，当时有，则，解方程得的另一个正根为，又，此时五个整数根依次是，显然最大的根和最小的根和为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为奇函数B.在区间内单调递增C.在区间内单调递减D.有极大值【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数定义及其导函数的性质进行判断即可.【详解】由函数的定义域为知，为非奇非偶函数，因此A错误；又，令，则，当时，f′x因此在区间和单调递增；当x∈1,+∞时，f′x<0，因此在区间故在处，取得极大值，因此BCD正确.故选：BCD.10.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解.【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确；对于B：因为，所以当且仅当时取等号所以，当且仅当时取等号，正确；对于C:，当且仅当时取等号，错误；对于D:因为，所以又，所以成立，正确故选：ABD11.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【解析】【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为R判断C；求出图象的对称中心判断D.【详解】对于A，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；对于B，，当时，，即恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，B正确；对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为R，C错误；对于D，由，得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD第II卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知不等式的解集为，则函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到和是方程的两个根，列出方程组，求得的值，得出函数，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由不等式解集为，可得和是方程的两个根，且，则，解得，所以函数，要使得函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.【答案】【解析】【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为0,1；则曲线在处的切线为，显然，设切点，由，解得.故答案为：214.函数满足：任意.且.则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】由条件等式变形为，再构造函数，得到，并迭代得到，由此得到，并求和，利用放缩法，即可求解最小值.【详解】因为，所以，设，那么，因此，因此，取，得到，所以，所以的最小值是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是通过构造得到，关键二是得到的解析式，关键三是根据，利用放缩法求和.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和．【答案】（1）（2）1086【解析】【分析】（1）结合等比中项的知识求得等差数列an的公差，从而求得通项公式（2）利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前项和公式求得.【小问1详解】因为成等比数列，所以，因为an是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，所以，所以，所以.【小问2详解】设，所以，令，且b为整数，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，所以区间内所有“调和数”之和16.某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式；（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.【答案】（1）（2），.（3）点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.【解析】【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位置.【小问1详解】以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，则，解得，，所以曲线段所在的抛物线方程为.【小问2详解】因为点在曲线段上，，，所以，∴，.【小问3详解】∵，，令，解得，当时，f′x>0，当时，f所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，因此，当时，是极大值也是最大值，即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.17.已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；（2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.【小问1详解】，，，当，即时，，当，即时，，当时，的最大值为2.【小问2详解】由，得，即，，设，则当，，，，设，由题意，是当时，函数的值域的子集.①当，即时，函数在上单调递增，则解得.②当，即时，函数在上单调递减，则不等式组无解.③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，则函数的最大值是与的较大者.令，得，令，得，均不合题意.综上所述，实数的值为.【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解.18.已知，其中．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）求的极值点；（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得的值；（2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得的取值范围；【小问1详解】函数的定义域为，，因为函数在处的切线与x轴平行，所以，解得．【小问2详解】函数的定义域为，．令得或，所以当，即时，解集为，的解集为，所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，是函数的极大值点，是函数的极小值点；当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点；当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，是函数的极小值点，是函数的极大值点；综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点；当时，函数在区间上严格减，无极值点；当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点．【小问3详解】由（2）知，当时，函数在区间上严格减，在区间上严格增，故函数在上的最大值是，与已知矛盾；当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件；当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件；综上，a的取值范围是．19.若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.（1）若数列为“数列”，写出所有可能的；（2）若“数列”中，，求的最大值；（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值.【答案】（1）或或（2）（3）【解析】【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解；（2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解；（3）利用“数列”的定义，结合（2）中结论推得；再取特殊例子证得成立，从而得解.【小问1详解】依题意，因为数列1，，，7为“数列”，则，注意到，故所有可能的，为或或.小问2详解】一方面，注意到：，对任意的，令，则且，故对任意的恒成立