东大《传热学》课件：导热基本定律及稳态导热

2020/11/12Thursday1第二章导热基本定律及稳态导热2-1导热基本定律2-2导热微分方程式及定解条件2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热2-4通过肋片的导热2-5具有内热源的导热及多维导热2020/11/12Thursday2§2-1导热基本定律(1)温度场：三维非稳态温度场：三维稳态温度场：一维稳态温度场：二维稳态温度场：1几个基本概念:温度场、等温面、等温线、温度梯度、热流密度矢量2020/11/12Thursday3§2-1导热基本定律（续）(2)等温线(3)等温面图2-1温度场的图示(4)等温面和等温线的特点2020/11/12Thursday42导热基本定律——FourierLaw对于一维情况，对于三维直角坐标系情况，有通用形式的FourierLaw图2-2温度梯度2020/11/12Thursday5§2-1导热基本定律（续）(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量。热导率的数值表征物质导热能力大小，由实验测定。(2)影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等3导热系数(热导率)2020/11/12Thursday6A气体的导热系数特点：(a)气体的导热系数基本不随压力的改变而变化

(b)随温度的升高而增大

(c)随分子质量减小而增大B液体的导热系数特点：(a)随压力的升高而增大

(b)随温度的升高而减小2020/11/12Thursday7特点：纯金属：合金和非金属：金属的导热系数与温度的依变关系参见图2-7C固体的导热系数保温材料：国家标准规定，温度低于350度时导热系数小于0.12W/(mK)的材料（绝热材料）2020/11/12Thursday8图2-7导热系数对温度的依变关系2020/11/12Thursday9第二章导热基本定律及稳态导热2-1导热基本定律2-2导热微分方程式及定解条件2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热2-4通过肋片的导热2-5具有内热源的导热及多维导热2020/11/12Thursday10§2-2导热微分方程式及定解条件1导热微分方程式的推导为什么需要导热微分方程？理论基础：Fourier定律+能量守恒定律导热微分方程式下面我们来考察一个矩形微元六面体，如下图所示。xyzxx+dxdx2020/11/12Thursday11假设：(1)所研究的物体是各向同性的连续介质

(2)导热系数、比热容和密度均为已知

(3)物体内具有内热源；强度[W/m3];内热源均匀分布；2020/11/12Thursday12dyyxodx§2-2导热微分方程式及定解条件（续）根据能量守恒定律有：导入微元体的总热流量in+微元体内热源的生成热g=导出微元体的总热流量out+微元体热力学能的增量sta导入微元体的总热流量Ein2020/11/12Thursday13§2-2导热微分方程式及定解条件（续）b导出微元体的总热流量Eout采用Taylor级数展开，并忽略高阶项，则有dyyxodx2020/11/12Thursday14§2-2导热微分方程式及定解条件（续）c内热源的生成热d热力学能的增量？把Qin、Qout、Qg、Qst带入前面的能量守恒方程这就是三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方程的一般形式。得：2020/11/12Thursday15§2-2导热微分方程式及定解条件（续）2几种特殊情况(1)若物性参数、c和均为常数：(2)无内热源、常物性：(3)稳态、常物性：(4)稳态、常物性、无内热源：物理意义？友情提示：非直角坐标系下的导热微分方程式自己看2020/11/12Thursday16非稳态项扩散项源项是不是有了导热微分方程式，就可以获得温度分布呢？答案是否定的！定解条件(单值性条件)导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场定解条件包括四项：几何、物理、时间、边界下面详细介绍边界条件！2020/11/12Thursday17§2-2导热微分方程式及定解条件（续）边界条件：规定了物体与外部环境之间的换热条件，包括以下三类：a第一类边界条件:已知任一瞬间导热体边界上的温度值：最简单的情况为：2020/11/12Thursday18b第二类边界条件:已知任一瞬间导热体边界上的热流密度：§2-2导热微分方程式及定解条件（续）对于非稳态：最简单的情况为：第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值qw特例：绝热边界面：2020/11/12Thursday19§2-2导热微分方程式及定解条件（续）c第三类边界条件:当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数Newton冷却公式：Fourier定律：特例：tf,hx

h=0时，变为绝热边界条件

h时，变为第一类边条2020/11/12Thursday20在任意直角坐标系下，对于以下两种关于第三类边界条件的表达形式，你认为哪个对？简述理由。In-ClassProblems2020/11/12Thursday21QuickReview：1重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、导温系数（热扩散率）定义及性质；2导热微分方程式的理论基础及推导过程3导热微分方程式的一般形式、组成、及在推导给定条件下的具体形式；灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热方程与时间分布建立联系等定解条件？边界条件？三类边界条件的数学表达式？2020/11/12Thursday22第二章导热基本定律及稳态导热2-1导热基本定律2-2导热微分方程式及定解条件2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热2-4通过肋片的导热2-5具有内热源的导热及多维导热2020/11/12Thursday23§2-3通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系：1单层平壁的导热o

xa几何条件：单层平板；

b物理条件：、c、为常数并已知；无内热源c时间条件：

d边界条件：第一类2020/11/12Thursday24§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）xo

t1tt2直接积分，得：根据上面的条件可得：第一类边条：控制方程边界条件求解方法带入边界条件：2020/11/12Thursday25带入Fourier定律§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）线性分布2020/11/12Thursday262多层平壁的导热§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热多层平壁：由几层不同材料组成

边界条件：热阻：2020/11/12Thursday27§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）由热阻分析法：问：知道了q，如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：第i层：t1t2t3t4t1t2t3t42020/11/12Thursday28§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）单位：t1t2t3t2三层平壁的稳态导热tf1t2t3tf2h1h2tf2tf1？？总传热系数？多层、第三类边条2020/11/12Thursday293单层圆筒壁的导热§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）圆柱坐标系：一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：(a)2020/11/12Thursday30§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）对上述方程(a)积分两次:第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果显然，温度呈对数曲线分布2020/11/12Thursday31§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况

长度为l的圆筒壁的导热热阻虽然是稳态情况，但热流密度q与半径r成反比！2020/11/12Thursday324n层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算通过单位长度圆筒壁的热流量2020/11/12Thursday33单层圆筒壁，第三类边条，稳态导热通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻[mK/W]h1h22020/11/12Thursday34(1)单层圆筒壁（续）h1h2思考：壁面温度分布应如何求出？(2)多层圆筒壁通过球壳的导热自己看？2020/11/12Thursday35§2-3通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）5其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量。对于稳态、无内热源、第一类边条下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，一维Fourier定律：当＝(t),A=A(x)时，2020/11/12Thursday36分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关，得定义

当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则实际上，不论如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。作业：

2-1

2-6:空气的导热系数从附录8查询，温度取(-20+20)/2=0

2-9:平均导热系数从附录7查询

2-13

2-15:不用求解，只需要列出微分方程和边界条件2020/11/12Thursday372020/11/12Thursday38In-ClassProblems某时刻，厚度为1m的平板内的温度分布为：式中t为温度[C]；x沿厚度方向的位置坐标[m]；a=900C，b=-300C/m，andc=-50C/m2。均匀内热源，平板面积A=10m2，其他物性为：=1600kg/m3，=40w/(m∙K)，cp=4kJ/(kg∙K)1确定在x=0m壁面进入平板的热量和x=1m壁面逸出的热量；2确定平板内热力学能（内能）的变化率st；3确定在x=0，0.25，and0.5m处温度随时间的变化率求解七步骤：Known,Find,Schematic,Assumptions,Properties,Analysis,Comments2020/11/12Thursday39QuickReview：1第三类边界条件中两个温度的含义和先后顺序的确定2通过微分方程获得温度分布的思路，以及在已知温度分布的前提下，如何获得热流量/热流密度？3平板导热热阻、圆筒壁导热热阻、对流换热热阻的含义和公式4一维、稳态情况下，平板、圆筒壁内温度分布的特点和传热热流量的计算5已知换热量的情况下，如何计算边界面温度2020/11/12Thursday40主要研究内容：2-1导热基本定律2-2导热微分方程式及定解条件2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热2-4通过肋片的导热2-5具有内热源的导热及多维导热第二章导热基本定律及稳态导热2020/11/12Thursday41§2-4通过肋片的导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：为了增加传热量，可以采取哪些措施?（1）增大温差（tf1-tf2），但受工艺条件限制（2）减小热阻：

a)金属壁一般很薄(很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略b)增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的c)增大换热面积A也能增加传热量2020/11/12Thursday42在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段,肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面等§2-4通过肋片的导热(续)2020/11/12Thursday431通过等截面直肋的导热§2-4通过肋片的导热(续)l已知：矩形直肋肋根温度为t0，且t0>t肋片与环境的表面传热系数为h.

，h和Ac均保持不变求：温度场t和热流量2020/11/12Thursday44分析：将问题简化为一维问题?§2-4通过肋片的导热(续)简化：a长度l>>andH假设肋片长度方向温度均匀

b大、<<H，认为温度沿厚度方向均匀边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热求解：这个问题可以从两个方面入手：

a导热微分方程，例如书上第38页

b能量守恒＋FourierLaw2020/11/12Thursday45§2-4通过肋片的导热(续)能量守恒：Fourier定律：Newton冷却公式：关于温度的二阶非齐次常微分方程2020/11/12Thursday46§2-4通过肋片的导热(续)导热微分方程：混合边界条件：引入过余温度。令则有：2020/11/12Thursday47§2-4通过肋片的导热(续)方程的通解为：应用边界条件可得：最后可得等截面内的温度分布：双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦函数2020/11/12Thursday48§2-4通过肋片的导热(续)稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量肋端过余温度：即x＝H2020/11/12Thursday49两点说明：(1)上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取：Hc=H+/2(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当h/=Bi0.05时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的—数值计算2020/11/12Thursday50§2-4通过肋片的导热(续)2肋片效率为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率

2020/11/12Thursday51肋片的纵截面积影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）可见，与参量有关，其关系曲线如图2－14所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用(2-38)计算，而直接用图2－14查出然后，散热量ALAc2020/11/12Thursday52肋片热阻2020/11/12Thursday53In-ClassProblems如右图所示的等截面直肋，可以假设为一维稳态导热，问：（1）是否肋片一定能增强换热？（2）如果不能，依据是什么？换热增强2020/11/12Thursday54§2-4通过肋片的导热(续)3通过环肋及三角形截面直肋的导热为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，有时候需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图2－14和2－15分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。2020/11/12Thursday55图2－142020/11/12Thursday56图2－152020/11/12Thursday574.通过接触面的导热当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出接触热阻的产生？当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热,对流和辐射的影响一般不大2020/11/12Thursday58（1）当热流量不变时，接触热阻rc较大时，必然在界面上产生较大温差（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻rc

的增大而下降（3）即使接触热阻rc不是很大，若热流量很大，界面上的温差仍是不容忽视的2020/11/12Thursday59接触热阻的影响因素：（1）固体表面的粗糙度（3）接触面上的挤压压力（2）接触表面的硬度匹配（4）空隙中的介质的性质在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要如何消除或减小接触热阻？2020/11/12Thursday601具有内热源的导热§2-5具有内热源的导热及多维导热如图所示，一无限大平板中具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为tf的流体对流换热，表面传热系数h，现在要确定平板中任一x处的温度及通过该截面的热流密度。对称边界的处理？tfhtfhxt

0

tfhxt

02020/11/12Thursday61tfhxt

0xdx§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）控制方程:边界条件:第几类？第几类？积分两次：应用边界条件：2020/11/12Thursday62§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）

与无内热源的一维稳态平板导热相比，热流密度不是常数，温度呈二次曲线分布2020/11/12Thursday632二维稳态导热§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）工程上经常遇到二维和三维稳态导热问题，如？导热微分方程式：二维、常物性、无内热源上面方程求解方法：（1）分析解法（简单形状、线性边界条件），常用分离变量法（2）数值计算（复杂形状、复杂边界条件）（3）利用导热形状因子（工程计算、两个边界的温度恒定）2020/11/12Thursday64§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）1.分析解法（简单形状、线性边界条件)分离变量法：这是个关于温度的齐次方程，为能采用分离变量法，需要将其边界条件表达式也齐次化（最多只能包含一个非齐次边界条件）。为此，引进以下无量纲过余温度作为求解变量2020/11/12Thursday65§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）于是上述方程变为采用分离变量法，令通解：2020/11/12Thursday66带入边界条件，并利用傅立叶级数，可得出温度场的分析解二维温度分布示意图2020/11/12Thursday67§2-5具有内热源的导热及多维导热（续）2.形状因子法看一下如下几个公式：(2-19)p.29一维、稳态、常物性、无内热源的平板导热一维、稳态、常物性、无内热源的圆筒壁导热(2-28)p.34一维、稳态、常物性、无内热源的球壳导热(2-32)p.3