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文档简介
2022-2023学年云南省福贡县一中高考第七次适应性训练数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.3602.已知命题p:若,,则;命题q:,使得”,则以下命题为真命题的是()A. B. C. D.3.已知函数,若,则等于()A.-3 B.-1 C.3 D.04.对于函数,若满足,则称为函数的一对“线性对称点”.若实数与和与为函数的两对“线性对称点”,则的最大值为()A. B. C. D.5.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点,在椭圆上,其中,,若,,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B.C. D.6.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.7.已知曲线,动点在直线上,过点作曲线的两条切线,切点分别为,则直线截圆所得弦长为()A. B.2 C.4 D.8.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.9.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()A. B.2C. D.10.已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.12.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()A. B. C.或 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.14.函数的定义域为____.15.若函数,则使得不等式成立的的取值范围为_________.16.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取_____人.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设等差数列的首项为0,公差为a,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表M,与数表;记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,…).记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,,).如:,.(1)设,,请计算,,;(2)设,,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;(3)设,,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,点为棱的中点.(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为,,求的值.20.(12分)在平面直角坐标系中,点是直线上的动点,为定点,点为的中点,动点满足,且,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线交曲线于,两点,为曲线上异于,的任意一点,直线,分别交直线于,两点.问是否为定值?若是,求的值;若不是,请说明理由.21.(12分)如图,在三棱柱中,已知四边形为矩形,,,,的角平分线交于.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,证明:对;(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围。
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.2.B【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】,,因为,,所以,所以,即命题p为真命题;画出函数和图象,知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.3.D【解析】分析:因为题设中给出了的值,要求的值,故应考虑两者之间满足的关系.详解:由题设有,故有,所以,从而,故选D.点睛:本题考查函数的表示方法,解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系.4.D【解析】
根据已知有,可得,只需求出的最小值,根据,利用基本不等式,得到的最小值,即可得出结论.【详解】依题意知,与为函数的“线性对称点”,所以,故(当且仅当时取等号).又与为函数的“线性对称点,所以,所以,从而的最大值为.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景,考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式,理解新定义含义,正确求出的表达式是解题的关键,属于中档题.5.C【解析】
根据可得四边形为矩形,设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.【详解】设,,由,,知,因为,在椭圆上,,所以四边形为矩形,;由,可得,由椭圆的定义可得,①,平方相减可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选:C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.6.B【解析】
根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7.C【解析】
设,根据导数的几何意义,求出切线斜率,进而得到切线方程,将点坐标代入切线方程,抽象出直线方程,且过定点为已知圆的圆心,即可求解.【详解】圆可化为.设,则的斜率分别为,所以的方程为,即,,即,由于都过点,所以,即都在直线上,所以直线的方程为,恒过定点,即直线过圆心,则直线截圆所得弦长为4.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系,抛物线两切点所在直线求解是解题的关键,属于中档题.8.B【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.9.A【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO=,再求原△ABC的面积.【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.D【解析】
讨论,,三种情况,求导得到单调区间,画出函数图像,根据图像得到答案.【详解】当时,,故,函数在上单调递增,在上单调递减,且;当时,;当时,,,函数单调递减;如图所示画出函数图像,则,故.故选:.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.11.A【解析】
求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.12.D【解析】
先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意可知:为上的单调函数,则为定值,由指数函数的性质可知为上的增函数,则在,单调递增,求导,则恒成立,则,根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围.【详解】若方程无解,则或恒成立,所以为上的单调函数,都有,则为定值,设,则,易知为上的增函数,,,又与的单调性相同,在上单调递增,则当,,恒成立,当,时,,,,,,此时,故答案为:【点睛】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性,正弦函数的性质,辅助角公式,考查计算能力,属于中档题.14.【解析】由题意得,解得定义域为.15.【解析】
分,两种情况代入讨论即可求解.【详解】,当时,,符合;当时,,不满足.故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的计算,考查了分类讨论的思想.16.1.【解析】
先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,即可求解.【详解】由题意,高三学生占的比例为,所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法,其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)详见解析(3)29【解析】
(1)将,代入,可求出,,可代入求,,可求结果.(2)可求,,通过反证法证明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【详解】(1)由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,则,,得,故.(2)证明:已知.,由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,,.得,,,.所以若,则存在,,使,若,则存在,,,使,因此,对于正整数,考虑集合,,,即,,,,,,.下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数.反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合中共有7个元素,所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同,不妨设为,,其中,,.则这两个元素的差为7的倍数,即,所以,与矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.即集合中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为,,,则存在,使,,,即,,,由已证可知,若,则存在,,使,而,所以为负整数,设,则,且,,,,所以,当,时,对于整数,若,则成立.(3)下面用反证法证明:若对于整数,,则,假设命题不成立,即,且.则对于整数,存在,,,,,使成立,整理,得,又因为,,所以且是7的倍数,因为,,所以,所以矛盾,即假设不成立.所以对于整数,若,则,又由第二问,对于整数,则,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因为,,,,所以.【点睛】本题考查数列的综合应用,以及反证法,求最值,属于难题.18.(1)见解析(2)【解析】
(Ⅰ)取的中点,连结、,得到故且,进而得到,利用线面平行的判定定理,即可证得平面.(Ⅱ)以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,设,求得平面的法向量为,和平面的法向量,利用向量的夹角公式,求得,进而得到为直线与平面所成的角,即可求解.【详解】(Ⅰ)在棱上存在点,使得平面,点为棱的中点.理由如下:取的中点,连结、,由题意,且,且,故且.所以,四边形为平行四边形.所以,,又平面,平面,所以,平面.(Ⅱ)由题意知为正三角形,所以,亦即,又,所以,且平面平面,平面平面,所以平面,故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,设,则由题意知,,,,,,设平面的法向量为,则由得,令,则,,所以取,显然可取平面的法向量,由题意:,所以.由于平面,所以在平面内的射影为,所以为直线与平面所成的角,易知在中,,从而,所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,明确角的构成,着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数,即求直线的普通方程;(2)将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,韦达定理得,点在直线上,则,即可求出的值.【详解】(1)由可得,即,即,曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程(t为参数),消去得,即直线的普通方程为.(Ⅱ)点的直角坐标为,则点在直线上.将直线的参数方程化为标准式(为参数),代入曲线的直角坐标方程,整理得,直线与曲线交于两点,,即.设点所对应的参数分别为,由韦达定理可得,.点在直线上,,.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用,属于中档题.20.(1);(2)是定值,.【解析】
(1)设出M的坐标为,采用直接法求曲线的方程;(2)设AB的方程为,,,,求出AT方程,联立直线方程得D点的坐标,同理可得E点的坐标,最后利用向量数量积算即可.【详解】(1)设动点M的坐标为,由知∥,又在直线上,所以P点坐标为,又,点为的中点,所以,,,由得,即;(2)设直线AB的方程为,代入得,设,,则,,设,则,所以AT的直线方程为即,令,则,所以D点的坐标为,同理E点的坐标为,于是,,所以,从而,所以是定值.【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.21.(1)见解析;(2)【解析】
(1)过点作交于,连接,设,连接,由角平分线的性质,正方形的性质,三角形的全等,证得,,由线面垂直的判断定理证得平面,再由面面垂直的判断得证.(2)平面几何知识和线面的关系可证得平面,建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量,根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】(1)如图,过点作交于,连接,设,连接,,,又为的角平分线,四边形为正方形,,又,,,,,又为的中点,又平面,,平面,又平面,平面平面,(2)在中,,,,在中,,,又,,,,又,,平面,平面,故建立如图空间直角坐标系,则,,,,,,,设平面的一个法向量为,则,,令,得,设平面的一个法向量为,则,,令,得,由图示可知二面角是锐角,故二面角的余弦值为.【点睛
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