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文档简介

第一章函数与极限第六节无穷小与无穷大主要内容：一、无穷小的概念性质二、无穷小的比较三、无穷大及其与无穷小的关系一、无穷小的概念与性质1、定义例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2

在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.推论1

在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2

常数与无穷小的乘积是无穷小.都是无穷小定理3

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.二、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限定义2:例如，下面我们给出一些常用的当x→0时的等价无穷小：等价无穷小代换定理4(等价无穷小代换定理)证例３解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４解例５解解错小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.三、无穷大定义3：特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无穷小与无穷大的关系定理5

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.内容小结1、主要内容:2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于自变量的变化过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；●无穷小与无穷大的定义；●无穷小与函数极限关系；●等价无穷小代换定理；●无穷小与不穷大的关系.思考题1、任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答不一定．例当

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