甘肃兰州安宁区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

2023—2024学年度第一学期期中考试试题高二数学一､单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可确定直线的倾斜角.【详解】由得，所以该直线的斜率为：.设直线倾斜角为，则，且，所以.故选：C2.已知，，，则（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依题意根据计算可得；【详解】解：因为，，则，所以事件与事件不相互独立，．故选：B3.若直线与平行，则与间的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.【详解】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．4.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（）A.−8 B. C.10 D.0【答案】D【解析】【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，∴=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+×2=0，故选D．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的一个法向量为，得到，写出直线方程.【详解】因为直线的一个法向量为，所以，则直线l的方程为，即，故选：C6.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.7.点到直线的距离为，则的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】首先确定直线所过的定点，然后确定d的最大值即可.【详解】直线方程即，据此可知直线恒过定点，当直线时，有最大值，结合两点之间距离公式可得最大值为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，两点之间距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.曲线与直线有两个交点时，实数k取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图直线过定点，要有2个交点，直线要在,之间，求出两直的斜率可得结果【详解】解：曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图：直线过定点，设半圆的切线BE的切点为E，则BC的斜率为．设切线BE的斜率为，，则切线BE的方程为，根据圆心A到线BE距离等于半径得，，由题意可得，∴，故选：A．二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点关于直线的对称点为C.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为D.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用斜率定义可知，当倾斜角为90°时，斜率不存在；B选项求解点关于直线的对称点，满足两点的斜率与乘积为-1，中点在已知直线上，进而求出对称点；C选项要考虑截距均为0的情况，D选项求出与坐标轴的交点坐标，进而求出围成的三角形的面积.【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确故选：ABD10.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为【答案】BD【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误.【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；在CD中，目标被命中的概率为，故C错误，D正确．故选：BD．11.已知数列的前项和为，下列说法正确的（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，则【答案】BC【解析】【分析】对于A，求出，,即可判断；对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断；对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；对于D，当时，可得，即可判断．【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；对于B，若，则，当时，，满足2，所以，则是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，则，C正确；对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.故选：BC．12.已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（）A.四边形周长的最小值为B.最大值为C.若，则三角形的面积为D.若，则的最大值为【答案】CD【解析】【分析】首先设，对于选项A，根据题意，表达四边形周长关于的函数，由的取值范围求函数的最小值可判断A错误；对于选项B，根据等面积法，求出关于的函数关系，由的取值范围求函数的最大值可判断B错误；对于选项C，根据题意，计算的底和高，求出面积判断C正确；对于选项D，设动点，求出切线的方程与直线的方程，二者联立消去得到二者交点的轨迹是圆，的最大值为圆心与距离加半径，可判断D正确．【详解】对于选项A，设，则，则四边形周长为，则当最小时周长最小，又最小值为2，所以四边形周长最小为，故A错误；对于选项B，，即，所以，因为，所以，故B错误；对于选项C，因为，所以，即，所以，，，，所以三角形的面积为，故C正确；对于选项D，设，,则切线的方程为，又因为直线过点，代入可得化简得设,同理可得，因此点都过直线，即直线的方程为，的方程为，二者联立得，，由①式解出，代入②式并化简得，配方得，，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设其圆心为，所以的最大值为，故D正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB选项，设变量，用分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D选项，设出动点，分别表达直线和的方程，联立消去，得到动点的轨迹，进一步求解答案.三､填空题（本大题共4小题，共20分）13.对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：分数段频率0.030.040170.360.250.15则该班成绩在内的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据测验成绩进行统计表，即可求得成绩在内的概率，得到答案.【详解】根据测验成绩进行统计表，可得该班成绩在内的概率为.故答案为：14.已知数列的前项和，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】【详解】当时，；当时，；所以.15.已知a>0，，直线：，：，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．16.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________．【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a,－a)，又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴半径.又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a,－a)到直线x－y－3＝0的距离，∴，即，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故答案为：.四､解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知的三个顶点分别为，，，求：（1）边所在直线方程；（2）边上中线AD所在直线的方程；（3）边的垂直平分线DE的方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由两点式求直线的方程；（2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程；（3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程.【小问1详解】因为直线经过B2,1和两点，由两点式得的方程为，即【小问2详解】，，为的中点，点的坐标为0,2，又边的中线过点，两点，由截距式得所在直线方程为，即

.【小问3详解】的斜率，则的垂直平分线的斜率，由斜截式得直线的方程为，即．18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”的概率为；【小问2详解】设事件表示“第单被评为等级”，，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.19.已知圆的方程：．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线：交于，两点，且，求的值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程化简即可求得的取值范围；（2）利用点到直线的距离及垂径定理即可解得.【小问1详解】由题意得：方程，可化为，此方程表示圆，，即．小问2详解】圆的方程化为，圆心，半径，则圆心到直线：的距离为，由于，则有，，得，20.已知是递增的等比数列，，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可；（2）利用构造法求bn【小问1详解】记数列an的公比为，由题知，即，解得或，又an是递增的等比数列，所以，所以，所以数列an的通项公式为.【小问2详解】当时，，得当时，，整理得，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，得，又，所以，所以21.在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：，，，，，，，，，；乙：，，，，，；丙：，，，.假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；（2）由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，根据古典概型概率的计算公式，分别计算出乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，再计算出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率.【小问1详解】设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，因为比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖，甲以往的次比赛成绩中达到以上（含）的有，，，，共次，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，【小问2详解】由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，设事件B为：“乙在校运动会铅球比