2024-2025学年度上期高2023级半期数学考试含答案

2024-2025学年度上期高2023级半期数学考试一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设点在平面上的射影为，则等于（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先得到，从而求出，计算出模长.【详解】点在平面上的射影为，，故，故选：D2.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C3.设，，，且∥，则（）A B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得，所以，又因为，且∥，所以，所以，所以，所以.故选：C.4.对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据事件关系，即可判断选项.【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B5.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解.【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况：①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为或；综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为，故选：D.6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误.【详解】设其他48个数据依次为，则，因为，因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：，，注意到，则.故选：C.7.平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.8.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.平面B.异面直线与所成角为C.直线与平面所成角为D.【答案】B【解析】【分析】连接，可得，A选项，利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，异面直线与所成角即为直线与与所成角；C选项直线与平面所成角即直线与平面所成角；D选项，由线面垂直的性质可以得证.【详解】如图，连接，在正方形中，为的中点，则，即也为的中点，在中，分别为的中点，有，又平面，平面，所以平面，故A正确；由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角，即，为，故B错误直线与平面所成角即直线与平面所成角，由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确；正方体中，平面，平面，则有，由，得，故D正确；，故选：B.二､多项选择题（每空6分，共18分）9.在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（）A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.1-12月校车销量环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差【答案】BCD【解析】【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案.【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．故选：BCD.10.给出下列命题，其中正确的是（）A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A,不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B,点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD11.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件A与相互独立C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A对；对于B，因为，，则，因为，所以事件与相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则，故C错；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点，点的直线的一个方向向量是______.【答案】(时，均可)【解析】【分析】求出向量符合题意，所有与共线非零向量均可.【详解】点，点在直线上，则直线的一个方向向量为，时，也都是直线的方向向量.故答案为：（时，均可）13.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.【答案】53【解析】【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解.【详解】设2020年的销量为，2021年的销量为，，由题意可知，中位数为，平均数为，由，得，所以这四年的总销量为万量.故答案为：5314.已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值.【详解】，由于，所以，问题等价于当且仅当时取到最小值，.则，解得，，.故答案为：2；.【点睛】方法点睛：涉及向量的模，通常用到求解.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么（1）写出试验的样本空间；（2）求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.（3）求取出的鞋不成双的概率.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间；（2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【小问1详解】该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；【小问2详解】记：“取出的鞋都是一只脚的”,，,，,，,，,，,，，；记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，,,,，,，,，,，，，【小问3详解】记“取出的鞋不成双”，由（1）得，，,，,，，，；16.2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计众数和中位数.（2）根据分层抽样的方法，确定样本中人员的构成，再列出人选2人的所有可能，利用古典概型的公式求相应的概率.【小问1详解】由频率分布直方图可得，1000名学员成绩众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是【小问2详解】∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.17.在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点．（1）求点到直线的距离；（2）求异面直线所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为为矩形，所以，又因为平面平面，所以，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，则有，所以，所以点到直线的距离．【小问2详解】因为，所以，所以异面直线所成角的余弦值．18.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【小问1详解】连接，因为为等边三角形，为中点，则，由题意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，则平面，可得，由题设知四边形为菱形，则，因为，分别为，中点，则，可得，且，，平面，所以平面.【小问2详解】在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，由平面，平面，可得，，又因为为等边三角形，为中点，所以，则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因为，设，，则，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一个法向量设平面的法向量，则，令，则，，可得；则，令，则，可得，因为，则，可得，所以锐二面角的余弦值的取值范围为19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．（1）求经过的直线的点方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；（3）